\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\usepackage{marvosym} % eurot mukaan!
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{3}{40}{1 -- 4.10.2002}


Luentoaiheita: {\tt L3.html, L4.html, L4maple.html,L5maple.html, [TE], Lay}.


\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}

%\item
%Jokin perus-kannanvaihtoteht�v� alkuesimerkin mukaan.
%Esim 2.3:n tapainen Malli: L4.mws


\item % 1 Lay s. 276 ch 4.7. Exe 6
Olkoon annettu vektoriavaruuden $V$ kannat 
$\mathcal{D}=\lbrace \V{d_1},\V{d_2},\V{d_3} \rbrace $
ja
$\mathcal{F}=\lbrace \V{f_1},\V{f_2},\V{f_3} \rbrace$, ja saatakoon
kantavektorit toisistaan n�in:
$$\begin{cases}
\V{f_1}=\V{2d_1}- \V{d_2}+ \V{d_3} \\
\V{f_2}=3\V{d_2}+ \V{d_3} \\
\V{f_3}=-3\V{d_1}+ 2 \V{d_3}.
\end{cases}$$

(a)
M��rit� koordinaattimuunnosmatriisi, jonka avulla $\mathcal{D}-$koordinaatit
saadaan lausutuksi $\mathcal{F}-$koordinaattien avulla.

(b) 
M��rit� $\lbrack \V{x} \rbrack_\mathcal{D}$ vektorille 
$\V{x}=\V{f_1}-2\V{f_2}+2\V{f_3}$.

{\bf Neuvo:} Laske ilman mit��n "teoriaa", kunhan vain sijoittelet
ja ker��t koordinaatit kunkin vektorin tekij�ksi.
Hyv� on tietysti verrata "teoriaan" my�s.

\item %1
Osoita, ett� kannanvaihtomatriisi $S$ on k��ntyv�.
Jos tuntuu helpommalta, voit rajoittua avaruuteen $V$, jolle dim$(V)=2$ .

\item %TE harj. teht. 4: 
Mik� kannanvaihtomatriisi on esimerkiss� [TE] $1.17$ s. 6
siirrytt�ess� luonnollisesta kannasta kantaan $Q$ ?
Mik� on polynomin $2 x^2 -x + 3$ esitys kannassa $Q$ ?

\item %Lay s. 262 Ch 4.5, teht. 31
Olkoon $T:V\mapsto W$ lineaarikuvaus ja $H \subset V$ aliavaruus.
Osoita, ett� kuvajoukkolle $T(H)$ (jonka tied�mme aliavaruudeksi)
p�tee: dim$(T(H)) \leq $ dim$(H)$ .

\item %Lay s. 262 Ch 4.5, teht. 32
Olkoon $T:V\mapsto W$ lineaarinen injektio ("one-to-one") 
ja $H \subset V$ aliavaruus.
Osoita, ett� dim$(T(H))=$ dim$(H)$.
Jos $T$ on lis�ksi surjektio $W$:lle ("onto W"), niin siis
dim$(V)=$ dim$(W)$.
Ts. isomorfisilla ��rellisulotteisilla avaruuksilla on sama dimensio.


\item %6
Olkoot $f,g$ ja $h$ {\tt LRT} funktioita, jotka on m��ritelty $\R$:ss�.
Muodostetaan n�ist� jatkuva-aikasignaaleista diskretoituja signaaleja
laskemalla arvot kokonaislukupisteiss�: $u_k=f(k), v_k=g(k), w_k=h(k)$.
Ovatko diskreetit signaalit $(u_k), (v_k), (w_k)$ v�ltt�m�tt� {\tt LRT}?

\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}


\begin{enumerate}



\item %1
Olkoon ${\cal B} = \lbrace 1,\cos t,\ldots, \cos^6 t \rbrace$ ja 
${\cal C} = \lbrace 1,\cos t,\ldots,\cos 6 t \rbrace$.

Suorita Maple-komennot:
\begin{verbatim}
> cos(2*t): %=expand(%);
...
> cos(6*t): %=expand(%);
\end{verbatim}

Olkoon $H=$ sp(${\cal B}$). Osoita, ett� ${\cal B}$ on $H$:n kanta.
(T�m� on miltei pelkk� toteamus, seh�n palautuu monomien {\tt LRT}-
ominaisuuteen.)
Varsinainen teht�v�:

Kirjoita ${\cal C}$:n vektorien ${\cal B}$-koordinaattivektorit
(k�ytt�en hyv�ksi edell� viitatun Maple-istunnon tuloksia)
ja osoita niiden avulla, ett� ${\cal C}$ on {\tt LRT} ja siis 
$H$:n kanta.

\item %2, Lay s. 277 teht. 17
Olkoon ${\cal B} = \lbrace 1,\cos t,\ldots, \cos^6 t \rbrace
= \lbrace \V{x_0},\ldots, \V{x_6} \rbrace$ ja 
${\cal C} = \lbrace 1,\cos t,\ldots,\cos 6 t \rbrace
= \lbrace \V{y_0},\ldots, \V{y_6} \rbrace$, kuten edell�.

Edell� osoitettiin, ett� my�s  ${\cal C}$ on avaruuden
$H=$sp$\lbrace \V{x_0},\ldots, \V{x_6} \rbrace$ kanta.

(a) Muodosta
$P=\begin{bmatrix} 

\left[ \V{y_0}\right]_\mathcal{B}&|& \ldots &|& 
\left[ \V{y_6}\right]_\mathcal{B}

\end{bmatrix}$, ja laske $P^{-1}.$

(b) Selit�, miksi $P^{-1}$:n sarakkeet ovat vektorien  
$\V{x_0},\ldots, \V{x_6}$
${\cal C}$-koordinaattivektoreita.\\
Kirjoita sitten trigonometrisi� kaavoja, joilla $\cos t$:n potensseja
voidaan lausua moninkertaisten kulmien kosinien avulla.
Esimerkkin� sopivasta kaavasta olkoon:
$5 \cos^3 t - 6 \cos^4 t + 5 \cos^5 t - 12 \cos^6 t$.

T�llainen esitysmuoto on mm. integroinnin kannalta erityisen hy�dyllinen,
kuten varmasti tied�t.
 
%\item %Lay s. 277 teht. 18  % ehk�, tai sis�llyt� edelliseen tai ei.

\item %3
Lineaarikuvauksen $T:U\mapsto V$ nulliteetti $\nu(T)$ ja rangi $r(T)$
m��ritell��n [TE]:ss� s. 18.

Olkoon $A=\lbrack T \rbrack_{\mathcal{B}_U,\mathcal{B}_V}$ $T$:n 
esitysmatriisi joidenkin kantojen $\mathcal{B}_U$ ja $\mathcal{B}_V$
suhteen.
Osoita, ett� esitysmatriisin $A$ nulliteetti $\nu(A)$ (olemme k�ytt�neet
my�s merkint�� $n(A)$) ja rangi $r(A)$ yhtyv�t vastaaviin $T$:n
tunnuslukuihin. 


\item %5
Opiskelija ottaa lainaa $10 000$ \EUR\/ hetkell� $k=0$ ja ryhtyy maksamaan 
sit� takaisin kuukauden p��st� hetkell� $k=1$. Kuukausikorko on $1$\%
(huh!) ja takaisinmaksu tapahtuu kiintein maksuerin $450$ \EUR/kk.

Olkoon $y_k$ $k$:n kuukauden kuluttua j�ljell� olevan velan m��r�.
Kirjoita differenssiyht�l� $y_k$:lle.

Muodosta taulukko ja graafinen esitys, jossa on pisteet $(k, y_k)$,
ja selvit� sen perusteella, miten kauan velan maksu kest�� ja
miten paljon rahaa opiskelijaparka k�ytt�� koko projektiin.

\item %6
M��rit� differenssiyht�l�n (HY) 
$$y_{k+2}-7y_{k+1}+12y_{k}=0$$

ratkaisuavaruuden kanta.
(K�sinlasku)

\end{enumerate}
\end{document}



$P=\left [ \left[ \V{y_0}\right] \ldots \left[ \V{y_6}\right]
 \right ]$


