\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\usepackage{marvosym} % eurot mukaan!
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{4}{41}{8 -- 11.10.2002}


Luentoaiheita: {\tt L5maple.html, L6maple.html [TE], Lay}.


%Harmillista: Juuri, kun aloin kehitty� paremmaksi matemaattisen
%tekstin tuottajaksi Maplella, HTML-konversio rupesi t�kkim��n.
%Linkit kuviin eiv�t generoidu, pahus soikoon!
%(Tekstit ja inputit ovat kyll�, joten eiv�t nuo hy�dytt�mi� ole, mutta
%ajatus voi katketa tyhj��n siniseen kaavaan, jota ei ole.)

\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

Muista: Maplen k�ytt� pienimuotoisiin laskuteht�viin k�y aivan hyvin 
tekstitilassa modeemiyhteydell�. (K�ynnistyskomento: {\tt maple} .)
Toisaalta AV-teht�v�t mitoitetaan k�sin kohtuudella laskettaviksi.

\begin{enumerate}


\item %1
Kun  tuotetaan signaali suorittamalla johonkin prosessiin kohdistuva
sarja mittauksia, syntyy mittausvirheiden ym. johdosta satunnaista ``kohinaa''.
(Prosessi voi liitty� kemialliseen reaktioon, l�mp�virtaukseen putken
l�pi, liikkuvaan robotin k�teen ym.)
Standardi menetelm� on pyrki� suodattamaan kohina signaalista.
Er�s yksinkertainen suodatin on ``liukuva keskiarvo'', jossa muodostetaan
mittaustuloksen keskiarvo sen molempien naapureiden kanssa.
Jos mittaustuloksia edustaa jono $(y_k)$, niin muodostetaan jono
$z_k=\frac{y_{k-1}}{3}+\frac{y_k}{3}+\frac{y_{k+1}}{3}$.

Olkoon signaali $(y_k)=9,5,7,3,2,4,6,5,7,6,8,10,9,5,7$.

Laske suodatettu signaali $z_k, k=1 \ldots 13$.

Piirr� murtoviivat, jotka edustavat alkuper�ist� ja suodatettua signaalia.

Jaksanet piirt�� k�sin ruutupaperille, toki Maplea saa my�s k�ytt��
mielell��n.


\item %2
T�m� teht�v� k�sittelee yksinkertaista kansantalousmallia, jota kuvataan
differenssiyht�l�ll�

$$Y_{k+2}-a(1+b)Y_{k+1}+abY_k=1 .$$

T�ss� $Y_k$ on kokonaiskansantuote vuoden $k$ aikana, $a < 1$ on vakio
(``the marginal propensity to consume''), ja $b > 0$ on s��t�parametri,
joka kuvaa sit�, miten muutokset kuluttajien k�ytt�ytymisess� vaikuttavat
vuotuiseen sijoitustoimintaan yksityisell� sektorilla.

M��rit� yht�l�n yleinen ratkaisu, kun $a=0.9$ ja $b=\frac{4}{9}$. 
Mit� tapahtuu $Y_k$:lle, kun $k$ kasvaa?

Vihje: Koska oikea puoli on vakio, (EHY):n erityisratkaisua kannattaa etsi�
muodossa $Y^p_k=T=$vakio. (Jos vakio olisi (HY):n ratkaisu, niin t�m� ei 
toimisi,mutta n�in ei taida olla.)  
M��r�ytyv�� vakiota kutsutaan kansantulon tasapainotasoksi.
\footnote{Viittaus: {\it Sandefur}: Discrete dynamical systems ss. 
267--276. Jos joku haluaa tutkia tarkemmin, minulta saa kirjan lainaksi} 

\item %3
Sovitaan, ett� kunakin p�iv�n� opiskelija on joko terve tai sairas
(ei siis silt� v�lilt�).
Niist� oppilaista, jotka ovat t�n��n terveit�, $95$\% on terveit� huomenna.
T�n��n sairastavista oppilaista $55$\% sairastaa my�s huomenna.

(a) Kirjoita t�h�n ``kokeeseen'' liittyv� stokastinen matriisi.

(b) Oletetaan, ett� $20$\% oppilaista on sairaana maanantaina.
Mik� osuus oppilaista on t�m�n mallin mukaan sairaana tiistaina ja mik�
keskiviikkona.

(c) Jos oppilas on terve t�n��n, mill� todenn�k�isyydell� h�n on terve
kahden p�iv�n p��st�?

\item %4
Osoita, ett� jos n:nnen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differenssiyht�l�n
karakteristisen yht�l�n (``auxiliary equation'') juuret 
$r_1,\ldots,r_n$ ovat yksinkertaiset
(eli kaikki kesken��n erilliset), niin jonot $(r_1^k)_k,\ldots,(r_n^k)_k$ 
muodostavat ratkaisuavaruuden kannan.

\item %5
Laske {\tt L6maple}-tiedoston ��nestysmatriisin tasapainotilavektori.
(K�sinlasku lienee ihan kohtuullinen, Maplea saa toki k�ytt��.)

\item %6
Olkoon $P$ stokastinen matriisi ($p_{i,j} \ge 0,$ sarakesummat $=1$).
Osoita, ett� P:ll� on ei-triviaali kiintopiste (eli tasapainotilavektori,
TP-vektori),
ts. vektori $\V{x}$, siten ett� $P \V{x} = \V{x} .$

Vihje tutki matriisia $P-I$, miss� $I$ on yksikk�matriisi.
Osoita vaikka, ett� rivit ovat {\tt LRT} tai muuta sopivaa.

Vapaaehtoinen lis�pohdinta: Liek� helppoa vai vaikeaa osoittaa, ett�
saadaan todenn�k�isyysvektori. T�m� onnistuu sill� edellytyksell�,
ett� voidaan osoittaa, ett� TP-vektorin alkiot $\ge 0$ (jokin aidosti).

\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}
\item %1
Jatka AV-kansantalousmallin parissa.
Ratkaise AV-teht�v� Maplella k�ytt�en mallina {\tt L5maple.mws}:��.
Vaihda sitten parametreja: \\ $a=0.9,\ \ b=0.5$

Piirr� $Y_k$-pisteit� usean vuoden ajalta ja niit� yhdist�v�t murtoviivat.
(Malleja on noissa {\tt L*maple.mws}-tiedostoissa. T�ss� p��s��nt�:
Data, joka {\tt plot}:lle 
tarjoillaan, on muotoa
{\tt [[t1,y1],[t2,y2],...] }, yhdist�v�t murtoviivat tulevat oletuksena
mukaan, mik� on ihan hyv�. Datan generointiin {\tt seq} on hyv� v�line.)


\item %2
(a)
Kirjoita differenssiyht�l�
$$y_{k+4}- 6 y_{k+3} + 8 y_{k+2}+6y_{k+1}-9 y_{k}=0 $$

systeemiksi muotoon $\V{x}_{k+1}= A \V{x}_k$, $\forall k$.

(b) Muodosta jonoa $\V{x_k}$ jonkin matkaa iteroimalla matriisiyht�l��
ja toisaalta my�s laskemalla suoraan differenssiyht�l�st� ja vertaa.

(c) Piirr� my�s $\lbrack k, y_k \rbrack$- murtoviiva.

\item %3
Ratkaise edellisen teht�v�n differenssiyht�l�.
Kokeile $k 3^k$-yritett� kaksoisjuurelle.

\item %4
Jatka AV teht�v�� terveist�/sairaista oppilaista.

(a) m��rit� tasapainotilavektori (TP-vektori)

(b) Mill� todenn�k�isyydell� tietty oppilas on sairas, kun monta p�iv�� on
kulunut. Onko sill� merkityst�, onko h�n sairas vai terve t�n��n.

\item %5
Tutki s��nn�llisten stokastisten matriisien potensseja:

(a) Olkoon 
$$P= \left[ \begin {array}{cccc}  0.3355& 0.3682& 0.3067& 0.0389
\\\noalign{\medskip} 0.2663& 0.2723& 0.3277& 0.5451
\\\noalign{\medskip} 0.1935& 0.1502& 0.1589& 0.2395
\\\noalign{\medskip} 0.2047& 0.2093& 0.2067& 0.1765\end {array}
 \right].
$$
Muodosta matriisin $P$ potensseja $P^k$ja tarkkaile, mit� tapahtuu, kun
$k$ kasvaa.
Laske $P$:n kiintopiste (``steady-state vector'', TP-vektori)
(TP : Tasapainotila)

(b) Olkoon

$$Q= \left[ \begin {array}{ccc}  0.97& 0.05& 0.10\\\noalign{\medskip}0&
 0.90& 0.05\\\noalign{\medskip} 0.03& 0.05& 0.85\end {array} \right] 
$$.

Laske potenssit $Q^k, k=10,20,\ldots, 80$.
M��rit� Q:n TP-vektori.
Suorita arvelu (konjektuuri), joka voisi pit�� paikkansa kaikille 
s��nn�llisille stokastisille matriiseille.


\item %6
M��rit� differenssiyht�l�systeemin (teht. 2) matriisin $A$ ominaisarvot
ja -vektorit. Vertaa ``karakteristisia yht�l�it�'' (teht. 3) kesken��n.


\end{enumerate}
\end{document}


\item
Laboratorioel�in voi sy�d� kolmea eri ruokalajia p�ivitt�in.
Koetulokset osoittavat, ett� jos el�in valitsee jollain keralla
jonkin ruokalajin, se valitsee seuraavalla kerralla saman ruokalajin
$50$\%:n todenn�k�isyydell� ja kaksi muuta samalla $25$\%:n todenn�k�isyydell�.

(a) Kirjoita t�h�n liittyv� stokastinen matriisi.

(b) 



