http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/02/L/L3.html
Päivitetty 19.9.2002
Luennot 5-6
ke/to 18/19.9.02
Kirjalyhenteet:
TE: Timo Eirolan pruju
KRE Kreyszig (8. painos)
LAY: Lay Linear Algebra
STR Strang: Linear Algebra
LAODE: Golubitsky-Dellnitz
Näissä kirjojen kohdissa on tähän liittyvää
KRE 7.5,7.6, 7.15
LAODE
Matriisiin liittyvät vektoriavaruudet
Annettu m x n - matriisi A.
| Avaruus | dimensio |
| riviavaruus, row(A) | rangi, r(A) |
| sarakeavaruus, col(A) | rangi, r(A) |
| nolla-avaruus, N(A) | nulliteetti, n(A) |
Nolla-avaruus, eli ydin
Esim
Määritä N(A):n kanta, kun
> A:=<<-3,1,2>|<6,-2,-4>|<-1,2,5>|<1,3,8>|<-7,-1,-4>>;
[-3 6 -1 1 -7]
[ ]
A := [ 1 -2 2 3 -1]
[ ]
[ 2 -4 5 8 -4]
> rref(A);
[1 -2 0 -1 3]
[ ]
[0 0 1 2 -2]
[ ]
[0 0 0 0 0]
> x1:=2*x2+x4-3*x5:
> x3:=-2*x4+2*x5:
> u:=<2,1,0,0,0>;v:=<1,0,-2,1,0>;w:=<-3,0,2,0,1>;
> ;
[2 1 -3]
[ ]
[1 0 0]
[ ]
[0 -2 2]
[ ]
[0 1 0]
[ ]
[0 0 1]
Vektorit ovat LRT, sillä jokaista vapaata muuttujaa vastaa matriisissa yksikkömatriisin rivi. Suoraan LRT-määritelmästä,
kun katsotaan näitä kohtia, nähdään, että kertoimien on oltava = 0.
(Vektorit tietysti virittävät N(A):n.)
Tämä on yleistyskelpoinen päättely. Ilman muutahan aina kunkin vapaan muuttujan numeroisella rivillä on yksikkömatriisin
rivi. Riittäköön tämä, emme mene sen formaalimpaan todistukseen tässä kohden.
Johtopäätös: N(A):n dimensio, jota merkitsemme n(A):lla =
vapaiden muuttujien lukumäärä.
| n(A)=dim(N(A))=vapaiden muuttujien lkm |
Sarakeavaruus col(A)
Lause col(A):n kannan muodostavat A:n tuki- (=pivot-) sarakkeet. (Ne paljastuvat ref:stä.) Siis ref(A):sta katsotaan tukisarakkeiden indeksit, niillä mennään alkuperäiseen A-matriisiin
poimimaan a-sarakkeet.
Esim
> A:=<<1,3,2,5>|<4,12,8,20>|<0,1,1,2>|<2,5,3,8>|<-1,5,2,8>>;
[1 4 0 2 -1]
[ ]
[3 12 1 5 5]
A := [ ]
[2 8 1 3 2]
[ ]
[5 20 2 8 8]
> ref(A);
[1 4 0 2 -1]
[ ]
[0 0 1 -1 8]
[ ]
[0 0 0 0 -4]
[ ]
[0 0 0 0 0]
Tukisarakkeiden indeksit: 1,3,5.
> A[1..-1,[1,3,5]];
[1 0 -1]
[ ]
[3 1 5]
[ ]
[2 1 2]
[ ]
[5 2 8]
Siinäpä komeilee col(A):n kanta.
Riviavaruus row(A)
Esim.
A:=<<-2,1,3,1>|<-5,3,11,7>|<8,-5,-19,-13>|<0,1,7,5>|<-17,5,1,-3>>;
[-2 -5 8 0 -17]
[ ]
[ 1 3 -5 1 5]
A := [ ]
[ 3 11 -19 7 1]
[ ]
[ 1 7 -13 5 -3]
> ref(A);
[-2 -5 8 0 -17 ]
[ ]
[ 0 1/2 -1 1 -7/2]
[ ]
[ 0 0 0 -4 20 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 0 ]
> F:=rref(A);
[1 0 1 0 1]
[ ]
[0 1 -2 0 3]
F := [ ]
[0 0 0 1 -5]
[ ]
[0 0 0 0 0]
> B:=F[1..-2,1..-1];
[1 0 1 0 1]
[ ]
B := [0 1 -2 0 3]
[ ]
[0 0 0 1 -5]
> rivi:=(M,i)->M[i,1..-1];
rivi := (M, i) -> M[i, 1 .. -1]
> kantavektorit:=seq(rivi(B,i),i=1..3);
kantavektorit :=
[1, 0, 1, 0, 1], [0, 1, -2, 0, 3], [0, 0, 0, 1, -5]
Huom! Toki kantavektorit voidaan muodostaa myös A:n rivivektoreista. Miten tehdään kätevästi.
No kyseessähän on A^T:n sarakeavaruus. Tehdään ref(A^T):lle ja poimitaan.
Rangi, lineaarialgebran peruslauseen matriisimuoto
Määritelmä Matriisin A rangi, eli (säännöllisyys)aste on sarakeavaruuden dimensio dim(col(A)).
Merk r(A).
Edellä nähtiin, että sarakeavaruuden dim = pivotsarakkeiden lkm ja
riviavaruuden dim = nollasta poikkeavien rivien lkm ref(A):ssa.
Mutta jokaista pivottia kohti on täsmälleen yksi nollasta poikkeva
rivi ja yksi sarake ref(A):ssa. Niinpä päädymme lineaarialgebran
erääseen "ihmeeseen": dim(row(A))=dim(col(A)) . Rangi voitaisiin siten
määritellä myös riviavaruuden dimensioksi.
Toisin sanoen:
Rangi r(A) on nollasta poikkeavien rivien lkm ref(A):ssa,
eli alimman ei-nollarivin rivi-indeksi.
(Siksipä merkitsimme viime mainittua jo ennakoivasti r:llä.
Lause (Lineaarialgebran peruslauseen matriisimuoto)
Olkoon A m x n - matriisi. Tällöin
r(A) + n(A) = n
Sanoin lausuttuna: rangi + "nulliteetti" = n
|
Tod: Olkoon E=ref(A). r(A) = pivotsarakkeiden lkm.
Edellä todettiin: n(A) = vapaiden muuttujien lkm.
No mutta siinäpä se, muunlaisia sarakkeita ei ole, kuin näitä kahta
tyyppiä, joten summaksi tulee n.
Peruslause lineaarikuvaukstermein
Jos ajattelemme (ennakoivasti) matriisin määräämän lineaarikuvauksen
T=LA
kannalta, niin (kohta näemme):
col(A) = T(Rn) (kuvajoukko)
N(A) = ker(T) (ydin={x | T(x) = 0} )
Siten:
|
(kuva-avaruuden dim) + (ytimen dim) = Lähtöavaruuden (määrittelyjoukon) dim
|
Lineaarisia yhtälösysteemejä koskeva lause alkuperäisen datan avulla
Palautetaan lineaaristen systeemien peruslause. Esitetään Gauss-Jordan- eli
rref-muodossa. Tässä siis r < m merkitsee, että 0-rivejä on, ja
r < n, että "parametrisarakkeita" on.
r n
-------------------------------
| | | (r < m) ja (b2 # 0): ei ratk.
| | | (r = m) tai (b2 = 0):
| | | r = n : 1-käs. ratk.
| | | r < n : (n-r) vapaata par.
| Ir x r P
| | |
| | |
| | |
| | |
r -------------------------------
| 0 | 0 |
| 0 | 0 |
m -------------------------------
Lineaaristen systeemien peruslause näkyy suoraan tästä kuvasta, kuten L1:ssä todettiin.
Tulos on siltä osin epätyydyttävä, että
siinä esiintyy rivioperaatioilla muuteltu b-vektori (jota kutsuimme nimellä bmato).
Muistamme, että a)-kohta (r < m ja B2#0) oli ainoa tapaus, jossa
ratkaisuja ei ole.
Toisaalta, jos kirjoitamme matriisiyhtälön vektoriyhtälöksi
(riviajattelu ==> sarakeajattelu), niin ratkaisun olemassaolololle on
välttämätöntä ja riittävää, että b-vektori voidaan lausua A-matriisin
sarakevektoreiden
lineaarikombinaationa. Tämä merkitsee, että epäkonsistentti a)-tapaus esiintyy
jos ja vain jos (joss) b ei kuulu A:n sarakeavaruuteen col(A).
Tämä ehto voidaan elegantisti lausua rangin avulla. Muistamme: r(A) on
max-määrä LRT sarakkeita (=sarakeavaruuden dimensio). Jos katsomme
matriisia Ab = [A b] (Matlab-syntaksi), niin aina pätee R(Ab) >= R(A) ja
yhtäsuuruus pätee joss b kuuluu A:n sarakeavaruuteen.
Yllä oleva (viivojen välinen) päättely jätetään selitettäväksi harj2LV teht. 4 (a)
Lauseemme voidaan siis muotoilla näin:
Kts. KRE 6.5 Thm 1 s. 338.
Lause (linsys, muoto 2)
Olkoon A (mxn) matriisi ja b sarakevektori (pituus m). Merk. taas:
Ab=[A b]
Systeemillä A x = b on ratkaisuja JOSS
r(A)=r(Ab).
Oletetaan nyt, että ratkaisuja on, eli r(A)=r(Ab)=r.
(b) Jos r=n (täysi rangi, "full rank"), niin yksikäsitteinen ratk.
(c) Jos r < n, niin n-r vapaasti valittavaa param. (äärettömän monta ratk.)
|
Neliömatriisit
Determinantit
Voit kerrata (tai tustua aiheeseen) lukaisemalla KRE 6.6 s. 341 - 347.
(Cramerin sääntöä emme tarvitse, voit siten lopettaa s.
347 alaosaan.)
Mieleen palautusta:
Olkoon A nxn-matriisi (neliömatr.) Matriisiin A voidaan liittää
luku det(A).
Kannattaa palauttaa mieleen ainakin determinanttien kehittäminen
alideterminanttien ja shakkilautamerkkikaavion avulla.
Determinanttien merkitys lienee hieman vähenemään päin.
Kannattaa muistaa, että determinanttien teoria on paljon vanhempaa
kuin matriisien.
Esimerkki kauniista, mutta tehottomasta kaavasta on Cramerin sääntö.
Se on käytännön laskennassa toivottoman tehoton (jos n > 4).
Gauss on aivan ylivertainen.
Determinantit ovat silti erinäisissä yhteyksissä tarpeellisia ja käteviä.
KRE esitystapa on tarpeisiimme oikein sovelias.
Lähdetään 2x2-
determinantista ja laajennetaan tunnettuun tapaan yleisille n-rivisille.
Muistathan:
Determinantti on luku, kun taas matriisi on lukutaulukko.
Determinantti määritellään vain neliömatriisille.
|
Lause (determinanttien kertosääntö)
det(AB)=det(A)det(B)
|
Kaunis!, helppo muistaa, todistuskaan ei ole ollenkaan niin hankala,
kuin voisi luulla. (kts. KRE Thm. 7 s. 356).
Jätämme todistuksen kuitenkin väliin, emmekä
vaadi osattavaksi, itse kaavan kylläkin.
Determinanttien merkitys yhtälösysteemien teoriassa perustuu
siihen, että Gaussin rivioperaatiot eivät muuta determinantin
nollaluonnetta (nolla/ei-nolla).
Yläkolmiomatriisin determinantti
puolestaan on helppo laskea:
Yläkolmio(alakolmio-)matriisin det = diagonaalialkioiden tulo.
(Olisi sopiva pikku harjoitustehtävä, mutta emme malta pysähtyä
nyt tähän.)
Rivioperaatioihin nähden pätee:
Lause (KRE Thm. 1 sec. 6.6, s. 345) Determinantin käyttäytyminen
rivioperaatioissa.
- Rivien vaihto vaihtaa determinantin merkin
- Rivi2:=c*Rivi1 + Rivi2 ei muuta det:n arvoa.
- Rivin kertominen c:llä kertoo det:n arvon c:llä.
Tästä seuraa:
Lause Neliömatriisin A (n x n) rangi on täysi (eli n)
jos ja vain jos
det(A) # 0
|
Tod: Neliömatriisin rangi on täysi, jos ja vain jos jokainen sarake
on pivot-sarake, ts. ref(A):n diagonaalialkiot ovat kaikki # 0.
Koska det(A)#0, joss det(ref(A))#0, ja vm. on diagonaalialkoiden
tulo, niin todistus on valmis.
Huom! Tämä esitetään KRE s. 347 (Thm. 3) yleisemmässä muodossa, mutta
meille riittää hyvin tämä.
Määritelmä Neliömatriisi A (nxn) on kääntyvä, eli säännöllinen eli
ei-singulaarinen, jos on olemassa matriisi B siten, että
AB = BA = I
Matriisia B sanotaan tällöin A:n käänteismatriisiksi ja merk B=A-1.
Käänteismatriisin olemassaolo ja määrittäminen palautuu välittömästi
n:ään yhtälösysteemiin, joiden kerroinmatriisina on A ja oikeana puolena
yksikkömatriisin sarakkeet. Tästä nähdään heti, että
matriisilla A (nxn). on käänteismatriisi JOSS
r(A)=n
Siten:
- Käänteismatriisi lasketaan Gauss-Jordanilla
- Käänteismatriisia ei lasketa Cramerilla (emme edes opettele sitä)
- Käänteismatriisia ei lasketa !
Viimeinen lausahdus tarkoittaa sitä, että käänteismatriisi on erinomainen
apuväline teoreettisissa tarkasteluissa, matriisilausekkeissa ym., mutta
käytännön laskuissa sitä ei juurikaan tarvita. (Käytetään matriishajoitelmaa,
kuten LU-haj.)
Kootaan yhteen neliömatriisi/systeemiasioita:
Lause A (nxn). Seuraavat ominaisuudet ovat yhtäpitäviä:
-
A:lla on käänteismatriisi A-1
-
rangi: r(A)=n (täysi rangi)
-
det(A)#0 (# tarkoittaa erisuuri)
-
N(A) = {0} (n(A)=0)
-
A:n sarakkeet ovat LRT ( <==> virittävät)
-
A:n rivit ovat LRT ( <==> virittävät)
-
(HY) Ax = 0 vain triviaaliratkaisu x=0
-
A:n määräämä lineaarikuvaus LA on injektio
-
(EHY) Ax = b yksikäs. ratk. kaikilla b.
-
A:n määräämä lineaarikuvaus LA on surjektio
|
Lause
Jos A(nxn) ja B(nxn) ovat kääntyviä, niin AB on kääntyvä ja
(AB)-1=B-1A-1
Tod: Suora lasku, käytetään matriisitulon liitännäisyyttä ja
käänteismatriisin määritelmää. (Kukaan ei voi eksyä harhapoluille!)
Käänteismatriisin laskeminen Gauss-Jordanilla
Esim.
> A:=<<-1,3,-1>|<1,-1,3>|<2,1,4>>;
[-1 1 2]
[ ]
A := [ 3 -1 1]
[ ]
[-1 3 4]
> AI:=;
[-1 1 2 1 0 0]
[ ]
AI := [ 3 -1 1 0 1 0]
[ ]
[-1 3 4 0 0 1]
Tässä ratkaisemme yhtäaikaa kolme yhtälösysteemiä, joissa sama
kerroinmatriisi A ja b-vektorina vuorollaan kukin
yksikkömatriisin sarake. Jos matriisi A on kääntyvä, niin rref(A) on
yksikkömatriisi. Tällöin kukin bmato antaa suoraan
vastaavan ratkaisuvektorin, joten bmadot vierekkäin antavat
käänteismatriisin sarakkeet. Ts. rref(AI) tekee
vasemmalle puolelle 3x3-yksikkömatriisin (jos täysi rankki) ja
oikealle puolelle A:n käänteismatriisin (simsalabim!).
> rref(AI);
[ -7 ]
[1 0 0 -- 1/5 3/10]
[ 10 ]
[ ]
[ -13 ]
[0 1 0 --- -1/5 7/10]
[ 10 ]
[ ]
[0 0 1 4/5 1/5 -1/5]
> B:=%[1..-1,4..6];
[-7 ]
[-- 1/5 3/10]
[10 ]
[ ]
B := [-13 ]
[--- -1/5 7/10]
[10 ]
[ ]
[4/5 1/5 -1/5]
Onko tuo nyt totta?
> A.B;
[1 0 0]
[ ]
[0 1 0]
[ ]
[0 0 1]
> B.A;
[1 0 0]
[ ]
[0 1 0]
[ ]
[0 0 1]
Toden totta, tuossa selityksessä oli taikaa!
Tästä eteenpäin viimevuotista tekstiä, jota ei ole kaikilta osiltaan
päivitetty syksyn 2002-tyyliseksi.
Lineaarikuvaukset
Laode 3.2 s. 67-> ja Ch9, s. 309->, KRE 7.15, Str s. 305->
Määr.: Olkoon L:Rn -> Rm kuvaus.
(Siis jokaiseen x in Rn liittyy yksikäsitteinen Lx in Rm.
Kuvaus on lineaarinen , jos
- L(x+y)=Lx + Ly kaikilla x,y in Rn
- L(cx)=cLx kaikilla x in Rn ja c in R.
Jokainen matriisi A (mxn) määrittelee lineaarikuvauksen :
Rn -> Rm, kuten matriisitulon osittelulaeista heti
seuraa.
Myös kääntäen:
Lause
Olkoon F:Rn -> Rm. Tällöin F voidaan esittää
matriisin A avulla.
Matriisi saadaan latomalla kantavektoreiden kuvat sarakkeiksi matriisiin.
Tod Olkoon x in Rn. Esitetään x luonnollisen kannan avulla:
n
-----
\
x = ) x[i] e[i]
/
-----
i = 1
F:n lineaarisuuden nojalla:
n
-----
\
F(x) = ) x[i] F(e[i])
/
-----
i = 1
Mutta tämähän on sama kuin A x , kun A-matriisina on
F(e[i]) - sarakevektoreista koostuva matriisi.
QED.
Huom! Olkoon yleisesti F:V->W , missä dim(V)=n, dim(W)=m.
Jos {e[1],...,e[n]} on mielivaltainen kanta
lähtöavaruudessa ja {f[1],...,f[m]} on mielivaltainen kanta
maaliavaruudessa, niin sama lasku antaa kuvauksen näin:
x -> (x[1],...,x[n]) -> A (x[1],...,x[n])' , missä A saadaan
latomalla F(e[i])-vektorien koordinaattivektorit kannan {f[1],...,f[m]}
suhteen matriisin sarakkeiksi. Tuloksena saadaan koordinaattivektori,
joka ilmaisee koordinaatit f-kannassa.
Lause
-
Yhdistetyn kuvauksen matriisi on vastaavien matriisien
tulo.
- Käänteiskuvaus on olemassa JOSS kuvauksen matriisi on kääntyvä. Tällöin
käänteiskuvauksen matriisi on (tietenkin) kuvauksen matriisin
käänteismatriisi.
Tod 1. seuraa matriisikertolaskun liitännäisyydestä.
2. on välitön seuraus kääntesmatriisin (ja käänteiskuvauksen) määritelmästä.
Huom: Ominaisuus 1. on motivaatio sille, miksi matriisikertolasku
määritellään, kuten tehdään.
Tason lineaarikuvauksista
Lineaarikuvaukset L: R2 -> R2 ovat siis kaikki
määriteltävissä sopivan matriisin A (2x2) avulla.
Dilataatio, diagonaalimatriisi
c=0.6;A=diag([c,c]) % kutistus, (0 < c < 1)
c=1.4;A=diag([c,c]) % venytys, ( c > 1)
map
c1=.3;c2=4;A=diag([c1,c2]) % (x1,x2)->(c1*x1,c2*x2) yleinen diag. kuvaus.
map c=0.6;A=diag([c,c])
![[map1.gif]](http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/gif/map1.gif)
Kierto
T=30*pi/180;A=[cos(T), -sin(T);
sin(T), cos(T)]
0.8660 -0.5000
0.5000 0.8660
Icons -> vect. koord: (1.5,0)
![[map2.gif]](http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/gif/map2.gif)
Kierto ja dilataatio
T=30*pi/180;c=0.8;A=c*[cos(T), -sin(T);
sin(T), cos(T)]
A =
0.6928 -0.4000
0.4000 0.6928
Kerran zoomattu
![[map3.gif]](http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/gif/map3.gif)
Vektorien kärjet piirtävät spiraalin, joka suppenee kohti O:a.
Lineaarikuvauksen havainnollistus, oma skripti
Rakennetaan maanläheinen skripti yksikköympyrän kuvautumisesta.
clf
A=diag(1:2) % Vaihda A siten kuin haluat.
t=linspace(0,2*pi,50); % Kulmat
ympyra=[cos(t);sin(t)]; % 1-ymp. pisteet: 1. rivi: x-pisteet
% 2. rivi: y-pisteet
kuva=A*ympyra; % Kuvapisteet A:lla kerrottaessa
plot(ympyra(1,:),ympyra(2,:),'r') % Ympyrä punaisella 'r'
hold on
plot(kuva(1,:),kuva(2,:),'b'); % Kuva sinisellä
axis('square');axis([-4 4 -4 4])
grid;shg;
disp('Valitse punaiselta ympyrältä piste, jonka kuvan haluat nähdä')
[x,y]=ginput(1)
plot([0,x],[0,y],'r')
uv=A*[x;y];
plot([0,uv(1)],[0,uv(2)],'b')
Saadaan tällainen:
![[linkuv1.gif]](http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/gif/linkuv1.gif)
Tähän olis kiva laittaa for-silmukka, joka antaisi mahdollisuuden valita
useita pisteitä ja katsoa niiden kuvautumista
Strangin talo
Str-kirjan kansikuvassa on taloja.
Jotta kiertomatriisin luominen olisi vaivatonta, voimme kirjoittaa funktion:
%%%%%%%% kierto.m %%%%%%%%%%%%
function A=kierto(theta)
A=[cos(theta), -sin(theta);
sin(theta), cos(theta)];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Strangin talo
clf
T=[0 0 -1 6 13 12 12 3 3 6 6 0;0 9 8 15 8 9 0 0 5 5 0 0]
plot(T(1,:),T(2,:))
shg
A=kierto(pi/4);S=T;
S=A*S;plot(S(1,:),S(2,:)) %% nn-iteroi!
Modifikaatio: joka talo omaan ikkunaan
Joskus järkevää, joskus ei!
clf
T=[0 0 -1 6 13 12 12 3 3 6 6 0;0 9 8 15 8 9 0 0 5 5 0 0]
plot(T(1,:),T(2,:))
shg
A=kierto(pi/4);S=T;
S=A*S;figure;plot(S(1,:),S(2,:)) %% nn-iteroi!
Sisätuloavaruus
Ominaisuudet:
I (cu+dv,w)=c(u,w)+d(v,w) lineaarisuus 1. argum. suht
II (u,v)=conj(v,u) conj tarkoittaa kompleksikonjug.
III (u,u) >= 0, yhtäsuuruus <==> u=0
Rn:ssä (Cn):ssä
n
-----
\ ---
(u,v) = ) u[i] v[i]
/
-----
i = 1
( --- viittaa konjugointiin )
- Ortonormaali on LRT
- Esitys ON-kannassa (Fourier)
- LRT voidaan ortonormeerata (Gram-Schmidt)
Normiavaruudet
Sisätulosta saatava normi:
|| u || = sqrt(u,u)
Normi voi syntyä myös ilman sisätuloa,
esim:
n
-----
\
||u||1 = ) |ui| l1 eli taksikuski
/
-----
i = 1
tai
max-normi
||u||8' = max(|u1|,|u2|,...|un|) lääretön
(Tässä 8' tarkoittaa "makaavaa (transponoitua) 8:aa, eli ääretöntä.)