L7maple.html

>

../L/L7maple.mws

L 12 to 3.10.02

Alustukset

> restart:

> with(LinearAlgebra):
with(linalg):

> with(plots):setoptions(scaling=constrained):setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

> alias(Inv=MatrixInverse,Id=IdentityMatrix,Diag=DiagonalMatrix):

> alias(rref=ReducedRowEchelonForm):alias(ref=GaussianElimination):
alias(Id=IdentityMatrix):

>

Lineaarikuvaukset tasossa ja niiden havannollistaminen

Maple 8:n funktio plots[arrow] on maanmainio! Tehdään sitä käyttävä apufunktio, jolla piirretään sininen nuoli origosta vektorin u määräämään pisteeseen ja punainen nuoli O:sta kuvapisteeseen Au.

> kuvakulma:=(A,u)->display(arrow(u,shape=arrow,color=blue),arrow(A.u,shape=arrow,color=red),scaling=constrained,title="Lahto:sininen, kuva:punainen");

Esim . 1

> A:=<<3,1>|<-2,0>>;

> u:=<-1,1>; v:=<2,1>;

> kuvakulma(A,u);kuvakulma(A,v);

Toisella yrittämällä osuimme ominaisvektoriin. Kuvan mukaan näyttäisi siltä, että vastaava ominaisarvo = 2.

Miten hakisimme yleisemmin? Otetaan (sinisiä) yksikkövektoreita sopivan tiheästi ja kuvataan A:lla.

> display(seq(kuvakulma(A,<cos(Theta),sin(Theta)>),Theta=[seq(k*2*Pi/10,k=0..10)]));

> n:=30:display(seq(kuvakulma(A,<cos(Theta),sin(Theta)>),Theta=[seq(k*2*Pi/n,k=0..n)]),insequence=true,scaling=constrained);

Löydetään toinenkin ominaisvektori aika läheltä. Koska sininen nuoli peittää punaisen, niin siinä ominaisarvo on välillä [0,1].

Toinen esimerkki:

> A:=<<1,5>|<6,2>>;

> n:=40:display(seq(kuvakulma(A,<cos(Theta),sin(Theta)>),Theta=[seq(k*2*Pi/n,k=0..n)]),insequence=true,scaling=constrained);

No lasketaan:

> karpoly:=det(A-lambda*Id(2));

> Lambda:=solve(karpoly=0,lambda);

> rref(A-Lambda[1]*Id(2));

x2 on vapaa, x1=x2, joten esim. [1,1] kelpaa.

> v1:=<1,1>;

> rref(A-Lambda[2]*Id(2));

x2 vapaa, x1=-(6/5)x2, joten x2=5, x1=-6 kelpaa:

> v2:=<-6,5>;

> A.v1=7*v1;

> arrow([v1,v2],scaling=constrained);

Esim 2 Onko kiertokuvauksella ominaisarvoja/vektoreita?

> A:=<<cos(phi),sin(phi)>|<-sin(phi),cos(phi)>>;

> phi:=Pi/4:

> n:=40:display(seq(kuvakulma(A,<cos(Theta),sin(Theta)>),Theta=[seq(k*2*Pi/n,k=0..n)]),insequence=true,scaling=constrained);

No ei sitten millään voi olla ominaisarvoja, eihän? Vai voiko sittenkin?

Lasketaanpa!

> A;

> karpoly:=det(A-lambda*Id(2));

> lam:=solve(karpoly=0,lambda);

> M1:=A-lam[1]*Id(2);

> rM1:=ref(M1);

> x2:=t: x1:=solve(rM1[1,1]*x+rM1[1,2]*x2=0,x);

> v:=subs(t=1,<x1,x2>);

Tarkistetaan:

> A.v=lam[1]*v;

> map(evalc,rhs(%));

Yhtä hyvin:

> subs(t=I,<x1,x2>);

Kompleksiset vektorit voivat näyttää kovasti erilaisilta, vaikka ovat LRV.

> rref(M1); # Huom! rref sekoaa, johtuuko kompleksiluvuista? Kysymys Maplesoftille!

> Eigenvectors(A);eigenvectors(A);

$[1/2*2^(1/2)+1/2*I*2^(1/2), 1, {vector([-1+2^(1/2)*(1/2*2^(1/2)+1/2*I*2^(1/2)), 1])}], [1/2*2^(1/2)-1/2*I*2^(1/2), 1, {vector([-1+2^(1/2)*(1/2*2^(1/2)-1/2*I*2^(1/2)), 1])}]$

Ominaisarvojen laskentaa Maplella

> restart:

> with(LinearAlgebra):
with(linalg):

Warning, the previous binding of the name GramSchmidt has been removed and it now has an assigned value

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> with(plots):setoptions(scaling=constrained):setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Warning, the name changecoords has been redefined

> alias(Inv=MatrixInverse,Id=IdentityMatrix,Diag=DiagonalMatrix):

> alias(rref=ReducedRowEchelonForm):alias(ref=GaussianElimination):
alias(Id=IdentityMatrix):

Käsinlaskutyyli vs. eigenvectors/Eigenvectors

> A:=<<2,0,4> | <0,6,0> | <4,0,2>>;

> p:=det(A-lambda*Id(3));factor(p);# Karakteristinen polynomi

> lam:=solve(%=0,lambda);

Ominaisarvon 6 algebrallinen kartaluku on 2.

> M1:=A-lam[1]*Id(3);
M2:=A-lam[2]*Id(3);

> {lam[1],ref(M1)},{lam[2],ref(M2)};

Ominaisavruuksien dimensiot nähdään suoraan tästä: 1 ja 2 (ei-pivot.-sarakkeiden lkm antaa nulliteetin, yhtä hyvin nollarivien lkm,

kun kerran neliömatr.)

Ominaisvektorien laskemista varten on mukavampaa muodostaa rref. (Kannattaa kuitenkin verrata rref-tulosta ref-tulokseen. Jos ovat ristiriidassa, niin ref on luotettavampi, sillä rref saattaa helpommin harhautua pyöristysvirheiden takia.) (rref saattaa ryhtyä käyttämään pivottina alkiota, joka pitää tulkita nollaksi.)

> {lam[1],ref(M1)},{lam[2],ref(M2)};

> lambda[1]=lam[1];

> x3:=t: x2:=0: x1:=-t:

> v1:=subs(t=1,<x1,x2,x3>);

> lambda[2]=lam[2];

> x3:=s: x2:=t: x1:=x3:

> v2:=subs(t=1,s=0,<x1,x2,x3>);v3:=subs(t=0,s=1,<x1,x2,x3>);

Ominaisarvoon liittyy kaksi LRT ominaisvektoria, joten tämän ominaisarvon geometrinen kertaluku = 2. (Algebrallinen kertalukuhan on myös 2.)

Katsotaan vielä valmiilla funktioilla:

> Eigenvectors(A);

Ominaisarvosarake ja samassa järjestyksessä ominaisvektorisarakkeet.

> (oa,ov):=Eigenvectors(A); # Kätevä tapa samanaikaisesti sijoittaa kahteen muuttujaan.

> oa,ov;

>

Katsotaan vanhalla linalg-tyylillä:

> eigenvectors(A); # eigenvectors ei pane pahakseen, vaikka matriisirakenne on uudenaikainen.

[Ominaisarvo, alg. kertaluku,{ominaiskanta}], [Ominaisarvo, alg. kertaluku,{ominaiskanta}]

Tämä on havainnollinen katsoa, mutta hankalampi poimia.jatkokäsittelyyn.

Kannattaa kokeilla kumpaakin.

Esim. TE 4.5 s. 42

> A:=<<5,-1,1> | <4,0,-2> | <3,-3,1>>;

> p:=det(A-lambda*Id(3));factor(p);# Karakteristinen polynomi

> lam:=solve(%=0,lambda);

> M1:=A-lam[1]*Id(3);
M2:=A-lam[2]*Id(3);

> {lam[1],ref(M1)},{lam[2],ref(M2)};

Ominaisarvon 4 alg, kertaluku = 2, mutta geom. kertaluku vain 1. Ominaisarvo on defektiivinen .

Ominaisvektoreista ei saada :n kantaa.

>

Esimerkki dynaamisesta systeemista, kaupunki/esikaupunki-analyysi

> A:=<<.95,.05>|<.03,.97>>; A:=convert(A,rational);

> p:=det(A-lambda*Id(2));factor(p);# Karakteristinen polynomi

> lam:=solve(%=0,lambda);

> M1:=A-lam[1]*Id(2);
M2:=A-lam[2]*Id(2);

> rM1:=rref(M1);

> rM2:=rref(M2);

> v1:=<3,5>; v2:=<1,-1>;

> lam[2];convert(%,float);

Esitetään alkupiste kannassa .

> #x0:=convert(<.6,.4>,rational):

> x0:=<0.,1>:

> c:=LinearSolve(<<v1>|<v2>>,x0);

> 0.125*v1;

>

Esim: Lausuttava annettu vektori matriisin ominaisvektorikannassa

Edellä teimme tämän. Otetaan uudestaan erillisenä tehtävänä, tätä tarvitaan usein.

Itse asiassa kyse on aivan samasta kuin matriisin diagonalisoinnissa. Tässä tyylissä lasketaan vektorimuodossa.

> A:=<<9/10,1/10>|<3/10,7/10>>;

> (oa,ov):=Eigenvectors(A);

> v1:=ov[1..-1,1];v2:=ov[1..-1,2];

Tarkistetaan ominaisarvo/vektoriominaisuus:

> A.v1 = oa[1]*v1;

A.v2 = oa[2]*v2;

Ladotaan ominaisvektorit vierekkäin matriisiksi. Koska vektorit liittyvät eri ominaisarvoon, tiedämme jo suoraan, että ne ovat LRT. Siten niiden muodostama matriisi on kääntyvä.

> V:=<v1 | v2>;