\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
%\usepackage{c:\\usr\\heikki\\tex\\v3harj}
%\usepackage[dvips]{epsfig}
%\usepackage{marvosym} % eurot mukaan!
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
%\def\abs#1{\vert #1\vert}      
%\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
%\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
%\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
%\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
%\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
%\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{9}{45}{16--17.11.2002}


AV-harjoituksia ei pidet�, sensijaan pidet��n ylim��r�inen luento ti
12.11. klo 12-14. LV-tapahtumat ovat normaalisti to ja pe.


\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}


\begin{enumerate}


\item 
Laske m��ritelm�n perusteella seuraavien funktioiden Laplace-muunnokset
ja ilmoita muunnosfunktion m��rittelyalue. \\
Saat hy�dynt�� Maplea
integroinneissa, mutta kirjoita kuitenkin ainakin jokunen 
osittaisintegrointikaava
ensin k�sin. Rajank�ynnit tulee p��tell� ilman Maplea.


a) $f(t)=t^2$, \quad b) $f(t)=t e^{-t}$, \quad

c) $f(t)=\cos a t$ d) $f(t)=\sin a t$


\item
Laske Laplace-muunnokset (samaan tyyliin kuin edell�).

a) $f(t)=\begin{cases}1,\ \ t\in [1,2] \\
              0,\ \ t\not\in [1,2]  \end{cases}$ \quad 
b) $f(t)=\begin{cases}t,\ \ t\in [0,1] \\
              0,\ \ t > 1 \end{cases} $

\item
Laske $s$-siirtolausetta (``s-shift'') hy�dynt�en seuraavien funktioiden
Laplace-muunnokset:

(a) $f(t)=t^2 e^{3 t}$, \quad (b) $f(t)=5 e^{2 t}\sinh 2t$, \quad (c)
$f(t)=\sinh t \cos t.$

\item
Laske $s$-siirtolausetta (``s-shift'') hy�dynt�en seuraavien funktioiden
k��nteismuunnokset:

(a) $F(S)=\frac{12}{(s-3)^4}$, \quad (b) $F(s)=\frac{3}{s^2+6s+18}$.


\item
Laske seuraavien funktioiden $F(s)$ Laplace-k��nteismuunnokset \rv
%\kohta{a}{

a) $\frac{s+5}{(s+1)(s-3)}$ \quad b) ${\frac{2s+6}{s^2+4}}$  \quad 
c) $\frac{s+8}{s^2+4s+5}$

\item
Ratkaise Laplace-muunnoksen avulla (AA)-teht�v�: $y''+2y'+5y = 1$,
$y(0)=0, y'(0)=0$




\item
Paloittain jatkuva funktio $f$ on {\em exp-kertalukua}, jos on olemassa
vakiot $K,c,T$ siten, ett�

$|f(t)| \leq K e^{c t}, \ \  \forall t \ge T$  

a) Osoita, ett� $e^{t^2}$ ei ole exp-kertalukua.

b) Onko exp-kertalukua olevan funktion derivaatta exp-kertalukua.
Vihje: tarkastele vaikkapa funktiota $f(t)=\sin(e^{t^2})$.






\end{enumerate}


%%% Liitet��n tenttipaperiin tex/laplace.tex  %%%% 29.8.02 %%%


\subsection*{Laplace-muunnokset}


Alla oleva taulukko ja n�m� kaavat (+ joitakin lis�kaavoja) on 
koeteht�v�paperissa mukana.


\textbf{M��ritelm�: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikk�askelfunktio . \\
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
${\cal L}\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
{\cal L}(f*g)=({\cal L}f)({\cal L}g), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$

${\cal L}\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 {\cal L}\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
{\cal L}\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$

\vskip 0.25 cm

{\bf Laplace-taulukko}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $t^k$  & $e^{at}$ & $\cosh at$ &  $\sinh at$ &  
 $\cos \omega t$ & $\sin \omega t$  \\ \hline \hline

$F(s)$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$  & ${\frac{1}{s-a}}$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$
& ${\frac{a}{s^2-a^2}}$  & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ & 
${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

{\bf Laplace-muunnokset Maplella}. Maple soveltuu tietysti integrointiapualiseksi. Lis�ksi Maplessa on pakkaus {\tt inttrans}, joka ladataan komennolla
{\tt with(inttrans):}.
[HAM]-kirjassa on k�sitelty Laplace-muunnoksia ss. 181--185 (luku 10).
Peruskomennot ovat {\tt laplace(f,t,s);} ja {\tt invlaplace(F,s,t);}
(Mieti argumenttien j�rjestyksen logiikka, se on olennaisen t�rke� tietenkin.)


%% Liit� tenttipaperiin, jos tarpeen  tex/osamurto.tex %% 29.8.02

\subsection*{Osamurtokehitelm�t}

N�m� my�s koeteht�v�paperissa.

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, miss� $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
\\
1) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s-a$, otetaan kehitelm��n termi
${\frac{A}{s-a}}.$
\\
2) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s^2+b s+c$, tulee kehitelm��n termi
${\frac{Bs+C}{s^2+b s+c}}$, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.
\\
3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyv�t korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
${\frac{A_1}{s-a}}+{\frac{A_2}{(s-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(s-a)^r}}$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit
${\frac{B_1s+C_1}{s^2+b s+c}}+\hdots + \frac{B_rs+C_r}{(s^2+b s+c)^r}$

{\bf Osamurto Maplella}: {\tt convert(F,parfrac,s);}



\end{document}




\item
a) Mill� $p$:n arvoilla (jos mill��n) integraali $\int_0^\infty t^{-p}dt$
suppenee?

b) Osoita, ett� $\int_0^\infty t^\alpha e^{-t} dt$ suppenee, kun $\alpha > -1$.



\item
(a) Selvit� k�sinlasku-Maple-yhdistelm�ll�, miten Harj. 6 LV teht. 5:n
ratkaisu toimii.

(b)
Ratkaise sama teht�v� Laplace-muunnoksen avulla.

