\documentclass[finnish,10pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}

\begin{document}
\noindent

{www.math.hut.fi/teaching/v/3/02/L/L18aalto.pdf}

\section*{Aaltoyht�l�, muuttujien erottelu ja 
Fourier-sarjat, V3 syksy 2002}
 
{\tiny 5.12.02, Heikki Apiola}

\smallskip

{\bf Viitteit�}

KRE luku 11, 11.1 -- 11.3

\smallskip

\begin{abstract}
K�sittelimme viimeisell� luennolla Fourier-sarjojen sovellutuksena 
osittaisdifferentiaaliyht�l�n ratkaisemista. Kyseess� on 1-ulotteinen
aaltoyht�l�. Johdantokalvojen kopioita Astridin huoneen ovenpieless�,
mutta samat asiat l�ytyv�t KRE:sta.

Asia k�siteltiin lyhyess� ajanjaksossa ja kaiken lis�ksi
luennolla tuli pieni ep�johdonmukaisuus siit� syyst�, ett� 
vakio $c^2$ vaihtui v�lill� ep�huomiossa v��r�lle puolelle.

Harjoituksista kantautui viesti�, ett� aihe ei oikein viel� kypsynyt.


Asiantilan parantamiseksi t�m� teksti. Siin� edet��n KRE-kirjan j�rjestyst� ja 
merkint�j� noudattaen, hieman teht�v�� viel� yksinkertaistaen.

 
\end{abstract}

\subsubsection*{Aaltoyht�l� (1-ulotteinen)}

V�r�htelev� kieli on pingotettu ja kiinnitetty p�ist��n, vasen p��
Origoon, oikea siit� et�isyydelle $L$.



$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

Reunaehdot (RE): $u(0,t)=0, \ \ u(L,t)=0$  (P��t ovat paikallaan aina.) \\
Alkuehdot: \\
AE$_1$: $u(x,0) = f(x)$  (annettu alkupoikkemaprofiili) \\
AE$_2$: $u_t(x,0) = g(x)$  (annettu alkunopeusprofiili). \\

{\bf Yleisperiaate:} Osittaisdiffyht�l�iden teoria ja ratkaiseminen on paljon
monimutkaisempaa kuin tavallisten.

Ote kirjasta ... {\em Anna Karenina ...}

Yleisen ratkaisun etsiminen ei ole yleens� mielek�st�, perhe on aivan liian suuri
(kyseess� on pikemminkin v�hint��n koko suku).

Strategiamme: Etsimme riitt�v�n yksinkertaista ratkaisufunktioluokkaa, jonka
puitteissa haemme mahdollisimman yleist� ratkaisujoukkoa, jota supistamme
vasta pakon edess�, kun vastaan tuleva ehto sit� vaatii. N�in pelaten pyrimme
ratkaisuun, joka toteuttaa kaikki vaadittavat ehdot.


\subsubsection*{Askel 1, osittaisdiffyht�l� hajoaa kahdeksi tavalliseksi}

Yrite: $u(x,t)=F(x) G(t).$ Sijoitetaan diffyht�l��n, saadaan:

$$F(x) G''(t) = c^2 F''(x) G(t).$$

jaetaan tulolla $F(x) G(t) c^2$, jolloin saadaan

%$$\frac{F(x)}{c^2 F''(x)}=\frac{G(t)}{G''(t)}.$$

$$\frac{G''(t)}{c^2 G(t)}=\frac{F''(x)}{F(x)}.$$

T�m� on mahdollista vain, jos molemmat puolet ovat = sama vakio, sanokaamme
$k$.

\subsubsection*{Askel 2, reunaehdot}

$u(0,t)=F(0) G(t)= 0,  u(L,t)= F(L) G(t) = 0 \ \ \forall t > 0 .$

Koska emme ole kiinnostuneita identtisesti h�vi�v�st� ratkaisusta
\footnote{Nollaratkaisu ei voi toteuttaa alkuehtoa, ellei alkuehto ole
$0$-funktio, mik� tuskin ket��n kiinnostaa.} 

$u(x,t) \equiv 0,$ on oltava $F(0)=0, \ \ F(L)=0 .$ 

{\bf Huom:} Pyrimme koko ajan {\bf s�ilytt�m��n niin paljon vapausasteita
kuin mahdollista}, jotta voisimme saada kaikki vaadittavat ehdot toteutumaan.

{\bf Mit� rajoituksia on asetettava $k$:lle?}

(1) Voisiko tulle kyseeseen $k=0$. T�ll�in olisi $F(x)=a x + b$, jolloin
alkuehdot pakottaisivat kertoimet nolliksi, ei siis k�y.

(2) Ent�, jos $k > 0$ ? T�ll�in $F$-yht�l�n ratkaisut olisivat muotoa

$F(x)=A e^{\mu x} + B e^{-\mu x} $, miss� $\mu = \sqrt{k}$. RE:t pakottaisivat
j�lleen : $A=B=0$, $\implies $ $F \equiv 0$

(3) J�ljelle j�� tapaus $k < 0$.

{\bf $k$:n oltava negatiivinen}

Merk. $k=-p^2 .$

%\end{document}
Diffyht�l�t ovat siten:

$$\begin{cases}
F''(x) + p^2 F(x) = 0 \\
G''(t) + c^2 p^2 G(t) = 0
 \end{cases} $$

Siten $F(x)=A \cos p x + B \sin p x .$

Reunaehdoista seuraa siis: $0 = F(0)= A$, joka toiseen RE:oon yhdistettyn� 
antaa $0 = F(L) = B \sin p x $.

Koska $B$ ei voi olla $0$ (muuten triv. ratk.), on oltava $p L = n \pi$

Siten ainoat mahdolliset $p$:n arvot ovat $p=\frac{n \pi}{L} .$

{\bf Kaikki \footnote{Tarkemmin: kaikki muuttujien erottelumenetelm�ll� saatavat}
mahdolliset diffyht�l�n ja RE:t toteuttavat ratkaisut} ovat
siten muotoa 

$$u_n(x,t)=\sin \frac{n \pi x}{L} G(t), $$

miss� $n=1,2,3, \ldots $ ja miss� $G(t)$ toteuttaa G-yht�l�n. 
T�ss� valittiin $B$-kerroin $1$:ksi, sill� se voidaan yhdist�� $G(t)$:n kertoimiin,
kuten kohta n�hd��n. 




{\bf G-yht�l�n ratkaisut}

Merk. $\lambda_n= c p = \frac{c n \pi}{L}$, jolloin G-yht�l� on:
$$G''(t) + \lambda_n G(t) = 0.$$

Yleinen ratkaisu: $G_n(t)=B_n \cos \lambda_n t + B_n^* \sin \lambda_n t$.

Siten teht�v�n (diff. yht + RE:t) ratkaisuja ovat funktiot

$u_n(x,t)=(B_n \cos \lambda_n t + B_n^* \sin \lambda_n t)\sin \frac{n \pi x}{L}$.

Yksinkertaistavasta toisesta AE:sta seuraa heti: $B_n^* = 0$ (derivoidaan $t$:n suhteen
ja sijoitetaan $t=0$).

N�in olemme saaneet funktioperheen, jonka kaikki j�senet toteuttavat diffyt�l�n ja
RE:t sek� lis�ksi j�lkimm�isen AE:n. T�ss� se on:

$u_n(x,t)=(B_n \cos \lambda_n t)\sin \frac{n \pi x}{L}$.

Vapaasti valittavia parametreja on kutakin $n$:n arvoa kohti kerroin $B_n$.

%\end{document}

\subsubsection*{Askel 3, alkuehdot}


K�sittelemme siis yksinkertaisuuden vuoksi vain tapauksen, jossa

AE$_1$: $u(x,0) = f(x)$ \\
AE$_2$: $u_t(x,0) = 0 .$

Yleisempi tapaus ei ole juurikaan mutkikkaampi (vrt. KRE), mutta lausekkeet lyhenev�t
senverran, ett� esitys tulee hiukan mukavammaksi opiskella.

Jos alkuehtofunktiomme $f(x)$ ei ole mink��n funktion 
$\sin \frac{n \pi x}{L}$ vakiokerrannainen, eiv�t funktiot $u_n(x,t)$ sellaisenaan
johda tulokseen. 

%\end{document}

{\bf Nyt tulee koko homman hienous vastaan}

Ensinn�kin, diffyht�l� on lineaarinen, joten $\sum u_n(x,t)$ toteuttaa diffyht�l�n.
Lis�ksi se tot. RE:t, koska n�m� ovat homogeniset (arvoina 0).

%\end{document}

Kun termeitt�in derivointi on sallittua, voidaan t�m� ulottaa my�s ��rett�m�lle
summalle, jolloin AE$_1$ 
merkitsee vaatimusta:

%\end{document}

$$f(x) = u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty B_n \sin \frac{n \pi x}{L} .$$

Viel� meill� on takataskussamme vapaasti valittavat $B_n$-kertoimet.
Ehtomme toteutuu siten valitsemalla $B_n$-kertoimet alkuehtofunktion sinisarjan
kertoimiksi, ts. $f$:n puolen jakson pariton laajennus kehitet��n Fourier-sarjaksi.

Ratkaisu teht�v��n on siis:

%\fbox{
$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n \sin \frac{n \pi x}{L}\cos \lambda_n t,$$
%}
miss� $\lambda_n=\frac{c n \pi}{L}$ ja 

%\fbox{
$$B_n=\frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} dx .$$
%}


%saadaan toteutumaan valitsemalla 


\end{document}