Luento 7

ti-ke 24-25.9.02

Linkit

Esim 2.3. TE s. 14. (Luennolla esitetty jännitysnäytelmä)
Sama mws:nä

Kannanvaihto, Lineaarikuvaukset

Kirjalyhenteet:

   TE: Timo Eirolan pruju
   KRE Kreyszig (8. painos)
   LAY: Lay Linear Algebra
   STR  Strang: Linear Algebra
   LAODE: Golubitsky-Dellnitz

Näissä kirjojen kohdissa on tähän liittyvää

TE Luku 2: Lineaarikuvaukset s. 10 ...
KRE8 s. 362 - 365 (Lyhyesti ja vain R^n -> R^m )
Lay 3: s. 232
LAODE 3.2 s. 67-> ja Ch9, s. 309->,

Lineaarikuvaus Rⁿ -> R^m

Tämä on entuudestaan tuttua asiaa, mutta antaa olla tässä kertauksen vuoksi (kopioitu L3.html-tiedoston lopusta).

Määr.: Olkoon L:Rⁿ -> R^m kuvaus. (Siis jokaiseen x in Rⁿ liittyy yksikäsitteinen Lx in R^m. Kuvaus on lineaarinen , jos

L(x+y)=Lx + Ly kaikilla x,y in Rⁿ
L(cx)=cLx kaikilla x in Rⁿ ja c in R.

Jokainen matriisi A (mxn) määrittelee lineaarikuvauksen : Rⁿ -> R^m, kuten matriisitulon osittelulaeista heti seuraa.

Myös kääntäen:

Lause Olkoon F:Rⁿ -> R^m. Tällöin F voidaan esittää matriisin A avulla. Matriisi saadaan latomalla kantavektoreiden kuvat sarakkeiksi matriisiin.

Tod Olkoon x in Rⁿ. Esitetään x luonnollisen kannan avulla:

                                    n
                                  -----
                                   \
                              x =   )   x[i] e[i]
                                   /
                                  -----
                                  i = 1

F:n lineaarisuuden nojalla:

                                    n
                                  -----
                                   \
                           F(x) =   )   x[i] F(e[i])
                                   /
                                  -----
                                  i = 1

Mutta tämähän on sama kuin A x , kun A-matriisina on F(e[i]) - sarakevektoreista koostuva matriisi.

QED.

Yleiset lineaarikuvaukset T: U -> V

Määr TE s. 12. Aivan sama kuin edellä Rⁿ:n tap.

Huom! Lineaarikuvaus voi olla määritelty muutenkin kuin matriisin avulla. Esimerkkejä lineaarikuvauksista funktioavaruuksissa:

Derivointi,
Integrointi,
Integraalimuunnokset (Fourier- Laplace. ym. )
Diskreetit (jonoavaruus-)muunnokset (Z-muunnos, DFT (FFT)) ym.

Lause: (TE 2.1 s. 13 alh.) Lineaarikuvaus T:U --> V , missä dim(U)=n, dim(V)=m voidaan lausua matriisin A avulla (T=L_A), kun kannat B_U ja B_V on kiinnitetty.
Matriisi A saadaan latomalla B_U-kantavektoreiden kuvien B_V-koordinaattivektorit sarakkeiksi A-matriisiin.

Esim 2.3. TE s. 14.