\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
%\usepackage{c:\\usr\\heikki\\tex\\v3harj}
%\usepackage[dvips]{epsfig}
%\usepackage{marvosym} % eurot mukaan!
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
%\def\abs#1{\vert #1\vert}      
%\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
%\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
%\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
%\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
%\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
%\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
%\def\rv{\hfill\break}
%\def\matl{{\sc Matlab}}
%\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{6}{42}{22 -- 25.10.2002}


%Luentoaiheita: {\tt ... [TE], Lay}.


\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}

\item % Lay 5.5. s, 341 Exe 13
Määritä reaaliset matriisit $P$ ja $C$ siten, että matriisi $A=
\left[ \begin {array}{cc} 1&-2\\\noalign{\medskip}1&3\end {array} \right] 
$
voidaan esittää muodossa
$A=P C P^{-1}$




\item
Olkoon matriisilla $A$ ominaisarvot $3$ ja $\frac{1}{3}$ ja vastaavat
ominaisvektorit $\V{v}_1=\left[ 
    \begin {array}{c} 1\\
    \noalign{\medskip} 1 
\end {array} 
\right]$  
ja $\V{v}_2=\left[ 
    \begin {array}{c} -1\\
    \noalign{\medskip} 1 
\end {array} 
\right].$  

(a) 
Selvitä, onko $O$ dynaamisen systeemin $\V{x}_{k+1}=A \V{x}_k$
attraktori, repellori vai satulapiste.

(b) Piirrä käsin kuva, jossa ovat suurimman ja pienimmän 
``vetovoiman/hylkimisvoiman'' suunnat (osoita nuolilla prosessin 
etenemissuunta), ja muutama hassu muu trajektori suuntanuolineen.


\item 
Kuten huomaat, matriisia A ei edellisessä tarvittu, kun tiedettiin ominaisarvot
ja -vektorit.
Laske nyt kuitenkin tuo $A$.

\item
Osoita, että vektorit $\V{v}_1=[2,1,3],\V{v}_2=[1,-2,0],
\V{v}_3=[6,3,-5]$ muodostavat ortogonaalisen kannan $\R^3$:ssa.

Määritä vektorin $\V{u}=[9,-2,4]$ esitys tässä kannassa.
Huom! Muista käyttää ortogonaalisuutta. 

%Esitystä sanotaan {\em Fourier-
%esitykseksi}, muista tämä sitten, kun Fourier-sarjat ilmaantuvat.


\item
Tarkastellaan avaruuden $\mathcal{C}\lbrack -\pi,\pi\rbrack$ aliavaruutta
$H=$sp$(\mathcal{T})$, jonka virittää funktiojoukko 
$\mathcal{T}=\lbrace 1,\cos x, \cos 2 x,\sin x, \sin 2x \rbrace.$ 

Osoita, että $\mathcal{T}$ 
on $H$:n ortogonaalinen kanta, kun sisätulona on tavanomainen:

$$\langle f_1,f_2 \rangle = \int_{-\pi}^\pi f_1(x) f_2(x) dx$$

Vihje: Käytä tyyppiä $\cos \alpha \sin \beta$ olevia kaavoja.
Maplekin antaa niitä komennolla: 
\verb_ combine(cos(alpha)*cos(beta));_ .

Mieti myös parittomuus/parillisuuskäytöstä integroinnissa. % (piirrä vaikka).

\item
Muodosta matriisin

$A=
 \left[ \begin {array}{ccc} 
                     3 & -5 & 1\\
 \noalign{\medskip}  1 & 1 & 1\\
  \noalign{\medskip} -1 & 5 & -2 \\
  \noalign{\medskip} 3 & -7 & 8
         \end {array} 
 \right] 
$

sarakeavaruudelle ortogonaalinen kanta Gram-Schmidt-prosessilla (TE s. 26).
(Siis ei tarvitse olla normeerattu.)

{\bf Vast.} 

$\lbrack 3,1,-1,3 \rbrack^T,\lbrack 1,3,3,-1 \rbrack^T,
\lbrack -3,1,1,3 \rbrack^T
$

\end{enumerate}

 
\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item
Jatketaan AV-tehtävää trigonometrisesta OG-kannasta.
Määritä funktioiden $f(t)=t$ ja $g(t)=t^2$ projektiot aliavaruudessa $H$.
(Ts. parhaat approksimaatiot, eli pienimmän neliösumman ratkaisut.)

Piirrä kuvaajat.


\item % Lay teht. 9--14 sopivat.


Mitä ominaisuuksista: ``Hermiittinen, vinohermiittinen, unitaarinen''
seuraavilla matriiseilla A,B,C on?

$A=\left[ \begin {array}{cc} 2&3+4\,i\\\noalign{\medskip}3-4\,i&2
\end {array} \right] 
$

% B:=<<1/2,I*sqrt(3/4)>|<I*sqrt(3/4),1/2>>; latex(%);

$B=
 \left[ \begin {array}{cc} 1/2&1/2\,i\sqrt {3}\\\noalign{\medskip}1/2
\,i\sqrt {3}&1/2\end {array} \right] 
$

%%> C:=<<0,1-I,0>|<1+I,0,1-I>|<0,1+I,0>>;latex(%);

$
C=
 \left[ \begin {array}{ccc} 0&1+i&0\\\noalign{\medskip}1-i&0&1+i
\\\noalign{\medskip}0&1-i&0\end {array} \right] 
$

Määritä kunkin spektri (ominaisarvot) ja vertaa mainttua tyyppiä olevien
matriisen peruslauseisiin. (Vaikkapa KRE Thm. 1 s. 386.)


\item
Tutki matriisin 
$A=
 \left[ \begin {array}{cc}  0.5& 0.6\\\noalign{\medskip}- 0.3& 1.4
\end {array} \right] 
$
määräämän dynaamisen systeemin luonne (O:n kiintopistetyyppi) ja piirrä
tyypillisiä trajektoreita. (Vrt. L9maple.)


\item
Vastaavasti, kun 
$A=
 \left[ \begin {array}{cc}  0.8& 0.3\\\noalign{\medskip}-4& 1.5
\end {array} \right] 
$

Esitä matriisi muodossa, josta näkyy similaarisuus tyyppiä ``venytys ja
kierto'' olevan matriisin kanssa.





% (Vanhoja konsteja ei tässä
%hyväksytä, ne ovat liian vaivalloisia!)

\item
Suorita täpläpöllöanalyysi loppuun. (Kts. L9maple.mws/html) 
Piirrä kuvaan avaruustrajektoreita. Kannattaa kirjoittaa 
proseduuri {\tt traje3d}, jossa plot:n sijasta käytetään spacecurvea.
(Tähän ehkä annetaan ``virka-apuakin''.)

\item
Suorita samainen täpläpöllötutkielma visualisointeineen tapauksessa, 
jossa nuorisopöllöjen
``juveniles'' uuteen pesään hakeutumisen onnistumisprosentti on 50, jolloin
matriisin alkio $a_{21}=0.3$ aiemman $0.18$ sijasta. ($60$\% syntyvistä 
naaraspöllöistä selviytyy oman pesän nuorisojoukoksi.)  





\end{enumerate}
\end{document}





Olkoon vektorijono $(\V{x}_k)$ differenssiyhtälön $\V{x}_{k+1}=A \V{x}_k$,
$\V{x}_0 = \left[ 
    \begin {array}{c} 9 \\
    \noalign{\medskip} 1 
\end {array} \right]
ratkaisu.$



\item % Lay s. 352 teht. 5
Eräässä Amerikan länsirannikon ikimetsässä täpläpöllöjen pääasiallinen
ruokavalio koostuu liito-oravista.
Olkoon näiden populaatioiden ``saalis-saalistaja-matriisi'' 

$$
A=\left[ \begin {array}{cc}  0.4& 0.3\\\noalign{\medskip}-p& 1.2
\end {array} \right] 
$$

Osoita, että jos ``saalistusparametri'' $p=0.325$, niin molemmat populaatiot
kasvavat. Esitä likiarvo pitkän aikavälin kasvukertoimelle ja pöllöjen
ja liito-oravien lukumäärien suhteelle.
