\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
%\usepackage{c:\\usr\\heikki\\tex\\v3harj}
%\usepackage[dvips]{epsfig}
%\usepackage{marvosym} % eurot mukaan!
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
%\def\abs#1{\vert #1\vert}      
%\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
%\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
%\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
%\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
%\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
%\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
%\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{8}{44}{5 -- 8.11.2002}

Toisen välikokeen alue kattaa harjoitukset 5 -- 8.

%Luentoaiheita: {\tt ... [TE], Lay}.


\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}


\item %1
Massapiste liikkuu tasossa olevan voimakentän alaisuudessa siten, että sen paikkavektori
$\V{y}(t)$ toteuttaa differentiaaliyhtälön $\V{y}' = A \V{y}$.
Matriisin $A$ ominaisarvot ja - vektorit ovat vastaavasti 
$\V{v}_1 = \lbrack -3, 1 \rbrack^T$ ja $\V{v}_2 = \lbrack -1, 1 \rbrack^T$.
Määritä massapisteen paikka ajanhetkellä $t$, kun $\V{y}(0)= \lbrack -1, 6 \rbrack$.



\item %2
Kirjoita vaimenevaa värähdysliikettä kuvaava diff. yhtälö \\
$y'' + 0.125 y' + y = 0$

ensimmäisen kertaluvun
systeemksi, ja määritä sen yleinen ratkaisu. Tarkista tulos alkuperäisen yhtälön avulla.


\item %3
Kaksi s\"aili\"ot\"a, $A$ ja $B$ sis\"alt\"a\"a $50 l$ nestett\"a kumpikin. 
Niit\"a yhdist\"a\"a
kaksi putkea siten, ett\"a $A \to B$ virtaa nestett\"a 
nopeudella $4$ l/min ja
$B \to A$ $1$ l/min ja oletetetaan, ett\"a neste sekoittuu heti. 
Puhdasta vett\"a virtaa s\"aili\"o\"on $A$ nopeudella $3$ l/min
ja s\"aili\"ost\"a $B$ poistuu nestett\"a niinik\"a\"an nopeudella $3$ l/min.
Oletetetaan, ett\"a alkuhe
tkell\"a s\"aili\"o $A$ 
sis\"alt\"a\"a $25$ kg suolaa ja
s\"aili\"o $B$ pelkk\"a\"a vett\"a. M\"a\"arit\"a 
suolam\"a\"ar\"at kummassakin s\"aili\"oss\"a
ajan funktiona. 
%\vfill\eject
\begin{verbatim}
        __________          __________
3 l/min  -->      |         |         |
    __            |_________|         |
     |             4 l/min ->         |
     |            -----------         |
     |            |         |         |
     |    A       |         |    B    |
     |            |---------|         |
     |             <-- 1 l/min        |
     |            |---------|         ----
     |___________ |         |____________-> 3 l/min
\end{verbatim}

Miten pitkän ajan kuluttua suolamäärät säiliöissä ovat yhtäsuuret?
Hahmottele "suolamääräfunktioiden" $y_1(t)$ ja $y_2(t)$ 
kuvaajat ajan funktiona.



%%% $\V{y}' = A \V{y}$ %%%   HY

\item %4
Olkoon
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 2&3\\\noalign{\medskip}-1&-2\end {array} \right]
$
Ratkaise alkuarvotehtävä ("AA-tehtävä") 
$\V{y}' = A \V{y}$, kun $\V{y}(0)=(3,2)$.

Selvitä kriittisen pisteen $\V{0}$ luonne (lähde, nielu, satula tms.) ja piirrä
kuvaan ominaisvektorit, edellä laskettu ratkaisutrajektori, sekä muutama muu 
trajektori suuntanuolineen (käsin hahmotellen).

\item %5
 

Olkoon
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 7&-1\\\noalign{\medskip}3&3\end {array} \right] 
$
Ratkaise taas AA-tehtävä 
$\V{y}' = A \V{y}$ samalla alkuehdolla $\V{y}(0)=(3,2)$.

Tee vastaavat asiat kuin edellisessä tehtävässä.



\item %6
Osoita, että alla ohjeessa sanottu
matriisieksponenttifunktion sarjan suppenee kaikilla neliömatriiseilla $A$, 

Tarvitset kahta asiaa:

1) $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+ \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots$
suppenee kaikilla $x \in \R$.

2) Yläraja-arviota matriisin $A^k$ alkioille,jotta pääset käyttämään edellä
olevaa sarjaa vertailusarjana kullekin alkiosarjalle.  

Voit rajoittua matriisiin, jonka alkiot ovat samoja, koska sillekin
asian tulee päteä, ja toisaalta mielivaltaisen matriisin tapauksessa
saadaan yläraja-arvio korvaamalla kaikki matriisin alkiot itseisrvoltaan
suurimmalla. 
Jos tuntuu mukavalta, voit hyvin rajoittua $2 \times 2-$ matriisiin.
Kaikki olennaiset seikat saat näin ollen esille tarkastelemalla matriisia

$A=\left[ \begin {array}{cc} 1&1\\\noalign{\medskip}1&1\end {array} \right]$.

\end{enumerate}





\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}


%\subsubsection*{Ohjeita}

Katso nyt ainakin tätä: {\tt L/L12maple.mws ja .html}


\begin{enumerate}


\item % 1
Piirrä tehtävien 4 ja 5 faasitasokuvat. Piirrä myös ominaisvektorit {\tt arrow}-komennolla ja 
suuntakenttä {\tt DEplot}:lla. (Malli: {\tt L/L12maple.mws}.)
Piirrä lisäksi kysyt alkuarvoratkaisut aikatasossa.


\item %2
Ratkaise systeemi $\V{y}'=A \V{x}$, missä

$A=\left [\begin {array}{cc}           
                            2&10\\      
                            -1&4    
          \end {array}\right ] $



alkuehdolla $\V{y(0)}=[1,0]^T$

Piirrä faasitasokäyriä, suuntakenttä ja selvitä KRP:n $0$ luonne.

%\kohta{b}{alkuehdolla $\V{x(0)}=[0,1]'$}
%\kohta{c}{Piirrä pplane5-piirroksia, katsele niin faasitaso
%\footnote{Faasitasokäyrät ovat muotoa $(y_1(t),y_2(t)),$
%kun $t$ on käyräparametrina.} 
%kuin aikakuvaa
%(time series)}



\item %3
Tarkastellaan matriisin  $A=
\left [\begin {array}{cc} \alpha&2\\\noalign{\medskip}-2&0\end {array}
\right ]$
määräämää (HY):öä $y' = A y$.

Kuvaile, miten ratkaisuparven kvalitatiivinen luonne muuttuu 
$\alpha$:n muuttuessa.
Selvitä trajektorien käyttäytyminen sekä origon luonne ja stabiilisuus
eri tapauksissa, ja havainnollista piirroksin (käsin hahmotellen).

Piirrä faasipiirroksia kolmeen luonteeltaan erilaiseen tapaukseen
liittyen (Maplella). Mainitse KRP:n $O$ luonne ja stabiilisuus.

Ota mallia {\tt L/harj12maple.mws-työarkista nyt erityisesti.}


\item %4
Laske kynää ja paperia ja tarvittaessa esim.
Maplea matriisilaskimena käyttäen:
$e^{A t}$ matriiseille \\ 
a) $A=\left [\begin {array}{cc} 1&0\\
\noalign{\medskip}0&2\\\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
b) $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}0&0\\
\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
c) $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-1&0\\
\noalign{\medskip} \end{array}\right]$

Kommentteja: a) no comments, b) on ``nilpotentti'', korota
potenssiin, niin näet, mitä tarkoittaa, c):ssä näkyy tietty jaksollisuus.

Voit tarkistaa {\tt linalg[exponential]}-komennolla.

Muotoile tehtävät, joiden ratkaisut voit näiden avulla kirjoittaa.


%Vast:
%a) $e^{A t}=\left [\begin {array}{cc} e^t&0\\
%\noalign{\medskip}0&e^{2t}\\\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
%b)$e^{A t}= \left [\begin {array}{cc} 1&t\\\noalign{\medskip}0&1\\
%\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
%c) $e^{A t}=\left [\begin {array}{cc} \cos t&\sin t\\
%\noalign{\medskip}-\sin t&\cos t\\
%\noalign{\medskip} \end{array}\right]$

\item
Epähomogeenisen systeemin
$$ \V{x}' = A \V{x} + \V{g}(t), \ \ \V{x}(0)=\V{x}^{(0)}$$
ratkaisu on
$$\V{x}(t)=e^{At}\V{x}^{(0)} + \int_0^t e^{A(t-s)}\V{g}(s) ds .$$

Vektorifunktion integrointi tarkoittaa yksinkertaisesti integrointia
komponenteittain.

Ratkaise t\"am\"an avulla systeemi

$\V{x}'=\left [\begin {array}{cc} 1&4\\\noalign{\medskip}-1&-3\end {array}
\right ] \V{x} + \left [\begin {array}{c} t\\\noalign{\medskip}1\end {array}
\right ],\ \  \V{x}(0)=(1,-1) $

Voit katsoa mallia tästä: \\
\verb_ www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/L20maple.html _

Mallista poiketen saat tässä oikaista niin, että käytät valmista
{\tt linalg[exponential]}-funktiota (tätäpä ei näy uudesta 
{\tt LinearAlgebra})-kirjastosta löytyvän.)

\item %6
Määritä yleistettyjä ominaisvektoreita käyttäen $e^{A t}$, kun \\ 
$A=
\left[ \begin {array}{cccc} 1&0&1&2\\\noalign{\medskip}1&1&2&1\\
\noalign{\medskip}0&0&2&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&1\end {array}
 \right].
$
\\Ratkaise AA-tehtävä 
$\V{y}'=A \V{y}$
alkuehdolla $\V{y(0)}=[1,0,1,0]^T$.



\end{enumerate}


%\end{document}



\subsection*{Matriisieksponenttifunktio $e^{At}$}

Hyvä tiivis esitys aiheesta on Pekka Alestalon kirjoittamassa tekstissä.
Siihen on viite www-sivuillamme. 

Jokaiselle neliömatriisille $A$ voidaan määritellä eksponenttifunktio
$e^{A}:=\sum_{k=0}^\infty {\frac{A^k}{k!}}$. Diagonalisoituvalle matriisille
se voidaan laskea suoraan soveltamalla diagonalisointiesityksen $D$-matriisin
diagonaalialkioihin tavallista $\exp$-funktiota.
Joskus voi olla kätevää soveltaa sopivaa reaalifunktion sarjakehitelmää,
joskus taas yllä mainittu määritelmä johtaa katkeavaan sarjaan yllättävästi
syystä, jota lukujen maailmassa ei esiinny, nimittäin matriisin jokin potenssi
voi olla nolla (nilpotentti matriisi). 


Miten sitten toimitaan yleisesti, kun ei kuitenkaan haluta käyttää 
sarjakehitelmää? Silloin etsitään ns. yleistetyt ominaisvektorit, mikä
vastaa sitä tapaa, joka esitettiin $2\times 2 $-matriiseille.
Yleisessä muodossa esitettynä se voidaan muotoilla matriisihajotelmaksi,
joka on ``lähes diagonalisointi'', eli ns. {\it Jordanin muoto}.
Sitä emme tällä kurssilla lähemmin opiskele, kiinnostuneet löytävät
sen mm. TE-prujusta. 

Algoritmi voidaan esittää ilman Jordan-hajoitelma-terminologiaa (vaikka
samasta asiasta on kyse).

Itse asiassa pätee ns. {\em Cayley-Hamiltonin} lause: Jokainen neliömatriisi
toteuttaa oman karakteristisen yhtälönsä.
(Tarkoittaa, että jos lausekkeessa $p(\lambda)=\lambda^n+\ldots $ sijoitetaan
$\lambda$:n paikalle $A$, niin tuloksena on nollamatriisi.)
 Tästä päädytään siihen, että matriisi
``käyttäytyy nilpotentisti'' yleistettyjen ominaisvektorien edustamilla
suunnilla. (Kts. tarkemmin alla mainituilta sivuilta).

Helpoimmat tapaukset ovat ääritapaukset: \newline 
a) Jos ominaisvektoreita on
riittävästi ($n$ kpl) tai \newline
b) jos niitä on vain yksi (jolloin ominaisrvojakin
on vain yksi). \newline
Tällöinhän yllä mainitusta {\em Cayley-Hamiltonista} seuraa,
että jos $\lambda_0$ on tuo ominaisarvo, niin $(A-\lambda_0)^n=0$.
Koska $e^{At}=e^{\lambda_0 t}e^{(A-\lambda_0)t}$, saadaan $(A-\lambda_0I)t$:n
potenssien mukainen sarja, joka katkeaa (viimeistään) n:nnessä termissä.

%$2\times 2$-matriisien käsittely on erityisen helppoa, koska niillä joko
%on riittävästi (2) ominaisvektoreita tai $(A-\lambda_0)^2=0$

Algoritmi on selitetty tarkemmin luentosivuilla: 


\verb+www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/L_ldys.html+ ja tämän viitteissä:\hfill\\
\verb_www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/expA.html_ ja erit. \hfill\\
\verb_www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/eat8.gif_ \\
\verb_www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/eat9.gif_

Käytännössä voidaan turvautua ohjelmistoihin, joihin tuo Jordan-muoto
on kätketty. \maple:ssa on {\tt linalg[exponential]} ja \matl:ssa {\tt expm}. 

(Toki myös yleiset numeeriset ratkaisumenetelmät toimivat yleensä hyvin linearisiin 
sovellettuna.)


%\matl:n tapauksessa saamme
%tietysti ``numeerisen tuloksen nopeasti'' ja sanoisimmeko, että \maple:n
%tapauksessa ``symbolisen tuloksen hitaasti''


\end{document}

\begin{enumerate}

\item
AV-tehtävä 6 Maple-avusteisesti havainnollisine kuvineen.

\item
Johda diffyhtälösysteemi oheisen kuvan 
%~\ref{jouset} 
massa-jousisysteemille.
Voit olettaa: $x_1 > x_2 > x_3.$

\begin{figure}
  \begin{center}
    \leavevmode
     \epsfig{file=kuvat/harj6k2.eps, height=4cm, width=7.5cm}
     \caption{}
  \end{center}
\end{figure}


Ratkaise tehtävä Laplace-muunnostekniikalla tietenkin.

Massat ja jousivakio(t): $m_1=1, m_2=2, m_3=2, k=1$ \\
Alkuehdot:$x_1(0)=1, x_2(0)=2, x_3(0)=3, x_1'(0)=x_2'(0)=x_3'(0)=0 .$ \\
Ulkoinen voima (heräte): $f(t)=\cos \omega t$, olkoon $\omega=1 .$

Vihje: Tätä ei tarvitse kirjoittaa 1. kl. $6\times6$-systeemiksi vaan
voidaan hyvin käsitellä 2. kl. $3\times 3$-systeeminä.
Kirjoita kukin yhtälö erikseen tyyliin
\begin{verbatim}
> dyht1:=diff(y1(t),t,t)=...);dyht2:=...;dyht3:=...;
\end{verbatim}
L-muunna ja ratkaise.

\item
Määritä diffyhtälörymän
$$\begin{cases}
y_1'=y_1+y_2 \\
y_2'=5y_1-3y_2
\end{cases}$$
yleinen ratkaisu.

Käytä matriisitekniikkaa (ominaisarvoja). Määritä (AA)-ratkaisu $y_1(0)=0,
y_2(0)=1$.


\item
Muunna seuraavat diffyhtälö(ryhmät)t 1. kertaluvun systeemeiksi:
(Ei tarvitse ratkaista.)

(a) $y''-3y'+y=0$, \quad (b) $y'''+e^t y' + y=0$, \quad 
(c) $\Theta''+k\sin \Theta=0$, \quad 
(d) $\begin{cases}
     y_1''-y_1'-2y_1=t^2 \\
     y_2''-y_2-3y_1=0 
    \end{cases}$

Huomaa, että (c) on epälineaarinen (heiluriyhtälö), sille on turha etsiä
matriisia.

\item
Ratkaise systeemi $\V{x}'=A \V{x}$, missä

$A=\left [\begin {array}{cc}           
                            2&10\\      
                            -1&4    
          \end {array}\right ] $
\kohta{a}{alkuehdolla $\V{x(0)}=[1,0]'$}
\kohta{b}{alkuehdolla $\V{x(0)}=[0,1]'$}
\kohta{c}{Piirrä pplane5-piirroksia, katsele niin faasitaso
%\footnote{Faasitasokäyrät ovat muotoa $(y_1(t),y_2(t)),$
%kun $t$ on käyräparametrina.} 
kuin aikakuvaa
(time series)}


\item
Kaksi s\"aili\"ot\"a, $A$ ja $B$ sis\"alt\"a\"a $50 l$ nestett\"a kumpikin. 
Niit\"a yhdist\"a\"a
kaksi putkea siten, ett\"a $A \to B$ virtaa nestett\"a 
nopeudella $4$ l/min ja
$B \to A$ $1$ l/min ja oletetetaan, ett\"a neste sekoittuu heti. 
Puhdasta vett\"a virtaa s\"aili\"o\"on $A$ nopeudella $3$ l/min
ja s\"aili\"ost\"a $B$ poistuu nestett\"a niinik\"a\"an nopeudella $3$ l/min.
Oletetetaan, ett\"a alkuhe
tkell\"a s\"aili\"o $A$ 
sis\"alt\"a\"a $25$ kg suolaa ja
s\"aili\"o $B$ pelkk\"a\"a vett\"a. M\"a\"arit\"a 
suolam\"a\"ar\"at kummassakin s\"aili\"oss\"a
ajan funktiona. 

%\vfill\eject

\begin{verbatim}

3 l/min 
__________          __________
-->       |         |         |
__        |_________|         |
 |         4 l/min ->         |
 |        -----------         |
 |        |         |         |
 |    A   |         |    B    |
 |        |---------|         |
 |         <-- 1 l/min        |
 |        |---------|         ----
 |________|         | ____________-> 3 l/min

\end{verbatim}

Miten pitkän ajan kuluttua suolamäärät säiliöissä ovat yhtäsuuret?
Piirrä $x_1(t)$ ja $x_2(t)$ aikariippuvuuskuvana (``time series'')
ja faasitasokäyränä eli $(x_1,x_2)$-tasossa, pitämällä aikaa $t$ 
käyräparametrina . (Ilman pplane5:n apua, muuten saat käyttää Matlabia
tai Maplea.)

\item
Muodosta yleinen ratkaisu yhtälölle $x' = A x $, kun
$
\left [\begin {array}{cc} 8&-14\\\noalign{\medskip}3&-4\end {array}
\right ]
$
Piirrä trajektoreita ja suuntakenttä pplane5:n avulla.

\item
Osoita, että 
matriisieksponenttifunktion määritelmäsarja

$$e^A=I +A+\frac{A^2}{2!}+ \ldots + \frac{A^n}{n!} + \ldots$$

suppenee mielivaltaisella neliömatriisilla $A$.

Todistus perustuu kahteen asiaan:

1) $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+ \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots$
suppenee kaikilla $x \in \R$.

2) $||A^k||$ ei kasva liian lujaa.

Jälkimmäiseen on kätevää käyttää matriisinormiepäyhtälöä: 
$||A B|| \leq || A || || B || . $

\end{enumerate}



\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}


\begin{enumerate}


\item
Laske kynää ja paperia ja tarvittaessa esim.
Maplea matriisilaskimena käyttäen:
$e^{A t}$ matriiseille \\ 
a) $A=\left [\begin {array}{cc} 1&0\\
\noalign{\medskip}0&2\\\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
b) $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}0&0\\
\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
c) $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-1&0\\
\noalign{\medskip} \end{array}\right]$

Kirjoita sitten vastaavan (HY):n yleinen ratkaisu.

Kommentteja: a) on ääliömäisen helppo, b) on ``nilpotentti'', korota
potenssiin, niin näet, mitä tarkoittaa, c):ssä näkyy tietty jaksollisuus.

%Vast:
%a) $e^{A t}=\left [\begin {array}{cc} e^t&0\\
%\noalign{\medskip}0&e^{2t}\\\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
%b)$e^{A t}= \left [\begin {array}{cc} 1&t\\\noalign{\medskip}0&1\\
%\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
%c) $e^{A t}=\left [\begin {array}{cc} \cos t&\sin t\\
%\noalign{\medskip}-\sin t&\cos t\\
%\noalign{\medskip} \end{array}\right]$


%Tee ohjetyöarkin mukaan. Katso myös ``.../luentomateriaali/L21.html'' 
%(teoria) ja erityisesti
%``L21maple.html'' sekä `L21maple.mws''. 

Tarkista Maplella ja kokeile lisäksi tyyliä

\verb_ seq(evalm((t*A)&^k)/k!,k=0..10); map(series,eat,t=0,10); _

olevia temppuja joidenkin matriisien kohdalla.
(Huomaat, että matriisieksponenttifunktio ei ole ollenkaan kummallinen olio,
ehkä siihen kehittyy riippuvuus!)



%URL:ssä
%\verb_ http://www.math.hut.fi/~apiola/maple/opas/ohjelmat.mpl _
%on kerättynä kurssilla tarvittuja ohjelmia. Listaus on HAM-kirjan lopussa,
%mutta tiedostoa on päivitetty (mm. 3.11.) 
%Kyseessä on tekstitiedosto,
%jonka voi ottaa ensin omaan hakemistoon ja lukea \maple-istuntoon komennolla

%\verb_ read("ohjelmat.mpl");_

%Siitä voi vaihtoehtoisesti leikata/liimata haluamiaan koodeja.

%HAM  ss. 161--176 \footnote{[HAM] {\it Heikki Apiola}, 
%Symbolista ja numeerista matematiikkaa \maple-ohjelmalla, ilmestyi 20.10. 98}

%Ohjetyöarkki joko www:stä tai
%{\tt cp /p/edu/mat-1.443/H98/harj8pohja.mws .}

\item
Ratkaise $\V{x}'=A \V{x}$,  $\V{x}(0)=[0, 1, 1]$ kun 
\[
A=\left [\begin {array}{ccc}  -14&-160&-40\\            
          \noalign{\medskip} 181&5&2\\                  
           \noalign{\medskip} 96&84&18\end {array}\right ]
\]
%Ominaisarvot ovat $\lambda_{1,2}=6\pm 180 i$ ja $\lambda_3=-3$ sekä
%tätä vastaava ominaisvektori $w_3=(0,-1,4)$.
Käytä matlab-hakemiston {\tt linsys}-funktiota (jonka toiminta perustuu
Matlabin sisäänrakennettuun $e^{At}$-funktioon nimeltään {\tt expm}, kts. myös
{\tt ...L/L\_ldys.html}).

Piirrä ratkaisukäyräparvi (aikariippuvuuskuva) sekä faasiavaruuskuva.
Piirrä samaan kuvaan reaalinen ominaisvektori ja kompleksisen 
ominaisvektorin re- ja im- osien muodostamat vektorit. Matlabissa
{\em real, imag }. Näiden ``ominaisakselien'' piirto voisi sujua
seuraavaan tyyliin:
\begin{verbatim}
sopivakerroin=3 ; % tms. 
aks=sopivakerroin*v1;plot3([0,aks(1)],[0,aks(2)],[0,aks(3)],'r')
...
\end{verbatim} 

Kokeile myös sellaisilla alkuarvoilla, jotka sijaitsevat kahden ominaisvektorin
(Re/Im-osien) määräämillä tasoilla.

%Voit vielä huviksesi 
%piirtää faasikuvan projektiot koordinaattitasoille. Kts. linsysys-
%koodin helppitekstejä.

%Määritä $\lambda_1$:tä vastaava ominaisvektori $\bar w$ ja lausu yleinen
%reaalinen ratkaisu muodossa $\bar y=a  z_1(t)\bar u + b  z_2(t)\bar v
%+ c z_3(t)\bar w_3$.
%Mieti trajektoreita 3d-avaruudessa ja varustautu piirtoon LV-harj. mennessä.

\item
Johdantoesimerkissä on massa-jousisysteemi, kalvokopiot jaettiin, kuva on
myös KRE s. 158, {\em Fig. 77}. Olkoot $m_1=m_2=1, k_1=3, k_2=2. $

Muunna systeemi 1. kertaluvun ($4\times 4$)-systeemiksi ja ratkaise.
Saat käyttää ratkaisussa Maplea tai Matlabia, etenkin piirtämiseen 
voisi olla suositeltavaa käyttää
jälleen Matlab-funktiomme {\tt linsys}. Piirrä trajektoreita 
$(y_1(t),y_2(t))$. Miten näet trajektorista, milloin massat kulkevat samaan
ja milloin eri suuntaan.

Toisaalta analyyttisen ratkaisulausekkeen saat Maplella mukavasti. Sovitaan,
että saat käyttää {\tt linalg[exponential]}- funktiota.


\item
Luennolla osoitettiin, ett\"a ep\"ahomogeenisen systeemin
$$ \V{x}' = A \V{x} + \V{g}(t), \ \ \V{x}(0)=\V{x}^{(0)}$$
ratkaisu on
$$\V{x}(t)=e^{At}\V{x}^{(0)} + \int_0^t e^{A(t-s)}\V{g}(s) ds .$$

Vektorifunktion integrointi tarkoittaa yksinkertaisesti integrointia
komponenteittain.

Ratkaise t\"am\"an avulla systeemi

$\V{x}'=\left [\begin {array}{cc} 1&4\\\noalign{\medskip}-1&-3\end {array}
\right ] \V{x} + \left [\begin {array}{c} t\\\noalign{\medskip}1\end {array}
\right ],\ \  \V{x}(0)=(1,-1) $

Voit katsoa mallia tästä: \\
\verb_ www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/L20maple.html _

Mallista poiketen saat tässä oikaista niin, että käytät valmista
{\tt linalg[exponential]}-funktiota (tätäpä ei näy uudesta 
{\tt LinearAlgebra})-kirjastosta löytyvän.)

{\bf Eiköhän tässä ole jo tarpeeksi.}


\end{enumerate}



\subsection*{Matriisieksponenttifunktio $e^{At}$}

Tiivis, hyvä esitys aiheesta on {\it Pekka Alestalon} kirjoittama:\\
{http://www.math.hut.fi/teaching/k3/expm.ps}

Jokaiselle neliömatriisille $A$ voidaan määritellä eksponenttifunktio
$e^{A}:=\sum_{k=0}^\infty {\frac{A^k}{k!}}$. Diagonalisoituvalle matriisille
se voidaan laskea suoraan soveltamalla diagonalisointiesityksen $D$-matriisin
diagonaalialkioihin tavallista $\exp$-funktiota.
Joskus voi olla kätevää soveltaa sopivaa reaalifunktion sarjakehitelmää,
joskus taas yllä mainittu määritelmä johtaa katkeavaan sarjaan yllättävästi
syystä, jota lukujen maailmassa ei esiinny, nimittäin matriisin jokin potenssi
voi olla nolla (nilpotentti matriisi). 


Miten sitten toimitaan yleisesti, kun ei kuitenkaan haluta käyttää 
sarjakehitelmää? Silloin etsitään ns. yleistetyt ominaisvektorit, mikä
vastaa sitä tapaa, joka esitettiin $2\times 2 $-matriiseille.
Yleisessä muodossa esitettynä se voidaan muotoilla matriisihajotelmaksi,
joka on ``lähes diagonalisointi'', eli ns. {\it Jordanin muoto}.
Sitä emme tällä kurssilla lähemmin opiskele, kiinnostuneet löytävät
sen mm. kelpo Laode-kirjasta.

Algoritmi voidaan esittää ilman Jordan-hajoitelma-terminologiaa (vaikka
samasta asiasta on kyse).

Itse asiassa pätee ns. {\em Cayley-Hamiltonin} lause: Jokainen neliömatriisi
toteuttaa oman karakteristisen yhtälönsä.
(Tarkoittaa, että jos lausekkeessa $p(\lambda)=\lambda^n+\ldots $ sijoitetaan
$\lambda$:n paikalle $A$, niin tuloksena on nollamatriisi.)
 Tästä päädytään siihen, että matriisi
``käyttäytyy nilpotentisti'' yleistettyjen ominaisvektorien edustamilla
suunnilla. (Kts. tarkemmin alla mainituilta sivuilta).

Helpoimmat tapaukset ovat ääritapaukset: \newline 
a) Jos ominaisvektoreita on
riittävästi ($n$ kpl) tai \newline
b) jos niitä on vain yksi (jolloin ominaisrvojakin
on vain yksi). \newline
Tällöinhän yllä mainitusta {\em Cayley-Hamiltonista} seuraa,
että jos $\lambda_0$ on tuo ominaisarvo, niin $(A-\lambda_0)^n=0$.
Koska $e^{At}=e^{\lambda_0 t}e^{(A-\lambda_0)t}$, saadaan $(A-\lambda_0I)t$:n
potenssien mukainen sarja, joka katkeaa n:nnessä termissä.

$2\times 2$-matriisien käsittely on erityisen helppoa, koska niillä joko
on riittävästi (2) ominaisvektoreita tai $(A-\lambda_0)^2=0$

Algoritmi on selitetty tarkemmin luentosivuilla: (Emme sitä kuitenkaan kokeissa vaadi osattavaksi.)


\verb+www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/L_ldys.html+ ja tämän viitteissä:\hfill\\
\verb_www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/expA.html_ ja erit. \hfill\\
\verb_www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/eat8.gif_ \\
\verb_www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/eat9.gif_

Käytännössä voidaan turvautua ohjelmistoihin, joihin tuo Jordan-muoto
on kätketty. Maple:ssa on {\tt linalg[exponential]} ja Matlabissa {\tt expm}. 

%\matl:n tapauksessa saamme
%tietysti ``numeerisen tuloksen nopeasti'' ja sanoisimmeko, että \maple:n
%tapauksessa ``symbolisen tuloksen hitaasti''


\textbf{Lineaaristen faasitasonimityksiä}

- Lähdenoodi (epästabiili) ``source node'', nielunoodi (vahvasti stabiili)
\qquad \qquad \quad ``sink node''  \\
- Satulapiste ``saddle point'' (epästabiili)\\
- Keskus (stabiili) ``center''\\
- Lähdespiraalipiste (epästabiili spiraalip.), nieluspiraali (vahvasti stabiili)
 

{\bf Linearisointi ja (KRP):t = (TP):t}. Linearisointi tapahtuu 
laskemalla ensin kriittiset pisteet (KRP), eli oikean puolen 0-kohdat.
(Käytetään myös nimitystä tasapainopiste (TP).)
Jos $ {\bf p_0}$ on KRP, niin linearisoidun systeemin matriisi on 
diff.yhtälön määrittelevän (vektoriarvoisen) funktion ${\bf f}$
Jacobin matriisi 
$({\frac {\partial}{\partial y_{{j}}}}f_{{i}}(y_1,...y_n}))_{i,j}$
pisteessä $ {\bf p_0}$.


\end{document}



