L8maple.html

L8maple

Luento ke 9.10.02

Alustukset

> restart:

> with(LinearAlgebra):
with(linalg):

Warning, the previous binding of the name GramSchmidt has been removed and it now has an assigned value

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> with(plots):setoptions(scaling=constrained):setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Warning, the name changecoords has been redefined

> alias(Inv=MatrixInverse,Id=IdentityMatrix,Diag=DiagonalMatrix):

> alias(rref=ReducedRowEchelonForm):alias(ref=GaussianElimination):
alias(Id=IdentityMatrix): alias(Diag=DiagonalMatrix):

> # Diag([a,b,c]);

Diagonalisoituvuus

Teoriaa

Muistathan aina , vaikka unissasi (ja jo 1. välikokeessa), ja osaathan todistaakin: Eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat LRT.

Määr: Neliömatriisit A ja B ovat similaariset , jos on olemassa säännöllinen (eli kääntyvä) matriisi S siten, että

Jos A on similaarinen diagonaalimatriisin kanssa (ts. on olemassa diagonaalimatriisi D se. ), sanotaan, että A on diagonalisoituva

(lyh. diagva).

Lause TE 4.5. s. 44, Lay Thm 5 " The Diagonalization Thm , s. 320, KRE Thm 5 s. 394 (asiallisesti sama, muotoilu hiukan vähemmän yleinen)

A (n x n ) on diagva, joss (jos ja vain jos)

A:lla on n kpl. LRT ominaisvektoreita, ts. A:n ominaisvektoreista voidaan muodostaa :n kanta, missä tai .

Erityisesti, jos A:n ominaisarvot ovat erilliset, niin A on diagva.

Seuraus 4.6 . A on diagva joss kaikilla ominaisarvoilla lambda . (Jokaisen ominaisarvon algebrallinen ja geometrinen kertaluku

on sama.)

Palautetaan mieleen V2-asia , jota hyödynnettiin (ilman todistusta):

Symmetrinen matriisi on diagonalisoituva ja ominaisarvot ovat reaaliset .

Palaamme tämänkaltaisiin kysmyksiin, kunhan ensin

puhumme vähän sisätuloista ja ortogonaalisuudesta,

Diagonalisointiresepti : (seuraa suoraan päälauseen todistuksesta)

1) Lasketaan A:n ominaisarvot ja -vektorit (pessimistit laskevat vain geometriset kertaluvut).

Jos ominaisvektoreita ei ole tarpeksi, A ei diagonalisoidu.

2) Jos ominaisvektoreita on tarpeeksi, muodostetaan matriisit S ja , missä

- S:n sarakkeet ovat A:n ominaisvektorit.

- on diagonaalimatriisi, jossa diagonaalilla on ominaisarvot samassa järjestyksessä kuin S:ssä ominaisvektorit

(eli ominaisarvot ja -vektorit vastaavat toisiaan).

3) Koska S:n sarakkeet LRT, voidaan muodostaa, ja siis muodostetaan .

Tarkistus : Kerrotaan ja katsotaan, onko A.

Diagonalisoinnin tarkoitus on löytää matriisit , , ja hyödyntää niitä esim. matriisin potenssien laskemisessa tms. analyysissa,

ei siis vain laskea ja todeta, että eräs matriisikaava on tosi.

Esim 1

Diagonalisoi seuraava matsriisi, jos mahdollista.

> A:=<<1,-3,3>|<3,-5,3>|<3,-3,1>>;

Koska ominaisarvojen ja -vektoreiden laskentaa on jo harjoiteltu, käytämme valmista Eigenvectors -funktiota.

>

Warning, premature end of input

> (oa,ov):=Eigenvectors(A);

Valitettavasti tässä jää aika vähän tehtävää, koska Maple palauttaa mukavasti ov-matrisiin juuri siten, että sarakkeina ovat oa-vektorin alkoita

vastaavat ominaisvektorit. Jos ominaisvektoreita ei ole tarpeeksi, Maple palauttaa nollasarakkeen.

Normaalisti siis on määritettävä kunkin ominaisavaruuden kanta.

> S:=ov;Lambda:=Diag(oa); SI:=S^(-1);

Tässä on siis matriisin diagonalisointi.

Voidaan tarkistaa:

> A = S.Lambda.SI;

Lisää esimerkkejä, esim. KRE ss. 394 - 395

Katsotaan tässäkin lisää tapauksia.

Esim 2

Diagonalisoi, jos mahdollista:

> A:=<<2,-4,3>|<4,-6,3>|<3,-3,1>>;

> Eigenvectors(A);

Nollasarake keskellä kertoo, että ominaisavaruudessa on vain yksi kantavektori, eli

, vaikka

Esim. 3

Diagonalisoi, jos mahdollista:

> A:=<<5,0,1,-1>|<0,5,4,-2>|<0,0,-3,0>|<0,0,0,-3>>;

Koska kyseessä on kolmiomatriisi, ominaisarvot paistavat suoraan päälävistäjältä. Ovatko molemmat ominaisavaruudet 2-ulotteisia?

Turvaudumme halpamaiseen keinoon:

> (oa,ov):=Eigenvectors(A);

> S:=ov: Lambda:=Diag(oa): SI:=S^(-1):

> diagonalisointi:=[S,Lambda,SI];

> A,S.Lambda.SI; # Verrataan.

>

Kaupunkidynamiikkaa diagonalisoimalla

Vrt. myös TE Esim. 4.6, s. 46-47, KRE s. 377 Exa 2

> A:=<<.95,.05>|<.03,.97>>; A:=convert(A,rational);

> (oa,ov):=Eigenvectors(A);

Jätetään normeeraamatta, koska ajosta toiseen muuttuminen osoittautui hankalaksi.

> # ov[1..-1,2]:=3*ov[1..-1,2]: ov; # Ei mitenkään välttämätöntä.
# Huomaa, että Maple saattaa vaihdella järjestystä, joten voit
# joutua vaihtamaan sarakenumeroa.
# Huom2: Ominaisarvojen muodostamaa vektoria ei missään nimessä saa normeerata!

> S:=ov: SI:=S^(-1): Lambda:=Diag(oa):

> S,Lambda,SI;

> Lambda_pot_k:=map(x->x^k,Lambda);

> Lambda_limes:=map(limit,Lambda_pot_k,k=infinity);

> lim_A_potenssiin_k:=S.Lambda_limes.SI;

> alias(Alim=lim_A_potenssiin_k):

> Alim.<1,0>, Alim.<0,1>;

> Alim.<p,1-p>;

Sama tulos, olipa alkupiste mikä tahansa todennäköisyysvektori (tai ylimalkaan vektori, jonka koordinaattisumma = 1)..

Ominaisvektorikantalasku L7maple -työarkilla osoitti, että tulos on ominaisvektorin suuntainen tod. vektori, eli juuri yllä oleva.

(Laskut ovat hyvin läheistä sukua toisilleen.)

Käytetään lopuksi raakaa voimaa ja verrataan:

> A:=convert(A,float); # seq(A^k,k=1..10);

> A20:=(A^20);

> A40:=A20.A20;

> A80:=A40.A40;

> A160:=A80.A80;

> convert(Alim,float);

Kompleksiset ominaisarvot

Alustukset

> kuvakulma:=(A,u)->display(arrow(u,shape=arrow,color=blue),arrow(A.u,shape=arrow,color=red),scaling=constrained,title="Lahto:sininen, kuva:punainen"):

> #n:=30:display(seq(kuvakulma(A,<cos(Theta),sin(Theta)>),Theta=[seq(k*2*Pi/n,k=0..n)]),insequence=true,scaling=constrained);

Voiko kiertokuvauksella olla ominaisarvoja?

> A:=<<cos(phi),sin(phi)>|<-sin(phi),cos(phi)>>;