harj3lv.html

Harj. 3 LV

pe 4.10.02 HA

Alustukset

> restart:with(linalg):
with(LinearAlgebra):
alias(rref=ReducedRowEchelonForm):alias(ref=GaussianElimination):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding

> cos(2*t): %=expand(%);
cos(3*t): %=expand(%);
cos(4*t): %=expand(%);
cos(5*t): %=expand(%);
cos(6*t): %=expand(%);

> B:=[x[0]=1,seq(x[k]=cos(t)^k,k=1..6)];

> C:=[y[0]=1,seq(y[k]=cos(k*t),k=1..6)];

B:n LRT:

Merk. s=cos(t), jolloin B:n funktiot ovat s:n monomeja välillä [-1,1]. Nehän nyt taatusti tiedetään LRT:ksi, joten

yhtälöstä

> sum(c[k]*cos(t)^k,k=0..6)=0;

seuraa

> sum(c[k]*s^k,k=0..6)=0;

kaikilla s välillä [-1,1], joten

> seq(c[k]=0,k=0..6);

C on kanta:

Koska B on kanta, niin kuvaus

> f->[f][B];

on isomorfismi. Kuvauksessa LRT siten säilyy, joten riittää osoittaa, että koordinaattivektorit

> seq([y[k]]['B'],k=0..6);

ovat LRT.

> S:=<<1,0,0,0,0,0,0>|<0,1,0,0,0,0,0>|<-1,0,2,0,0,0,0>|<0,-3,0,4,0,0,0>|<1,0,-8,0,8,0,0>|<0,5,0,-20,0,16,0>|<-1,0,18,0,-48,0,32>>;

Tälle ei tarvitse tarjoilla ref:fiä, sillä se on jo valmiiksi ref-muodossa.

Kaikki sarakkeet pivot-sarakkeita, joten S:n sarakkeet ovat LRT ja siten siis myös - vektorit.

Tässä tehtävässä ei Maplea tarvittu mitenkään olennaisesti (paitsi trig. kaavojen generoimiseen ja matemaattiseen tekstinkäsittelyyn).

Kynä/paperi ja taulukkokirja olisivat toimineet myös aivan hyvin.

> P:=S; PI:=MatrixInverse(P); # Siinä kaikki.

Koska C-kanta saadaan B-kannassa lausuttuna matriisin avulla, niin B-koordinaatit saadaan C-koordinaateista

kertomalla matriisilla P. Siten C-koordinaatit saadaan B-koordinaateista kertomalla :llä.

> f:=5*cos(t)^3-6*cos(t)^4+5*cos(t)^5-12*cos(t)^6;

> ['f']['B']=[seq(coeff(f,cos(t),k),k=0..6)];

> fB:=Vector(rhs(%));

> fC:=PI.fB;

> g:=add(fC[k]*cos((k-1)*t),k=1..7);

> combine(f);

> expand(g);

Kerrassan vaikuttavaa, lineaarialgebrassa on taikuutta!

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> y(k+1)=1.01*y(k)-450;

> Y[0]:=10000;

> n:=50:

> for k from 0 to n do
Y[k+1]:=1.01*Y[k]-450:
od:

> k:='k':

>

> Y[1];

> seq(Y[k],k=0..26);

2 vuotta+ 2 kk

> 26*450;

Tämän verran rahaa kuluu (-risat viimeisestä).

> taulukko:=seq([k,Y[k]],k=0..26);

> plot([taulukko]);

> matrix([taulukko]);

> k:='k':yk:=1.01^k*y0-450*(1-1.01^k)/(1-1.01);

> y0:=10000:seq(yk,k=0..26);

>

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> differy:=y(k+2)-7*y(k+1)+12*y(k)=0;

> Y:=k->r^k:
#Yrite:

> subs(y=Y,differy);

> vdiffery:=value(%);

> vdiffery/r^k;simplify(%,symbolic);

> factor(%);

> #Siis jonot u,v toteuttavat differy:n, kun

> u:=k->3^k; v:=k->4^k;

Ovat LRT (harj. 4), siis muodostavat (HY):n ratkaisukannan.

Tarkistetaan vielä, että toteuttavat:

> subs(y=u,differy);

> value(%);
simplify(%,symbolic);

> subs(y=v,differy);

> value(%);

> simplify(%,symbolic);

>