\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
%\usepackage{c:\\usr\\heikki\\tex\\v3harj}
%\usepackage[dvips]{epsfig}
%\usepackage{marvosym} % eurot mukaan!
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
%\def\abs#1{\vert #1\vert}      
%\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
%\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
%\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
%\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
%\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
%\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
%\def\rv{\hfill\break}
%\def\matl{{\sc Matlab}}
%\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{7}{43}{29.10 -- 1.11.2002}


%Luentoaiheita: {\tt ... [TE], Lay}.


\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}


\item %1
(a) Todista ``lapsellinen'' lause. Olkoon näyttämönä sisätuloavaruus $V$. 
Jos siellä $\V{v}$ on kohtisuorassa 
vektoreita $\V{v}_1,\ldots,\V{v}_k$ vastaan, niin 
se on kohtisuorassa koko aliavaruutta 
$\textit{sp}\lbrace \V{v}_1,\ldots,\V{v}_k\rbrace$  vastaan.

(b)
Olkoon $M = \textit{sp}\lbrace [1,-2,1]  \rbrace \subset \R^3.$ 
Muodosta avaruus
$M^\perp$ (Kirjoita ko. ``avaruuden'' yhtälö).


\item %2
Muodosta matriisin 
$A=
 \left[ \begin {array}{cc} 1&-1\\\noalign{\medskip}1&4
\\\noalign{\medskip}1&-1\\\noalign{\medskip}1&4\end {array} \right] 
$
QR - hajotelma ja määritä sen avulla PNS-ratkaisu yhtälölle $A x = b$,
missä
$b=\left[-1,6,5,7\right]^T$

% \left[ \begin {array}{c} -1\\\noalign{\medskip}6\\\noalign{\medskip}5
%\\\noalign{\medskip}7\end {array} \right] 
%$
Mikä on PNS-virhe (``residuaali'') $|| A x - b ||$ ?  

Kirjoita myös normaaliyhtälöt (mutta ei tarvitse ratkaista).

\item %3
Useissa tapauksissa yrityksen kuluja myyntimäärän funktiona voidaan kuvata
kolmannen asteen käyrällä $y=c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3$. Tässä ei oteta
kiinteitä kuluja mukaan, joten vakiotermi puuttuu.

Muodosta datapisteisiin $(x_1,y_1), \ldots, (x_n,y_n)$ liittyvä
matriisi $A$ ja kirjoita sen avulla tehtävä muotoon, josta
sen voit Maplella ratkaista. (Normaaliyhtälöt tai QR.)

(Jatkuu LV)

\item %4
 
 Ratkaise (AA)-tehtävä $8 y'' -2 y' -y = 0,\ \ y(0)=-0.2, \\ y'(0)=-0.325$


\item %5 
 Muodosta yleinen ratkaisu yhtälölle
 $y''+2ky'+k^2y=0 .$


\item %6
 Ratkaise alkuarvotehtävä 
$y''+4 y'+ 13 y = \cos t, \ \ y(0)=0,y'(0)=1$ 

 %$\begin{cases}y''+4 y'+ 13 y = \cos t \\
%	 y(0)=0,y'(0)=1 \end{cases}$

\end{enumerate}

\subsubsection*{Ohjeita}


Tarkoitus on, että opiskelet 2. kertaluvun lineaariset vakiokertoimiset
esim. KRE-kirjasta.
Tässä perusasiat:
\begin{itemize}
\item
(EHY):n yleinen = (HY):n yleinen + (EHY):n erityinen.
\item
(HY)-yrite: $y=e^{\lambda t}$ johtaa karakteristiseen yhtälöön $\lambda$:n
määräämiseksi. 
  
Tapaukset:
   \begin{itemize}
\item  
Erisuuret reaalijuuret --- harvinaisen selvä tapaus.
\item  
Kompleksiset liittoluvut $\lambda = \alpha \pm i \beta$. Tällöin
päästään ({\it Eulerin kaavan avulla}) reaaliseen kantaan
$\lbrace e^{\alpha t}\cos \beta t, e^{\alpha t}\sin \beta t\rbrace .$
\item  
Kaksoisjuuren $\lambda$ tapauksessa perimätieto kehottaa hakemaan 
toista LRT ratkaisua muodossa $t e^{\lambda t}$
   \end{itemize}

\item
(EHY)-yritteille on omat sääntönsä, niitä esitellään KRE-kirjassa aika
laajasti. Meille riittäkööt muutamat tyyppitapaukset, yleensä yritemuodot
annetaan, tai ne ovat tosi luonnollisia.

\end{itemize}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item  % Lay s. 393  %1

(a) Osoita, että matriisin 
$$A=
\left[ \begin {array}{cccc} -6&-3&6&1\\\noalign{\medskip}-1&2&1&-6\\\noalign{\medskip}3&6&3&-2\\\noalign{\medskip}6&-3&6&-1
\\\noalign{\medskip}2&-1&2&3\\\noalign{\medskip}-3&6&3&2
\\\noalign{\medskip}-2&-1&2&-3\\\noalign{\medskip}1&2&1&6\end {array}
 \right] 
$$
sarakkeet ovat ortogonaaliset.

(b) Olkoon $U$ matriisi, joka saadaan normeeraamalla $A$:n sarakkeet.
Laske $U^TU$ ja $U U^T$ ja vertaa.

(c) 
Muodosta satunnaislukuvektori $\V{y} \in \R^8$ ja laske $\V{p}=U U^T \V{y}$
ja
$\V{z}=\V{y}-\V{p}$. Selvitä, miksi $\V{p} \in $col(A). Totea, 
että $z\perp$ col(A) (eli $z \in \textit{col(A)}^\perp$) .

(d) Anna tälle esitykselle $\V{y}=\V{p}+\V{z}$ sille kuuluva arvo.

\item  %2
Jatka yrityksen kuluselvitystä, kun annettuna on seuraavat datapisteet
(yksikkönä voi olla vaikka tuhat euroa): 
$
(4,1.58),(6,2.08),(8,2.5),(10,2.8),(12,3.1),(14,3.4),(16,3.8),(18,4.32),
$
Laske vaikka molemmilla tavoilla (normaliyht, QR). Piirrä datapisteet
ja mallin antama käyrä. (Kts. LSQ.mws:stä mallia ainakin piirtoon.)


\item % 3 LAODE s. 353
Alla olevat matriisit kertovat Lämpötilat Pariisissa vuoden ajalta siten,
että ensimmäisessä ovat kuukaudet tammi--kesä ja jälkimmäisessä heinä-joulu.
Ensimmäinen rivi on kuukauden ylin ja toinen alin lämpötila.


$$ \left[ \begin {array}{cccccc} 55&55&59&64&68&75\\\noalign{\medskip}39
&41&45&46&55&61\end {array} \right],
 \left[ \begin {array}{cccccc} 81&81&77&70&63&55\\\noalign{\medskip}64
&64&61&54&46&41\end {array} \right] $$

{\tiny
(Data on esitetty kahtena matriisina puhtaasti ``näyttöteknisistä'' syistä.)
}

Kannattaa ensitöiksi muuttaa {\it Fahrenheitit Celsiuksiksi}. Tee ensin 
Maplessa matriisi, vaikkapa {\tt PariisiF} ja sitten \\
\verb_ PariisiC:=map(evalf@convert,PariisiF,temperature, degF, degC);_

Sovita sinimuotoinen malli kumpaankin dataan (PNS). 
Kun aikaa mitataan kuukausissa,
on luonnollista ottaa $12$-jaksoinen funktio:

$$f(T)=c_1+c_2\cos(\frac{2\pi}{12}T)+c_3\sin(\frac{2\pi}{12}T)$$

Piirrä molemmissa tapauksiss datapisteet ja PNS-sovitteet. 
Kirjoita tulos myös muotoon $T_0+A \cos(\frac{2\pi}{12}T -\delta)$, joka
näyttää sen muodossa ``keskiarvo + amplitudi $\times \cos$-termi''. 

%Tällaisenaan ihan tavallinen harj. tehtävä.

%Jos haluat jatkokysymyksiä, niin niitä on saatavilla.
%(Siten mahdollisuus laajentaa pikku projektiksi)


\item %4
Pikku projektityö, sopii hyvin oppilasparille, mutta yksin tehtäväksikään
ei pitäisi olla liian työläs.
Annetaan pisteitä max 4 p. riippuen työn ansioista ja perusteellisuudesta.
(Annetaan lisäaikaa viikko , pe 1.11 saakka)

Tutustu jaettuihin sivuihin aiheesta ``Linear predictive coding''. (Kirjasta
{\em Boggess--Narchowich: A first Course in Wavelets with Fourier Analysis})
Kirjoita Maple ws:lle lyhyt kuvaus asiasta.

Tähän liittyen sovella lineaarista ennustavaa koodausta lukujonon pakkaamiseen.
Ajatuksena on lähettää lähes jaksollinen merkkijono verkon kautta vastaanottajalle siten, että dataa tiivistetään merkittävästi.

Olkoon $X=(x_1,\ldots,x_N)$ , ja olkoon jono jaksollinen, jaksona $p << N$.
Esimerkiksi $x_j=\sin(j\pi/3), \ \ 1 \leq j \leq N=60.$  Tässä siis $p=6.$
 
Sovella lineaarista ennustavaa koodausta kertoimien $a_1,\ldots,a_p$ laskemiseski. Virheen pitäisi olla $0$, lukuunottamatta pyöristysvirheitä.
Häiritse jonoa pienellä satunnaisella virheellä.
Tätä varten voit määritellä funktion \verb_ randV_, kts. kohtaa Maple-avustusta.

Voit kokeilla satunnaislisäystä vaikka suuruusluokaltaan {\tt randV(N)}:n
suoraan antamaa tai esim. {\tt 0.5*randV(N)} tms.
Valitse sopiva hyväksymiskriteeri, kuten virhetoleranssi luokkaa $0.1$.
Montako termiä yli $p=6$:n joudut siirtämään? Vertaa alkuperäistä ja
siirrettyä kuvaa. (Voit tehdä vapaamuotoisia muunnelmia vaihdellen
toleranssia ja muita parametreja.)

\item %5
Vaihtoehtoisena pikku projektina voit käsitellä tehtävää Lay 6.5 teht, 26
s. 417, joka liittyy signaalien suodatukseen (johdantoesimerkki 
differenssiyhtälöihin, alipäästösuodatin). Hiukan suppeampi kuin edellinen.
Valitse siis jompi kumpi 
(Tähänkin lisäaikaa viikko , pe 1.11 saakka)
%(tai se laajennettu lämpötilatutkimus).)

\item %6
Jouseen, jonka jousivakio $k=2$ (N/m), on ripustettu $2$ kg:n massa.
Systeemi on nesteessä, jonka aiheuttama vastusvoima on lukuarvoltaan
sama kuin nopeus (lausuttuna m/s).
Systeemiin kohdistuu ulkoinen voima $r(t)=3\cos 3t -2\sin 3t$ (N).
Määritä tasapainotilaratkaisu ("steady state") ja kirjoita se
muotoon $R\cos(\omega t - \delta).$

Piirrä heräte ja vaste samaan kuvaan, piirrä myös alkuehtoa $y(0)=1,
y'(0)=0$ vastaava ratkaisu. 

Jos käytät Maplea, niin käytä sitä derivointi- ja sievennysapukeinona,
sovitaan kuitenkin, että voit käyttää {\tt dsolvea} (HY)-osuuteen 
(transienttiin), kunhan varmistat, että osaat periaatteessa laskea
sen käsin.

{\bf Ohje}ita erityisesti Maple-tekniikkaan annetaan ws:llä 
{\tt harj7ohje.mws}. ``Heräte'' tarkoittaa ``syötettä'', eli ulkoista
``pakkovoimaa'' eli EHY:n oikeaa puolta. ``Vaste'' tarkoittaa tulosta,
outputtia, ratkaisua.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Maple-avustusta}

\verb_ randV:=n->RandomVector(n,generator=rand(-10000..10000)/10000.);_

Funktio {\tt RandomVector} on ``uudessa kunnon'' {\tt LinearAlgebra}:ssa.


\end{document}



\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline      %1tabular1taulukko1latex
%\multicolumn{5}{|c|} \\ \hline       %1tabular1taulukko
 & Pariisi & Rio & & Pariisi & Rio \\
Kuukausi & Korkea & Matala & Korkea & Matala & Kuukausi & Korkea & Matala & 
Korkea & Matala \\ \hline
  1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline         %1tabular1taulukko
  y & 1 & 1 & 0 & 10 \\ \hline         %1tabular1taulukko
\end{tabular}
