\documentclass[finnish,10pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{1}{38}{19--21.9}

\subsection*{Alkuviikko}

\begin{enumerate}

\item %%\koodi{Kre teht. 17,18 s. 343} 
Olkoon %%\[ (x,y) \] 
$(x,y)$
tason piste ja %% \[ (x',y') \] 
$(x',y')$ piste, joka saadaan
kiertämällä $O$:n ympäri kulman $\alpha$ verran.
Esitä kierto matriisikertolaskuna muodossa

\[
\left [\begin {array}{c} x'\\\noalign{\medskip}y'\end {array}\right ]
= A \left [\begin {array}{c} x\\\noalign{\medskip}y\end {array}\right ]
\]

Vihje: Esitä piste $(x,y)$ napakoordinaateissa $(r,\Theta)$ ja johda
$\sin$:n ja $\cos$:n yhteenlaskukaavoja
\footnote{Voit kysyä Maplelta tyyliin {\tt sin(a+b)=expand(sin(a+b)); } } 
käyttäen $x'$:n ja $y'$:n lausekkeet
$x$:n ja $y$:n avulla. Siitäpä se $A$-matriisi sitten näkyy.

\item
\kohta{a} { 
 Ratkaise systeemi 

\[
  \begin{cases}
     2x+3y+z = 1  \\
   4x +7y + 5z = 7   \\
      -2y+2z = 6  
  \end{cases}
\]

Gaussin eliminaatiomenettelyllä %\footnote{Gauss tarkoittaa:
%Saata systeemi yläkölmiomuotoon ja suorita sitten takaisinsijoitus.
%(Gauss--Jordan puolestaan tarkoittaa rivioperaatioden jatkamista myös
%``alhaalta ylös''.)}
Opettele mieluusti k\"asittelem\"a\"an 
teht\"avi\"a pelk\"ast\"a\"an kerroinmatriisien avulla.   
        }  % end kohta a)

\kohta{b} {
Lausu a)-kohdan tuloksen avulla vektori $(1,7,6)$ kerroinmatriisin
sarakevektorien lineaarikombinaationa. (Muuta ``riviajattelu 
sarakeajatteluksi''.)
          }
% vast. $[1, -1, 2]$
%\kohta{a}{muuntamalla (polaari- eli) napakoordinaatteihin} \\[1ex]
%\kohta{b}{käyttämällä muuttujanvaihtoa $u=y-x$, $v=y+x$.}

\item
Olkoot A,B,C ja D lineaarisen yhtälösysteemin 
liitännäismatriiseja.

$Ab=\left [\begin {array}{cccc} 1&0&0&3\\\noalign{\medskip}0&2&1&1
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0\end {array}\right ]$
$Bb=\left [\begin {array}{ccccc} 1&2&0&0&3\\\noalign{\medskip}0&1&1&0&1
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&2\end {array}\right ]$

$Cb=\left [\begin {array}{cccc} 1&0&2&1\\\noalign{\medskip}0&5&0&2
\\\noalign{\medskip}0&0&4&3\end {array}\right ]$
$Db=\left [\begin {array}{ccccc} 1&0&2&0&3\\\noalign{\medskip}2&3&6&1&16
\\\noalign{\medskip}0&3&2&1&10\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0
\end {array}\right ]$

Selvitä kussakin tapauksessa ratkaisujen lukumäärä (ei ratkaisuja,
yksikäs. ratk., äärettömän monta). Viimeksi mainitussa tapauksessa
selvitä myös vapaiden parametrien lukumäärä.


\item
\kohta{a}{ Viritt\"av\"atk\"o vektorit $(0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,1),
(1,1,1,1)$ avaruuden $\R^4$?}

\kohta{b}{ Osoita, että vektorit
${\bf v}_1=(1,1,0),{\bf v}_2=(0,1,1) $ja ${\bf v}_3=(1,0,1)   $
muodostavat avaruuden $\R^3$ kannan. Mitk\"a ovat vektorin
${\bf x} = (1,2,3)$
koordinaatit t\"ass\"a kannassa?

       }


{\bf Vihje:}
a) Peruskäsitteitä, kuten virittäminen on koottu tehtäväpaperin loppuun.
Poimitaan kuitenkin vielä tähän tilanteeseen kuuluva muoto: \\
{\bf Virittäminen} tarkoittaa tässä: $\forall {\bf v} \in \R^4 \ \  \exists
x_1,...,x_4$ siten, että ${\bf v}=x_1{\bf v}_1+...+x_4{\bf v}_4$.

b)
Kirjoita vektorit sarakevektoreiksi ja muuta ``sarakeajattelu riviajatteluksi''
%(siis päinvastoin kuin teht. 1b)).


\item \label{Salmivaara}
Kaupungin liikennesuunnitteluvirasto ({\it Heikki Salmivaaran} johdolla)
on ker\"annyt liikennevirtadataa nelj\"an risteyksen muodostamalta
alueelta ruuhka-aikana.
Kadut ovat yhdensuuntaisia kuvassa n\"akyvien
nuolien osoittamalla tavalla. Kuvaan on merkitty risteyksiin tulevat
ja niist\"a l\"ahtev\"at liikennem\"a\"ar\"at tunnissa. 
Koska risteykseen saapuvien
ajoneuvojen t\"aytyy my\"os poistua siit\"a, 
saadaan yht\"al\"oryhm\"a tuntemattomien
liikennem\"a\"arien $x_1,x_2,x_3,x_4$ m\"a\"ar\"a\"amiseksi, jotka kuvaavat
liikennem\"a\"ari\"a katuverkon sis\"aosassa. 
%\vfill\eject
\begin{verbatim}

              Fabianink.                     Unionink.                     
               ^                               v
               |800                            |400
          800  |            Pohj.espl.         |
         <--------------------<-----------------------< 600
               |              x1               |
               |                               |         HAVIS 
            x4 ^                      KAPPELI  v x2      AMANDA 
               |              x3               |        
         >------------------->------------------------> 1000
          1200 |           Eteläespl.          |
               |                               |
               ^                               v
              1000                            600


\end{verbatim}
% RATK lopussa:
\begin{itemize}
\item
Määritä ratkaisut ja totea, että tehtävällä on niitä ääretön määrä 

\item
Missä rajoissa Esplanadien välisen Fabianinkadun osan liikennemäärän tulee
olla, jotta millään katuosuudella ei tarvitse vaihtaa ajosuuntaa
osoittavia liikennemerkkejä.

\end{itemize}

\item
Osoita, ett\"a vektorit 
$e_1=(2,1,3),e_2=(1,-2,0), e_3=(6,3,-5)$ muodostavat ortogonaalisen
kannan $\R^3$:ssa.

Miten saat näppärällä matriisikertolaskuun perustuvalla ilmaisulla
selvitetyksi ortogonaalisuuskysymyksen. (Tarkista Matlabilla tai Maplella).

M\"a\"arit\"a vektorin $u=(9,-2,4)$ esitys t\"ass\"a kannassa.
% Ratk. omassa mapissa
Käytä ortogonaalisuutta hyväksesi, eli muodosta suoraan ns. Fourier-esitys.

\end{enumerate}

\subsection*{Loppuviikko}

\begin{enumerate}

\item
Suorita Matlabilla Gaussin rivioperaatiot seuraavan yhtälösysteemin 
saattamiseksi porrasmuotoon (``row-echelon form''). 
$$\begin{cases}     
      2x_1 + 3x_2  -4x_3  + x_4 = 2\\      
      3x_1  -x_2   -x_3 + 2x_4  = 4\\      
      x_1   -7x_2  +5x_3  -x_4  = 6
\end{cases}$$
Kirjoita Matlab-funktiotiedosto {\tt ratkaisu.m} (tai jos keksit jonkun
vielä mielikuvituksellisemman), jonka argumenttina on vapaasti valittavissa
oleva parametri (jos sellainen sattuu putkahtamaan).

Täydennä rivioperaatioitasi takaisinsijoitusoperaatioilla, joilla saat
liitännäismatriisin ``rref-muotoon''. 
Kenties innostusta vielä riittää tehdä hieman yksinkertaisempi ``ratkaisu''-
funktio.

Tämä tehtävä soveltuu myös erinomaisesti Maplella tehtäväksi, mutta ei
kannata uhrata energiaa rivioperaatioihin toisella syntaksilla. Sensijaan
parametreista riippuvat ratkaisut tulevat Maplella kauniimmin.

({\tt gausselim, gaussjord, backsub, linsolve})

\item
Todista Maplen avulla determinanttien kertosääntö $2\times 2$-matriiseille.

Ohje:
\begin{verbatim}
with(linalg):
> A:=matrix(2,2,[a,b,c,d]);
> B:=matrix(2,2,[alpha,beta,gamma,delta]);
> ...
> simplify(vas-oik);
\end{verbatim}

Tällainen raakaan voimaan perustuva todistus onnistuu varmasti myös vähän 
isommille matriiseille (jos ryhdyt urheilemaan, niin varovasti)

Yleinen matemaattinen todistus ei ole vaikea, mutta älyä on käytettävä
enemmän. Se perustuu Gaussin rivi-operaatioihin, joissa determinantin
arvo säilyy (mahd. merkinvaihtoja vaille) sekä siihen, että
diagonaalimatriisin (myös ala- tai yläkolmiomatr.) det on helppo laskea 
(lävistäjäalkioiden tulo). Löytyy mm. KRE-kirjasta.

\item
  Määritä 3. asteen polynomi, joka toteuttaa seuraavat interpolaatioehdot: \\
     $    p(1)=2, p(2)=3, p'(-1)=-1, p'(3)=1. $

    Piirrä polynomi sopivalla välillä.
    Kyseessä on ns. Hermiten interpolaatio , jossa asetetaan ehtoja niin 
funktion arvoille kuin
    derivaatoille. (Välimuoto Taylorin ja Lagrangen suhteen.) 
    Ohje: Kirjoita kynällä yhtälösysteemi, syötä sen matriisi Matlabiin ja ratkaise. Polynomin
    arvojahan lasketaan polyval-funktiolla. 


\item
Tasoalueen reunoilla on oheisen kuvan mukaiset lämpötilat.
%%\vfill\eject

\begin{verbatim}
          50   20   10   0
     |----|----|----|----|----|
     |                        |
  80 |   T1   T2   T3   T4    | 80
     |                        |
  60 |   T5   T6   T7   T8    | 60
     |                        |
  40 |   T9   T10  T11  T12   | 40
     |                        |
  20 |   T13  T14  T15  T16   | 20
     |                        |
     |----|----|----|----|----|
          0    0    0    0
\end{verbatim}
Oletetaan, että sisäpisteiden lämpötilat $T_1,...,T_{16}$ saadaan
naapuripisteiden lämpötilojen keskiarvona. (Kullakin sisäpisteellä
on 4 naapuria, pohjois-, etelä-, itä-, länsi.)

Muodosta lineaarinen yhtälösysteemi lämpötilojen $T_1,...,T_{16}$ 
ratkaisemiseksi. Rakenna yhtälösysteemi itsellesi ensin kynää ja
paperia käyttäen ja syötä se sitten Matlabiin.

Käytä ratkaisuun
Matlabin valmista ratkaisijaa \verb_ T=A\b _. Piirrä lämpötilafunktion
kuvaaja. Tämä käy muotoilemalla ratkaisuvektori {\tt T} $4\times4$- 
matriisiksi
{\tt TMAT }
ja soveltamalla {\tt surf}-tyyppistä funktiota. Huom: 
{TMAT}-matriisin
saa kätevästi komennon {\tt reshape} avulla.

Voit vielä liikutella pintaasi vaikkapa tähän tapaan:
\begin{verbatim}
for j=1:10;view(-20,10*j),pause,end;  
\end{verbatim}

Tosin pyörittely käy nykyisin hyvin myös valikosta hiiren avulla.
Tehtävä on tarkoitus tehdä Matlabilla. Maple-ohje vain asian
lisäharrastukseen.

{\bf Huom!} Tässä on kyse ihan oikeasta numeerisesta menetelmästä
{\em Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön} ratkaisemiksi, ns.
differenssimenetelmästä.
 
{\bf Maple-ohje}
Systeemin voi ratkaista yhtä hyvin käyttäen Maple:n 
{\tt linalg[linsolve]}-
komentoa, jolloin muotoilu (vrt reshape edellä) voidaan tehdä ihan vain 
arkisella {\tt matrix}
komennolla. Piirtoon
{\tt plots[matrixplot] }

\item
Otetaan tuntumaa tason lineaarikuvauksiin. 
Visualisointivälineenä on Laode-ohjelma map.
(Muistele C1-kurssin Strangin taloharjoitelmia.)

Ensin muutama "teoria"kysymys:
Muodosta $2\times 2$-matriisi, joka 

\begin{itemize}

\item kiertää tason vektoreita
$30^\circ$

\item
kiertää $90^\circ$ ja venyttää kertoimella $2$.

\item
Heijastaa suoran $y=x$ suhteen.

\end{itemize}

\item{{\tt laode-map}}
Lopuksi huvittelua:
Tee laode ss. 71--72 "Computer Exercises" joitakin 
kiintoisan tuntuisia. Huvin lisäksi yritä ottaa hyötyä irti.


\end{enumerate}

\section*{Lineaarialgebran kertausta}

\subsection*{Lineaarinen riippuvuus/mattomuus, LRV/LRT}


{\bf Lineaarinen riippumattomuus/riippuvuus (LRT/LRV), virittäminen} 
Vektorit $\textbf{v}_1, 
\textbf{v}_2, \hdots,\textbf{v}_n
 \in \R^m$ ovat {\em lineaarisesti riippumattomia}, jos 
vektoriyhtälöllä
$$x_1\textbf{v}_1 + \hdots + x_n\textbf{v}_n=0$$
on vain triviaaliratkaisu $x_1 = x_2 = \hdots = x_n =0$.

Päinvastaisessa tapauksessa (siis jos muitakin ratkaisuja kuin 0-ratkaisu
on), vektorijoukkoa sanotaan {\em lineaarisesti riippuvaksi} (LRV). \\
Muistammehan, että tällainen vektoriyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
matriisi $\times$ vektori $=$ vektori (tässä $0$-vektori).
(sarakeajattelu $\iff$ riviajattelu) Vrt. esim. teht. 2b), jossa mennään
päinvastaiseen suuntaan. \\
Kysymys palautuu siten homogeeniyhtälön ratkaisujen lukumäärän 
selvittämiseen (onko vain yksi vai useita). \\
{\bf Virittäminen}. Vektorijoukko 
$\V{v_1},\ldots, \V{v_k} $ {\bf virittää} avaruuden $V$, jos 
$\forall {\bf v} \in V \ \  \exists
c_1,\ldots, c_k$ siten, että ${\bf v}=c_1{\bf v}_1+\ldots +c_k{\bf v}_k$.

{\bf Kanta ja dimensio}

Avaruuden {\bf kanta} tarkoittaa vektorijoukkoa, joka 
a) on lin. riippumaton ja b) virittää koko avaruuden.\\
Avaruuden {\bf dimensio} on luku $n$, joka ilmaisee maksimimäärän LRT 
vektoreita,
joka avaruuteen mahtuu. Avaruudessa, jonka dim = n, on siten n kpl. LRT
vektoreita, mutta jokainen n+1 vektoria (tai enemmän) käsittävä joukko
on LRV.

Jos tunnetaan avaruuden dimensio = n, niin mikä tahansa n vektoria
käsittävä LRT joukko on kanta. Samoin mikä tahansa koko avaruuden virittävä
n:n vektorin joukko on kanta.\\
(Kts. {\tt http://www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/L2-4.html}
lopussa on lause, nimeltään {\tt n=dim:VIR<=>LRT} )


\subsection*{Sisätulo, ortogonaalisuus, lineaarikuvaus}


Tason $\R^2$ ja avaruuden $\R^3$ sisätulo (pistetulo, skalaaritulo) yleistetään
$\R^n$:ään määrittelemällä vektoreille $\textbf{u}=(u_1,\hdots u_n)$ ja
$\textbf{v}=(v_1,\hdots v_n)$
$$(\textbf{u},\textbf{v})=\sum_{k=1}^n u_k v_k$$ 

\textbf{Sisätulon perusominaisuudet}
$$(\textbf{u},\textbf{v})=(\textbf{v},\textbf{u})$$
$$(\textbf{u},\textbf{u}) \ge 0, =0 \iff \textbf{u}=\textbf{0}$$
$$(c\textbf{u}+d\textbf{v},\textbf{w})=c(\textbf{u},\textbf{w})+
d(\textbf{v},\textbf{w})$$

Pituus eli normi: $||{\textbf{v}}||=\sqrt{(\textbf{v},\textbf{v}})$

\textbf{Ortogonaalisuus}

Jos $(\textbf{u},\textbf{v})=0$, sanotaan: $\textbf{u}$ ja $\textbf{v}$ 
{\em ortogonaaliset}.\\
Joukko (yksikkö)vektoreita $\lbrace\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\hdots,
\textbf{e}_m
\rbrace$ on {\em ortonormaali} (ON), jos  $(\textbf{e}_i,\textbf{e}_j)=
\delta_{i,j}$, missä $\delta_{i,j}=1$, kun $i=j$ ja $0$, kun $i\ne j$.

Jos joukko 
$\lbrace\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\hdots,
\textbf{e}_m\rbrace$ on (ON), niin vektorin $\textbf{v}\in \text{sp}
\lbrace\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\hdots,\textbf{e}_m\rbrace$
koordinaattiesitys on helppo muodostaa:\\
$$\textbf{v}=\sum_{i=1}^m (\textbf{v},\textbf{e}_i)\textbf{e}_i$$

Jos vektorit ovat ortogonaaliset ja $\ne 0$, niin normeerataan (jaetaan 
normilla).

Tätä esitystä kutsutaan toisinaan {\em Fourier-esitykseksi}. (Nimitys
selvenee Fourier-sarjojen yhteydessä.)

{\bf Ortogonaalinen matriisi} on sellainen, jonka sarakevektorit muodostavat
{\bf ortonormaalin} joukon.

Matriisin $V$ ortogonaalisuusehto voidaan ilmaista kätevästi:
$ V^T V = I $  (mieti hetki!)

%\textbf{Lineaarikuvaus}

%Matriisi määrää lineaarikuvauksen (ja kääntäen). Tason 
%tapauksessa siis $2 \times 2$-matriisi.

%Tehtävässä 6 on tarkoitus vain ottaa yleinen tason vektori $(x,y)$, laskea
%sen kuva ao. matriisilla kerrottaessa, havainnollistaa piirroksella ja
%keksiä kuvaava nimitys.


%\textbf{Determinantit}

%Laode-kirjassa käsitellään $2\times 2$-matriisien 
%determinantteja.



\end{document}


A=[2 3 -4 1;3 -1 -1 2;1 -7 5 -1]
b=[2;4;6]
Ab=[A b]
>> rref(Ab)
ans =
      1            0            0          21/8         -7/4     
      0            1            0          11/4         -9/2     
      0            0            1          25/8        -19/4   




keritsimet (noun) 
                         .
                         shear (infinitiivi)
                         sheared (imperfekti)
                         shorn (part.perfekti)
                         keritä (verb) 
                         leikata (verb) 
                         riistää (verb) 
Rohkeus petti laittaa tätä:
\item
% GRE teht. 4, s. 408
Tarkastellaan 20 yhtälöä ja 14 tuntematonta käsittävää lineaarista 
yhtälösysteemiä. Voiko systeemi(llä) olla a) yksikäsitteinen ratkaisu,
b) epäkonsistentti (ei ratk.), c) $2$-parametrinen ratkaisujoukko,
d) $13$-parametrinen ratkaisujoukko.

Perustele kukin tapaus. Käytä perustelusi tukena
kuvaa, jossa kutakin tapausta esittää porrasmuotoon 
saatettu 
$20\times 15$ liitännäismatriisi, jossa
merkitset $0$:lla $0$:aa, $1$:llä nollasta poikkeavaa 
ja x:llä lukua, joka voi olla kumpaa vaan.
Mikä on kussakin tapauksessa kerroinmatriisin 
A rangi (rank)?

\item
Matlab-tehtävä, aiheena lineaarikuvausten havainnollistus ``Strangin taloa''
kuvaamalla.
www-kotisivulla on viite \matl-teksteihin kohdassa harj3 
Siellä on mm. seuraava (nopeampi tapa voi olla näppäily)
\begin{verbatim}
T=[0 0 -1 6 13 12 12 3 3 6 6 0;0 9 8 15 8 9 0 0 5 5 0 0]
plot(T(1,:),T(2,:)
\end{verbatim}
Tässä siis piirretään kuvio, jonka x-koordinaatit ovat matriisin 1. rivillä
ja y-koordinaatit 2. rivillä  (siis sarakkeet muodostavat (x,y)-koordinaattiparit).


Olkoon $A$ $2\times 2$-matriisi ja $F_A$ sen  m\"a\"ar\"a\"amä 
lineaarikuvaus, Siten (pysty)vektorin ${\bf x}$ kuva ${\bf y}$ saadaan kertolaskulla
${\bf y}=A{\bf x}$. 
Piste{\bf joukko} voidaan kuvata kokoamalla $R^2$:n 
pisteet sarakkeiksi
matriisiin (kuten {\tt T} yllä) ja kertomalla se kuvausmatriisilla $A$. 
Niinp\"a  talon
nurkkapisteiden kuvat saadaan suoraan kertomalla "talomatriisi" $T$ $A$:lla, 
ts. $S=A T$.

Olkoon $A$ ``kiertomatriisi'' 
$A= \left [\begin {array}{cc} \cos \theta &-\sin \theta \\
            \sin \theta &\cos \theta \\   \end {array}\right ]$

Suorita {\tt th=pi/4;A=[...;...]; S=T;} ja $\nn$-iteroi sitten riviä:
\begin{verbatim}
>> S=A*S;plot(S(1,:),S(2,:))
\end{verbatim}

Yritä ennustaa, miten talo kuvautuu seuraavissa kuvauksissa ja kokeile
sitten. (Kunhan nyt katsot muutaman). Matriisit on annettu tilan säästämiseksi
\matl-syntaksin mukaisina.
\begin{verbatim}
  [1 0; 0 -1]; [-1 0; 0 1]; [0 1; -1 0];[0 1; 1 0];[.5 0; 0 .5]; [2 0; 0 2]
  [1 0; 1/3 2/3];[1 1/4; 1/4 1]
\end{verbatim}

Olkoon $A$ ``kiertomatriisi'' (vrt. alkuviikko teht. 2)
$A= \left [\begin {array}{cc} \cos \theta &-\sin \theta \\
            \sin \theta &\cos \theta \\   \end {array}\right ]$

Suorita {\tt S=T;} ja $\nn$-iteroi sitten riviä:
\begin{verbatim}
>> S=A*S;plot(S(1,:),S(2,:))
\end{verbatim}
Kuva käyttäytynee odotuksiesi mukaisesti. Kokeile myös käänteiskuvauksen
vaikutusta.

Mieti kuvausta havainnollisesti ajatellen, voiko $F_A$:lla olla reaalisia
ominaisarvoja. Kokeile \matl-komentoja {\tt eig(A)} ja {\tt [V,D]=eig(A)}.
Jos tulos ei vastaa intuitiotasi, yritä selittää miksi (selitä nyt jotain, 
vaikka vastaisikin).

\begin{verbatim}
>> x=cos(t);y=sin(t);plot(x,y),axis equal;axis square
>> Y=[x;y]; 
>> hold on;S=A*B*Y;plot(S(1,:),S(2,:),'w')
\end{verbatim}

