Alustukset, muista editoida kaikki read-lauseet oman polkumäärityksesi mukaan.

Huomaa, että read -lauseita esiintyy jokaisen restartin jälkeen.

>

restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

>	#read("/p/edu/mat-1.414/maple/v302.mpl"):

>	#read("c:\\usr\\heikki\\s02\\v302.mpl"):

>	read("/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v302.mpl"):

>	plots[setoptions](axes=boxed):

Fourier-kertoimet

Otetaan "pedagogisista syistä" ensin -jaksoinen ja sitten yleinen.

1.

>	f:=x->piecewise(-Pi < x and x < 0, 0,0 < x and x < Pi/2, 1,Pi/2 < x and x < Pi,0);

>	plot(f(x),x=-Pi..Pi);

>	Jf:=JJ(f,-Pi..Pi):

>	plot(Jf,-2*Pi..2*Pi);

Lasketaanpa Fourier-kertoimet:

>	a0:=(1/(2*Pi))*Int(f(x),x=-Pi..Pi);

>	value(a0);

Käsin laskisimme näin:

>	a0:=1/(2*Pi)*int(1,x=0..Pi/2);

: Annetaan  ensin Maplen laskea automaattisesti:

>	an:=(1/Pi)*Int(f(x)*cos(n*x),x=-Pi..Pi);

>	value(an);

Käsin laskien:

>

Nähtiin samalla, että Maplen int hallitsee piecewise-määritellyn funktion. (Tällaiset seikat on hyvä aina varmistaa, kannattaa muistaa, että

symbolilaskentaohjelman tekeminen on erittäin vaativa homma, ja ohjelman tekijätkin ovat inhimilliyydestään johtuen erehtyväisiä.)

>	bn:=(1/Pi)*Int(f(x)*sin(n*x),x=-Pi..Pi);

>	bn:=value(bn);

Käsin:

>

>	trigsiev(bn,n);

>	seq(an,n=1..10); seq(bn,n=1..10);

>	sarja:='a0'+Sum('an'*cos(n*x)+'bn'*sin(n*x),n=1..infinity);

>	osasumma:=(x,N)->a0+add(an*cos(n*x)+bn*sin(n*x),n=1..N):

>	plot([f(x),osasumma(x,5)],x=-Pi..Pi);

>	plot([f(x),seq(osasumma(x,N),N=1..20)],x=-Pi..Pi);

>	plot([Jf(x),seq(osasumma(x,N),N=21..40)],x=-2*Pi..2*Pi);

>	plot([f(x),osasumma(x,50)],x=-Pi..Pi,color=[gray,blue],numpoints=150);

Suppenemislauseen ehdot: paloittain jatkuvuus ja vp. ja op. derivoituvuus ovat voimassa. Niinpä sarja suppenee kohti funktion arvoa kaikkialla

muualla paitsi pisteissä  . Näissä se suppenee kohti arvoa  .

2.

(a)

Seuraa suoraan integraalin lineaarisuudesta.

>	kanttisarja:=(4/Pi)*Sum(sin(2*k-1)*x/(2*k-1),k=1..infinity);

Olkoon

                                   .

Suoritetaan ensin muuttujan skaalaus uudelle jaksovälille [-1,1].  Olkoon  . Merk  .

                                  g(t) =

u(t) saadaan g(t):stä lisäämällä 1 ja jakamalla 2:lla:

                                    .

>	usarja:=(1+(4/Pi)*Sum(sin((2*k-1)*Pi*t)/(2*k-1),k=1..infinity))/2;

>	osasumma:=(t,N)->(1+(4/Pi)*add(sin((2*k-1)*Pi*t)/(2*k-1),k=1..N))/2;

>	plot(osasumma(t,10),t=-2..2,numpoints=100);

Hyvältä näyttää!

3.

>

restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

4.

Funktio  f : [0,L] --> R  voidaan laajentaa parilliseksi määrittelemällä  ja

                                                            parittomaksi määrittelemällä , kun x < 0 .

Esim:  

>	f:=x-> exp(x):

>	Oef:=piecewise(x<0,-f(-x),x>0,f(x));  # Odd extension (of) f

>	Eef:=piecewise(x<0,f(-x),x>0,f(x));   # Even extension (of) f

>	plot(Oef,x=-1..1);

>	plot(Eef,x=-1..1);

Asiaan:

•         Jos f on pariton, niin  ,
•         Jos f on parillinen, niin  .

Havainnollisesti, pinta-aloja ajattelemalla asia on aivan selvä, voidaan perustella täsmällisesti vaikka Riemannin summilla,

tai sitten muuttujan vaihdolla integraaleissa (uusi muuttuja -x).

a) Jos f : [0,L] --> R jatketaan parilliseksi, on kyseessä parillisen jatkon   sarja, jolloin -kertoimet ovat nollia, koska

                                         ;

ja integroitavana on siis (parillinen  pariton), joten tulos = 0.

Tällöin

                    =  .

Vastaava kaava pätee muillekin  - kertoimille, koska          on parillinen  funktio.

Siis:

                =  

b) Jos  f : [0,L] --> R jatketaan parittomaksi, on kyseessä parittoman jatkon   sarja, jolloin -kertoimet ovat nollia, koska

                                         ;

ja integroitavana  on siis (pariton  parillinen), eli pariton funktio , joten tulos = 0.

Tällöin:

                  =           

Nämä kaavat pätevät pätevät tietysti aina, kun kyseessä on välillä [-L,L] määritelty (a) parillinen tai (b) pariton

funktio, jolloin niiden käyttö säästää hieman laskuvaivaa.

Parillisen/parittoman jatkamisen tilanteessa kaavoilla on suurempi merkitys sikäli, että niiden avulla saadaan

yksinkertaiset laskukaavat alkuperäisen, välillä [0,L] määritellyn funktion f avulla lausuttuna.

5.

>

restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

>	#read("/p/edu/mat-1.414/maple/v302.mpl"):

>	#read("c:\\usr\\heikki\\s02\\v302.mpl"):

>	read("/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/maple/v302.mpl"):

>	plots[setoptions](axes=boxed):

Tiedostossa v302.mpl on määritelty pariton ja parillinen jatkamisoperaattori. Kun halutaan määritellä funktio

(operaattori), joka palauttaa funktion, niin käytetään unapply-tapaa.

Matemaattisesti looginen olisi myös tapa:

>	ptonj:=f->(x->piecewise(0 < x,f(x),x < 0,-f(-x)));

Ahaa, Maple 8:ssa tämä toimii, vanhemmissa varmaan ei.

>	op(paritonjatko);

>	op(parillinenjatko);

>

f:=x->x:

>	fe:=parillinenjatko(f);fo:=paritonjatko(f);

>	plot([fo,fe+0.1],-4..4,title="Funktion f(x)=x parill. ja pariton jatko"); # Piirretään fe+0.1, jotta erottuvat.

>	Jfo:=JJ(fo,-4..4);

>	Jfe:=JJ(fe,-4..4);

>	plot(Jfe,-8..8); plot(Jfo,-8..8);

Parillinen laajennus:

>	L:=4:  # p = 2*L = 8

>	a0:=(1/L)*Int(f(x),x=0..L);a0:=value(a0);

>	an:=(2/L)*Int(f(x)*cos(n*Pi*x/L),x=0..L);an:=value(an);

>	an:=trigsiev(an,n);

>	seq(an,n=1..10);

>	seq(-16/Pi^2/(2*k-1)^2,k=1..5);

>	ak:=-16/Pi^2/(2*k-1)^2;

>	sarja:=a0+Sum(ak*cos((2*k-1)*Pi*x/L),k=1..infinity);

>	osasumma:=unapply(a0+sum(ak*cos((2*k-1)*Pi*x/L),k=1..K),x,K);

>	osasumma(x,2);

>	plot([Jfe(x),seq(osasumma(x,j),j=1..7)],x=-8..8);

Pariton laajennus:

>	bn:=(2/L)*Int(f(x)*sin(n*Pi*x/L),x=0..L);bn:=value(bn);

>	bn:=trigsiev(bn,n);

>	sarja:=Sum(bn*sin(n*Pi*x/L),n=1..infinity);

>	osasumma:=unapply(sum(bn*sin(n*Pi*x/L),n=1..N),x,N);

>	plot([Jfo(x),osasumma(x,5)],x=-8..8);

>	plot([Jfo(x),osasumma(x,10)],x=-4..4);

Tässä nyt on mukana jo LV-tehtävääkin, tarkistuksen vuoksi.

Suppenemislauseen soveltaminen on hyvin mekaanista.

Parillinen laajennus  on kaikkialla jatkuva, suppenemiskäytös on hämmästyttävän hyvä.

Lauseen mukaan suppenee kaikkialla kohti f:n arvoa.

Pariton laajennus on epäjatkuva päätepisteissä 4 + k*8, (k=+-1,+-2,...). Kuva vahvistaa lauseen väitteen, mikä näkyy suoraan

sarjasta sijoittamalla x=k*4.

6.

Tässä olis ollut hyvä antaa sarjan muoto, jota haetaan, tosin KRE-kirja pitäisi olla useimmilla, sieltähän löytyy.

>

restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

>	sarja:=Sum(c[n]*exp(i*n*x),n=-infinity..infinity);

Kun puhutaan systeemin  ortogonaalisuudesta, on luonnollista laskea :

>	Int(exp(I*n*x)*exp(-I*k*x),x=-Pi..Pi);

Sillä sisätulo kompleksikertoimisessa avaruudessa vaatii jälkimmäisen argumentin konjugoinnin. Tämä ei sinänsä

ole tehtävän kannalta välttämätön tieto, koska käydään joka tapauksessa läpi kaikki kokonaisindeksit.

>	int(exp(I*n*x)*exp(-I*k*x),x);

Tämä lasku on voimassa, jos , jolloin sijoitus  antaa 0 ( -jaksoinen funktio).

Jos k=n, saadaan

>	exp(I*n*x)*exp(-I*n*x)=1;

joten           .   

Jos siis f:llä on sarjaesitys:

>	f(x) = Sum(c[n]*exp(i*n*x),n = -infinity .. infinity);

>

niin kertomalla exp(-i*k*x):llä ja integroimalla saadaan:

Nollasta poikkeavaa tulee vain, kun n=k, jolloin integraali = 2*Pi .

Niinpä saadaan:

                                  .

Huom!: On makuasia, kummassa on miinusmerkki, sarjassa vai kertoimessa.

Todella kaunis ja symmetrinen muoto, ja vähällä vaivalla! Tämä on myös oikea muoto lähestyttäessä Fourier-muunnosta.