Syy: Haluamme jatkaa hyvään vauhtiin päässyttä lineaarialgebratoimintaa ilman pitempiä keskeytyksiä.
Lineaariset | Epälineaariset |
---|---|
(EHY) y' + p(x)y = r(x)
|
|
(EHY) y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) (HY) y'' + p(x)y' + q(x)y = 0Kaikki muut ovat epälineaarisia.
x1' = f1(t,x1, ..., xn) x2' = f2(t,x1., ..., xn) . . . xn' = fn(t,x1, ..., xn)Alkuehdot: x1(a)=b1, ... ,xn(a)=bn
(DYS) X'=F(t,X) (AE) X(a)=B
KRE 4.1-> s. 158 -> GRE 3.9-> s. 156 -> BdB Ch 7 s. 335 ->
x1'=a11(t)x1 + a12(t)x2 + ... + a1n(t)xn + f1(t) x2'=a21(t)x1 + a22(t)x2 + ... + a2n(t)xn + f2(t) . . . xn'=an1(t)x1 + an2(t)x2 + ... + ann(t)xn + fn(t)Yllä oleva voidaan esittää matriisimuodossa:
(LSYS) X'=A(t)X + F(t)Jos F(t)=0 , systeemiä sanotaan homogeeniseksi.
Käytämme lyhenteitä HY (homogeeniyhtälö) ja EHY (epähomogeeniyhtälö).
Yllä oleva diffyhtälösysteemi yhdessä alkuehtojen kanssa muodostaa (AA)-tehtävän. Matriisimuodossa:
(LAA) X'=A(t)X + F(t), X(a)=Bmissä B=(b1, ... ,bn)T
Lause 1
|
Lause 2, olemassaolo ja yksikäsitteisyys
Olkoot kerroinfunktiot ai,j(t) ja oikeat puolet gi(t), i,j=1 ... n jatkuvia välillä [a,b] ja olkoon t0 \in [a,b] Tällöin jokaista alkuarvovektoria d=[d1, d2,...,dn] kohti on olemassa yksikäsitteinen (EHY):n ratkaisu x(t) siten, että x(t0) = d. Tod: Tätä ei todisteta. Viitataan siihen adjektiiviattribuutilla "syvällinen" |
Kts. KRE s. ..., GRE s. ..., myös harj. tehtTämä on tärkeä seikka ja siitä seuraa:
function E = expm2(A) %EXPM2 Matrix exponential via Taylor series. % E = expm2(A) illustrates the classic definition for the % matrix exponential. As a practical numerical method, % this is often slow and inaccurate. % % See also EXPM, EXPM1, EXPM3. % Copyright (c) 1984-98 by The MathWorks, Inc. % $Revision: 5.4 $ $Date: 1997/11/21 23:38:26 $ % Taylor series for exp(A) E = zeros(size(A)); F = eye(size(A)); k = 1; while norm(E+F-E,1) > 0 E = E + F; F = A*F/k; k = k+1; end
>> help expm EXPM Matrix exponential. EXPM(X) is the matrix exponential of X. EXPM is computed using a scaling and squaring algorithm with a Pade approximation. Although it is not computed this way, if X has a full set of eigenvectors V with corresponding eigenvalues D, then [V,D] = EIG(X) and EXPM(X) = V*diag(exp(diag(D)))/V. EXPM1, EXPM2 and EXPM3 are alternative methods. EXP(X) (that's without the M) does it element-by-element. See also EXPM1, EXPM2, EXPM3, LOGM, SQRTM, FUNM.
y(:,i) = expm(A * t(i)) * x0;
function [t,y] = linsys(A,x0,T,siz) % Input: Matriisi A, alkuarvovektori x0, loppuaika T (aikaväli: 0 .. T) % Valinnainen siz: kuinka moneen osaan aikaväli jaetaan, oletus 100. % % Output: t - vektori: diskretoitu aika-akseli (oletus 100-pituinen) % y - matriisi: 100 x n, kukin sarake edustaa ratkaisufunktion % arvoja t-aikapisteissä. % % Esim: A=[1 0 0;1 3 0;0 1 1];x0=[1;2;3]; % [t,y]=linsys(A,x0,2); % plot(t,y) % aikariippuvuusparvi (mieliv. n) % plot(y(:,1),y(:,2)) % faasitaso (1,2) % plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) % faasiavaruus (3-d) % plot(y(:,i),y(:,j)) % projektio (i,j)-faasitasossa % % (jos n > 2) if nargin < 4, siz = 100; end; t = linspace(0,T,siz); m=size(A);m=m(1); y = zeros(m,siz); for i=1:siz, y(:,i) = expm(A * t(i)) * x0; end; y=y'; % Transponoidaan y-matriisi,jotta yhdenmukainen ode-funkt. kanssa