\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{2}{39}{24 -- 27.9.2001}


Luentoaiheita: {\tt L2.html ...}.


\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}

\item %1
(a) Osoita, että funktiot $f_1(t)=\cos t$, $f_2(t)=\sin t$ ja 
$f_3(t)=\cos(t+\frac{\pi}{3})$ ovat $LRV$ ${\cal C}$:ssä.
\footnote{${\cal C}=\lbrace$jatkuvat funktiot $\R$:ssä$\rbrace$}


(b) Osoita, että funktiot $\cos 3t, \sin 3t, t\cos 3t, t \sin 3t$
ovat LRT ${\cal C}$:ssä.

\item %1
Olkoon $V$ vektoriavaruus (VA) ja olkoot $W_1$ ja $W_2$ sen aliavaruuksia (AA).
Mitkä seuraavista joukoista ovat $V$:n aliavaruuksia ja mikä ei.
(a) $W_1\cap W_2$, \quad b) $W_1 \cup W_2$, \quad 
(c) $W_1+W_2 = \lbrace u+v | u\in W_1, v\in W_2 \rbrace$

Esitä todistus tai vastaesimerkki ja havainnollistus $\R^3$:ssa.

\item %2

Olkoon annettu vektorijoukko $S=\lbrace \V{v_1},\V{v_2},\ldots,\V{v_p}\rbrace$
epätriviaalissa äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa $V$.


Selvitä perustellen, mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia ja mitkä epätosia:
\begin{enumerate}
\item
Kaikkien lineaarikombinaatioiden muodostama joukko on vektoriavaruus.
\item
Jos $\lbrace \V{v_1},\V{v_2},\ldots,\V{v_{p-1}}\rbrace$ virittää $V$:n,
niin S virittää $V$:n.
\item
Jos $\lbrace \V{v_1},\V{v_2},\ldots,\V{v_{p-1}}\rbrace$ on {\tt LRT},
niin S on {\tt LRT}.     .
\item
Jos S on {\tt LRT}, niin S on V:n kanta.
\item
Jos sp$(S)=V$ (eli jos S virittää V:n), niin jokin S:n osajoukko on V:n
kanta.
\item
Jos dim$(V)=p$ ja sp$(S)=V$, niin S ei voi olla {\tt LRV}.
\end{enumerate}

\item  % Lay s. 261 teht. 21, ratk. punainen mappi
Neljä ensimmäistä ns. {\em Hermiten} polynomia ovat: \\ $1,2t,-2+4t^2$ ja
$-12t+8t^3$.

Osoita, että ne muodostavat polynomiavaruuden ${\cal P}^3$ kannan.

%Vihje: Saat käyttää hyväksesi tietoa dim ${\cal P}^3 = 4 .$

\item % Lay s. 261 teht. 23
Olkoon ${\cal B}$ Hermiten polynomien muodostama ${\cal P}^3$:n kanta,
ja olkoon \\ $p(t)=7-12t-8t^2+12t^3$. Määritä $p$:n koordinaattivektori
kannan ${\cal B}$ suhteen, eli $[p]_B$

\item
(a) Olkoon $S$ n-ulotteisen vektoriavaruuden $V$ osajoukko, jossa
on vähemmän kuin $n$ vektoria. Selvitä, miksi $S$ ei voi virittää
$V$:tä.

(b) Olkoon $H$ n-ulotteisen avaruuden $V$ n-ulotteinen aliavaruus.
Osoita, että $H=V$.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

%Otetaan joitakin rivi/sarake/nolla-avaruuksia.
%Nyt ei enää jaksa jauhaa gaussin eliminaatiota käsin, jotan ref/rref %ovat hyviä.

Nyt emme enää harjoittele rivioperaatioilla laskemista, vaan kaikissa
on lupa käyttää {\tt ref/rref}-aliasoituja funktioita.


\begin{enumerate}

\item % 1 LAODE s. 217 teht. 11
% Vast. V-kirja s. 67: (2,0,0,-1,3),(0,2,0,1,-1), (0,0,2,1,3)
Määritä kanta $\R^5$:n aliavaruudelle, jonka virittävät vektorit
$\V{v_1}=(1,1,0,0,1)$, $\V{v_2}=(0,2,0,1,-1)$, 
$\V{v_3}=(0,-1,1,0,2)$, $\V{v_4}=(1,4,1,2,1)$, 
$\V{v_5}=(0,0,2,1,3)$.

"Vapaaehtoinen" pohdintaosa: Jos Aatu saa tulokseksi jotkin vektorit
ja Öhky saa jotkin toiset (saman määrän sentään toivottavasti),
niin miten selvität, kumpi on oikeassa vai kenties kumpikin.

\item %2
Olkoon $A=\left[ \begin {array}{ccccc} 5&1&2&2&0\\\noalign{\medskip}3&3&2&-1&-12\\\noalign{\medskip}8&4&4&-5&12\\\noalign{\medskip}2&1&1&0&-2
\end {array} \right] $, ja merkitään sarakevektoreita 
$\V{a_1},\ldots,\V{a_5}$.
Olkoon $B=\lbrack \V{a_1},\V{a_2},\V{a_4} \rbrack$.

(a) Selvitä, miksi $\V{a_3}$ ja $\V{a_5}$ kuuluvat B:n sarakeavaruuteen
col(B). \\
(b) Määritä nolla-avaruuden N(A) kanta. \\
(c) Olkoon $T:\R^5 \mapsto \R^4$ $A$:n määräämä lineaarikuvaus, ts.
$T \V{x} = A \V{x}$ (ts. $T = L_A$). Selvitä, miksi $T$ ei ole injektio
eikä surjektio.


\item %3
Olkoon $A=\left [\begin {array}{cccc} 1&3&-1&4\\\noalign{\medskip}2&1&5&7
\\\noalign{\medskip}3&4&4&11\end {array}\right ]$

(a) Määritä sarakeavaruuden kanta.\\
(b) Määritä riviaruuden kanta.\\
(c) Määritä nolla-avaruuden (ytimen) dimensio.\\
(d) Tarkista dimensioita koskevan peruslauseen toteutuminen.

\item %4
(a)
Olkoon $A$ $m\times n$-matriisi ja $Ab=\lbrack A \V{b} \rbrack$
liitännäismatriisi. Lausu (välttämätön ja riittävä) ehto rangien  $r(A)$ ja $r(Ab)$ avulla sille, että yhtälösysteemillä
$A x = b$ olisi ratkaisu(ja) (eli on konsistentti).

(b)
Osoita, että $m\times n$-matriisille $A$ pätee $r(A) + n(A^T) = m $ 


\item %5
(a)
Osoita, että monomit $1,x,x^2,\ldots,x^n$ ovat {\tt LRT} $\R$:ssä.
(b)
Osoita, että ne ovat {\tt LRT} myös jos määritelyjoukkona on mikä
tahansa väli $\lbrack a,b\rbrack$.

(Tietysti riittää tehdä pelkkä (b), niinhän.)

Tapoja on monia: (a)-kohdassa vektoriyhtälö voidaan derivoida
toistuvasti ja laskea $0$:ssa. Tai voidaan käyttää LRV-lemmaa
ja todeta raja-arvokäytöksen perusteella, että $x^k$ ei voi yhtyä
alemmanasteiseen polynomiin.

(b)-kohta hoituu ainakin polynomien tekijöihinjaolla (ei haittaa, vaikka tulee kompleksilukuja mukaan).
Eräs tapa olisi osoittaa, että ns. Vandermonden matriisi on
aina kääntyvä (sarakkeet LRT). 
(Toisaalta tämä tulee sivutuotteena, jos käytämme jotain muuta tapaa.)
Kyseessä on matriisi, joka saadaan, kun monomit $1,x,\ldots x^n$ lasketaan
$n+1$:ssä pisteessä $x_0,\ldots, x_n$ (Pisteet vaakasuuntaan, potenssit
pystysuuntaan.)
Maplen {\tt LinearAlgebra}:ssa on {\tt VandermondeMatrix} .

(c) Piirrä monomien kuvaajia vaikkapa välillä $\lbrack-1,1\rbrack$ ja yritä
nähdä kuvasta lineaarinen riippumattomuus. 
Piirrä monomeja isoilla peräkkäisillä parillisilla (tai parittomilla) 
$n$:n arvoilla ja totea "melkein LRV". 
Tämä ilmenee numeerisessa laskennassa esim. interpolaatiopolynomin tapauksessa "häiriöalttiutena".

\item %6
Matriisin N sarakkeet ovat koordinaatteja, jotka rajaavat ison $N$-kirjaimen.

$N=\left[ \begin {array}{cccccccc} 0& 0.5& 0.5&6&6& 5.5& 5.5&0\\\noalign{\medskip}0&0& 6.42&0&8&8& 1.58&8\end {array} \right]
$
 
Piirrä ensin tuo N.

Sovella N:ään lineaarikuvausta, jonka matriisi on
$A= \left[ \begin {array}{cc} 1& 0.25\\\noalign{\medskip}0&1\end {array}
 \right] 
$. Tämä on tyyppiä "leikkaus", "shear". Piirrä tulos.

Skaalaa sen jälkeen x-koordinaatit kertomalla luvulla $0.75$ ja piirrä
taas.

Vapaaehtoinen lisäys. Pyörittele N:ää "keskipisteen" ympäri 
siirtämällä keskipiste ensin O:oon ja kertomalla sopivalla kiertomatriisilla ja siirtämällä lopuksi takaisin.


Ohje piirtoon:
\verb_ > convert(Transpose(N),listlist); plot(%); _




\end{enumerate}
\end{document}


\item %4
Olkoon A $7 \times 5$ matriisi, jonka rangi $r(A)=r$.

(a) Millä A:ta ja b:tä koskevalla ehdolla yhtälösysteemillä 
$A x = b$ on ratkaisu(ja). (Älä viittaa ref:llä muunnettuun dataan.)\\
(b) 


\item %3
Olkoon $A$ $m\times n$-matriisi ja $Ab=\lbrack A \V{b} \rbrack$
liitännäismatriisi. Lausu (välttämätön ja riittävä) ehto rangien  $r(A)$ ja $r(Ab)$ avulla sille, että yhtälösysteemillä
$A x = b$ olisi ratkaisu(ja) (eli on konsistentti).

\item %4
Osoita, että $m\times n$-matriisille $A$ pätee $r(A) + n(A^T) = m $

\item %4
Olkoon A $7 \times 5$ matriisi, jonka rangi $r(A)=r$.

(a) Millä A:ta ja b:tä koskevalla ehdolla yhtälösysteemillä 
$A x = b$ on ratkaisu(ja). (Älä viittaa ref:llä muunnettuun dataan.)\\
(b) 
