\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
%\usepackage{c:\\usr\\heikki\\tex\\v3harj}
%\usepackage[dvips]{epsfig}
%\usepackage{marvosym} % eurot mukaan!
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
%\def\abs#1{\vert #1\vert}      
%\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
%\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
%\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
%\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
%\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
%\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
%\def\rv{\hfill\break}
%\def\matl{{\sc Matlab}}
%\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{5}{42}{15 -- 18.10.2002}


Luentoaiheita: {\tt ... [TE], Lay}.


\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}



Ominaisarvoteht�viss� oletamme aina ilman eri mainintaa, ett�
puhe on neli�matriiseista. $A$ (yms.) tarkoittaa tavallisimmin kokoa 
$n\times n$ olevaa matriisia. 

\begin{enumerate}

\item %1 Lay 
M\"a\"arit\"a matriisin $A$ ominaisarvot ja muodosta kutakin 
ominaisarvoa vastaavalle ominaisavaruudelle jokin kanta, kun

$A=\left [\begin {array}{ccc} 2&0&0\\\noalign{\medskip}0&1&1
\\\noalign{\medskip}0 &1 &1 \end {array}
\right ] $

Mitk� ovat algebralliset ja geometriset kertaluvut?

\item %2
%%%\item %%\koodi{Kre teht. 17,18 s. 343} 
Olkoon $A$:lla ominaisarvo $\lambda$, ja olkoon $\V{x}$ jokin vastaava 
ominaisvektori. 

(a) Osoita,
ett\"a $\lambda^k$ on $A^k$:n ominaisarvo.

(b) Oletetaan, ett\"a $A$ on k\"a\"antyv\"a. 
Osoita, ett\"a $\lambda^{-1}$ on $A^{-1}$:n
ominaisarvo ja $y=A x$ siihen liittyv\"a ominaisvektori (tai miksei 
my�s $x$).
Mist\"a tied\"at, ett\"a $\lambda \ne 0$?
       
\item % 3 KRE s. 375-376 (e) Lay
%M��rit� alla annetun lineaarikuvauksen matriisi, sen ominaisarvot ja -
%vektorit ja selvit� niiden geometrinen merkitys.
Olkoon $T$ lineaarikuvaus, jonka geometrinen kuvailu on annettu seuraavissa
eri kohdissa.

(a) Heijastus x-akselin suhteen tasossa $\R ^2$, \\
(b) Venytys kertoimella $4$ $\R^3$:ssa, \\
(c) Heijastus xy-taon suhteen $\R^3$:ssa, \\
(d) Kohtisuora projektio y-akselille tasossa, \\ 
(e) Kierto jonkin origon kautta kulkevan akselin ymp�ri m��r�kulman verran
$\R^3$:ssa.


Selvit� laskematta, mitk� ovat kussakin tapauksessa ominaisarvot ja -vektorit.
(LV-teht�v�n� saat sitten laskea.)

%Kuvaile geometrisesti laskujen suhteen riitt��, kun teet
%kaksi vapaasti valitsemaasi.

\item % 4 Lay s. 325 Practice problem
Olkoon A $4 \times 4$- matriisi, jolla on ominaisarvot $5,3$ ja $-2$, ja
oletetaan, ett� tied�t ominaisarvon $\lambda=3$ geometrisen kertaluvun
$m_g(\lambda)$ olevan $2$ (eli dim$(E_A(2))=2$.
Onko t�ss� tarpeeksi tietoa, jotta voit p��tell� $A$:n diagonalisoituvaksi?


%Olkoon $A=
%\left[ \begin {array}{ccccc} 1&0&0&0&0\\\noalign{\medskip}6&7&0&0&0\\\noalign{\medskip}11&12&13&0&0\\\noalign{\medskip}16&17&18&19&0
%\\\noalign{\medskip}21&22&23&24&25\end {array} \right] 
%$
%Osoita (laskematta), ett� A on diagonalistoituva.

\item %5
Olkoon
$A=
\left[ \begin {array}{cc} -2&12\\\noalign{\medskip}-1&5\end {array} \right]. 
$

Diagonalisoi $A$ ja laske sen avulla lauseke $A^k$:lle.

\item %6
M��rit� matriisin
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 1&-2\\\noalign{\medskip}1&3\end {array} \right].
$
ominaisarvot ja ominaisvektorikanta $\C^2$:ssa.


\end{enumerate}



 


%\item 
%V3/2000 harj4av teht. 1  (kiertomatriisin ominaisarvot..)

%\item
%sama 2 (diagonalisoi)


%\item %1
%Mahdollisesti jokin kompleksinen oa/ov, kiertomatriisi ...
%Kts. harj5apu.mws.


% Vastaavanlaisia teht�vi� s. 326 teht. 23-25

%\item
%Ominaisavaruuskannat niputetaan...

%\item
%Luennolla osoitettiin karakteristisen polynomin avulla, ett� matriisilla $A$
%ja sen transposilla $A^T$ on samat ominaisarvot.
%Osoita, ett� jos  $n \times n$- matriisilla $A$ on n {\tt LRT} 
%ominaisvektoria, niin sama p�tee transpoosille $A^T$.


%\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}


%\item
%Lay s. 340 exa 8, s. 342 exe 27/28, vrt TE Huom 4.1 s. 44


\item %1
Olkoon $T:\R^4 \to \R^4$ lineaarikuvaus, jonka matriisi luonnollisen
kannan suhteen on 

$$A=
\left[ \begin {array}{cccc} 15&-66&-44&-33\\\noalign{\medskip}0&13&21&-15\\
\noalign{\medskip}1&-15&-21&12\\\noalign{\medskip}2&-18&-22&8
\end {array} \right] .
$$

M��rit� $\R^4$:n kanta $\mathcal{F}$, jonka suhteen $T$:n matriisi 
$\lbrack T \rbrack_\mathcal{F}$ on diagonaalinen ja muodosta tuo 
diagonaalimatriisi.

Saat k�ytt�� {\tt Eigenvectors}:ia.

\item %2
Muodosta AV-teht�v�n 3 kohtien (a), (c) ja (e) matriisit ja laske
ominaisarvot ja -vektorit. Laske ainakin yksi kohta k�sinlaskua simuloiden
(karakterisitinen polynomi, ym.), lopu(i)ssa saat halutessasi
k�ytt�� {\tt Eigenvectors}:ia. Kohdan (e) akseliksi voit ottaa z-akselin
ja kiertokulmaksi esim. $\phi=\frac{\pi}{4}$.


\item %3 
Muistele harj. 4 LV teht�v�� 5. K�sittele vapaavalintaisesti kohdan
(a) tai (b) matriisia. Selit�, miksi k�yt�s on sellaista, milt� n�ytt��.
Onko nollasta erillinen tasapainopiste yks�k�sitteinen, jos l�ht�piste
on todenn�k�isyyvektori?

Ev�stys: Lausu l�ht�piste ominaisvektorikannassa tai suorita diagonalisointi.

\item %4
Olkoon
$A=\left[ \begin {array}{cc} 5&-2\\\noalign{\medskip}1&3\end {array} \right].$

(a) Diagonalisoi $A$.

(b) Esit� reaalimuodossa $A=P C P^{-1}$, miss� $C=
\left[ \begin {array}{cc} a&-b\\\noalign{\medskip}b&a\end {array} \right].$

\item %5
Havainnollista teht�vien 2 ja 4 lineaarikuvauksia animaatiolla tyyliin
{\tt L7maple, L8maple}. Piirr� joissain tapauksissa nuolien sijasta my�s
ratak�yr�t: sininen yksikk�ympyr� ja punainen kuvak�yr�.

\item %6
Olkoon
$A=
\left[ \begin {array}{ccc}  0.8&- 0.6&0\\\noalign{\medskip} 0.6& 0.8&0
\\\noalign{\medskip}0&0& 1.07\end {array} \right]. 
$

M��rit� ominaisarvot ja -vektorit ({\tt Eigenvectors}) ja tunnista matriisin
rakenne.

Muodosta jonot $\V{x}_{k+1}=A \V{x}_k, k=0, 1, \ldots $, miss� alkupiste
$\V{x}_0$ on (a) $(2,0,0)$ ja (b) $(2,0,1)$.
Piirr� pisteiden ratak�yri� (``trajektoreja'') $\R^3$:ssa.

Ohje: {\tt spacecurve}  (Tarvitaan {\tt with(plots):})

\end{enumerate}
\end{document}





 


\item
Olkoon %%%A=matrix(3,3,[.5 .25 .25,.25 .5 .25,.25 .25 .5] 
\[
A=\left [\begin {array}{ccc}  0.5& 0.25& 0.25\\\noalign{\medskip} 0.25&
 0.5& 0.25\\\noalign{\medskip} 0.25& 0.25& 0.5\end {array}\right ]
\]

Kyseess� on ns. stokastinen matriisi, joka esitt�� {\it Markov-prosessin}
siirtym�todenn�k�isyyksi�.
(Sarakesummat ovat $=1$ ja alkiot $\in[0,1]$)

L�hde liikkeelle jostain $\R^3$:n vektorista ${u}_0$ (esim. $(1,2,3)$)
ja iteroi
tyyliin \verb+  u0:=(1,2,3);u:=u0;u:=evalm(A &* u); + (\maple) 
tai {\tt u0=[1,2,3];u=u0;u=A*u}(\matl) 

Laske $A$:n ominaisarvot ja -vektorit ja lausu alkupistevektori $u_0$
ominaisvektorikannan avulla. Mit� rajavektoria l�hestyy iteraatiojono
$A^n {u_0}$?

Kokeile my�s muita alkupisteit�. Pohdi ja selit�, mit� voisi tarkoittaa
``stabiili kiintopiste''.


\item
{\bf Spektri} tarkoittaa ominaisarvojen joukkoa kompleksitasossa
($n$ pistett\"a, joista osa saattaa yhty\"a, spektraalis\"ade on 
$r=max (\abs{\lambda_j})$ ja spektraaliympyr\"a 
siis $r$-s\"ateinen ympyr\"a.)
Spektri kertoo yleens� paljon matriisin luonteesta.

{\bf Teht�v�}
Piirr\"a {\it symmetristen}, {\it vinosymmetristen} ja {\it ortogonaalisten}
matriisien spektrej\"a. Lis�� kuhunkin my�s spektraaliympyr�.

{\bf Vihje:} Jos $A$ on mielivaltainen matriisi, niin sen avulla voit
muodostaa symmetrisen matriisin esim: $A^T A$ tai $A+A^T$, vinosymmetrisen
$A^T-A$ 
Ortogonaalimatriiseja voit kehitell� vaikkapa soveltamalla GramSchmidt-funktiota
satunnaismatriisin sarake (tai rivi)vektoreihin. Muista {\tt map}.

Satunnaismatriisin tapauksessa toiminta voisi olla t�m�ntapaista:
\begin{verbatim}
> z2xy:=z->[Re(z),Im(z)]; # T�ll� muutetaan $x+iy$ muotoon $[x,y]$
> A:=randmatrix(20,20):
> omarvot:=eigenvalues(convert(op(A),float));
> # eigenvals laskee numeerisesti, jos matriisi sis�lt�� liukulukuja.
> plot(map(z2xy,[omarvot]),style=point,symbol=circle);
# Riisu vaikka ensin plot pois, niin n�et piirrett�v�n rakenteen.
\end{verbatim}

Selvit�, vastaavatko kuvat odotuksiasi.


\end{enumerate}
\end{document}




