Alustukset, aliakset, kirjastot

>

restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

>	with(linalg): with(LinearAlgebra):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding

Edellinen on vanhempi, versiosta 6 alkaen on uudempi. Pyrimme etupäässä käyttämään uutta, mutta joskus

on mukavaa/välttämätöntä käyttää jotain vanhan kunnon linalgin  funktiota.

Koska uudet nimet ovat tosi pitkiä, kannattaa käyttää aliaksia:

>	alias(rref=ReducedRowEchelonForm):

>	alias(ref=GaussianElimination):  # "row echelon form"

>	alias(Det=Determinant,Id=IdentityMatrix):

Matriisien rakentelu ja laskutoimitukset

Sarake

>

<1,2,3>;

Rivi

>	<1 | 2 | 3>;

2x2-matriisi koottuna sarakkeittain

>	<<1,2>|<3,4>>;

2x2-matriisi koottuna riveittäin.

>	<<1 | 3>,<2 | 4>>;

Lopuksi yleinen ositettu tapaus

>	A := <<1,2>|<3,4>>:

>	<A | <1,2>>;

>	<<A | <1,2>>, <a|b|c>>;

Matriisin osia voi muutella päivittämällä riviä, saraketta tai osamatriisia (Matlabmaisesti)

>	B:=<<A | <1,2>>, <a|b|c>>;

>	B[1,1..-1]:=<x|x|x>: B;  # Muutetaan 1. rivi.

>	B[1,1..-2];

>	B[1..-1,2]:=<haa,hii,hoo>: B;

>	B[2..3,[1,3]];

>	B[2..3,[1,3]]:=<<21,31>|<23,33>>: B;

Tässä oletetaan, että käytössä on vähintään versio 6. (Maple 6)

Gaussin eliminaatio rivioperaatioilla ("käsin)

Aloitetaan restartista.

>	restart:with(linalg): with(LinearAlgebra):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding

Esim:

>	A := <<1,1,0,1>|<-1,1,2,-3>|<1,2,1,0>|<0,4,4,-4>|<0,1,3,-2>|<2,2,1,1>>;

>	b:=<0,3,2,0>:

>	Ab:=<A|b>;

>	Ab[2,1..-1]:=Ab[2,1..-1]-Ab[1,1..-1]: Ab;

>	Ab[4,1..-1]:=Ab[4,1..-1]-Ab[1,1..-1]: Ab;

1. sarake nollattu. Siirrytään 2. sarakkeeseen.

>	Ab[3,1..-1]:=Ab[3,1..-1]-Ab[2,1..-1]:

>	Ab[4,1..-1]:=Ab[4,1..-1]+Ab[2,1..-1]: Ab;

2. sarake nollattu. Seuraava pivot on sarakkeessa 5.

>	Ab[4,1..-1]:=Ab[4,1..-1]+(1/2)*Ab[3,1..-1]: Ab;

Ratkaise nyt "käsin"!

>	x6:=solve(-1/2*x=5/2,x);

x5 ja x4 vapaita.

>	x5:=solve(2*x+x6=-1,x);

Jne.   Kaikenkaikkiaan 2 vapaata parametria,x4 ja x3.  

Jos haluttaisiin sarakepermutaatioita, niin näin:

>	Ab[1..-1,[3,5]]:=Ab[1..-1,[5,3]]:Ab[1..-1,[4,6]]:=Ab[1..-1,[6,4]]: Ab;

>

Gaussin eliminaatio valmiilla funktioilla,  aliakset ref ja rref

>	restart:with(linalg): with(LinearAlgebra):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding

>	alias(rref=ReducedRowEchelonForm):

>	alias(ref=GaussianElimination):  # "row echelon form"

>	A := <<1,1,0,1>|<-1,1,2,-3>|<1,2,1,0>|<0,4,4,-4>|<0,1,3,-2>|<2,2,1,1>>;

>	b:=<0,3,2,0>:Ab:=<A|b>;

>

ref(Ab);

>

rref(Ab);

>

>

Takaisinsijoitus ref-muodosta sekä rref-muoto,LinearSolve

>	E:=<<1,0,0>|<-7,1,0>|<2,-3,0>|<-5,3,1>|<8,1,-1>|<10,-5,4>>;

>	LinearSolve(E[1..-1,1..-2],E[1..-1,-1]);

Tässä laskettu "käsin":

>	x4:=x5+4;x2:=3*x3-4*x5-17;

>	x1:=7*x2-2*x3+5*x4-8*x5+10;

Ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa lineaarikombinaatio kahdesta vektorista + vakiovektori.

(Luennolla)

Jatketaan harjoituksen vuoksi  saattamalla E rref-muotoon.

>

E;

>	E[2,1..-1]:=E[2,1..-1]-3*E[3,1..-1]: E;

>	E[1,1..-1]:=E[1,1..-1]+5*E[3,1..-1]: E;

>	E[1,1..-1]:=E[1,1..-1]+7*E[2,1..-1]: E;

>

>

rref-muoto on nyt valmis. Tukisarakkeet: 1,2,4, vapaat muuttujat x3 ja x5.

Ratkaisut voidaan nyt kirjoittaa suoraan ratkaisemalla jokaisesta yhtälöstä ao. kantamuuttuja vapaiden muuttujien avulla.

Erityisen mukavaa käsinlaskussa.