\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\huom{{\bf Huom!}}


\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{12}{48}{2 -- 5.12.2002}

Lähteitä: \\
{\tt KRE Ch 10, 11.1-11.3, L/L17four.mws ja .html, L18* (ehkä)}

Pidetään normaalisti tiistain harjoitus ja lisäksi to 12-14 
jäähyväisharjoitus,
jossa esitellään malliratkaisuja, vastaillaan kysymyksiin, ja tehdään 
yhteenvetoa
3. välikoealueen asioista. Samassa tilaisuudessa tarjoillaan 
www-palautelomaketta käyttöön.

Ylimääräinen neuvontaharjoitus: 
Jos halukkuutta on, voitte kokoontua ke 4.12. luentoaikaan, sanotaan
nyt 8.20 -- 10 luentosaliin
yhdessä työskentelemään. Olen työhuoneessani (U 328), josta minut voi 
tarpeen mukaan hakea paikalle selittämään.

{\bf Aaltoyhtälö:}

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$


\subsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}



\item %1
Osoita, että (reaali)funktion $f$ kompleksimuotoisen Fourier-sarjan kertoimet
ovat reaaliset, jos $f$ on parillinen ja puhtaasti imaginaariset, jos $f$ on
pariton.



\item %2
Olkoon värähtelevän kielen pituus $L=\pi$ pituusyksikköä, ja olkoon aaltoyhtälön
vakiokerroin $c^2 = 1$. 

Määritä ratkaisu, jonka alkunopeus $= 0$ ja alkupoikkeama 
$u(x,0) = k \sin x - \frac{1}{2}\sin 2 x .$

Huom 1. Johda muuttujanerottelulla, aläkä sijoita suoraan valmiiseen kaavaan.
 
Huom 2. Älä tee väkisin sarjaa, jos sattumoisin selviäisit äärellisellä 
summalla.


\item %3
Olkoon värähtelevän kielen pituus $L$, ja olkoon aaltoyhtälön $c$ mukana 
ihan $c$:nä.
Johda ratkaisu $u(x,t)$, kun alkunopeus $=0$ ja alkupoikkema $u(x,0)=x(L-x)$

Suositus: Käy taas muuttujanerottelu läpi.
Jos tarvitset integrointiapua Maplelta, niin se käy hyvin tekstitilassakin
modeemiyhteydellä.



%$u(x,0)=$
%$$u(x,0)=\begin{cases}
%x, 0 \leq x \leq L/2 \\ 
%L-x, L\2 \leq x \leq L .
%\end{cases} $$


\item %4
Kirjoita edellisen tehtävän ratkaisu muotoon
$u(x,t)=f^*(x-c t) + f^*(x+c t),$ missä $f^*$ on alkuehtofunktion $f(x) = u(x,0)$
pariton $2 L$- jaksoinen laajennus.

Ohje: Käytä tuttuja trigonometrisia kaavoja 

\end{enumerate}

\subsection*{Loppuviikko (LV)}



\begin{enumerate}

\item % 1
Esittele AV-tehtävään 3 liityviä ominaisfunktiota (normaalimoodeja), havainnollista
piirroksin ja mahdollisuuksien mukaan Maple-kuvin, ja mielellään myös animaatioin.

Mahdollista on myös visualisoida tehtävän AV 4 esitystavan mukaisena kahden vastakkaisiin
suuntiin liikkuvan aaltorintaman yhdistelmänä.
Taustaksi: KRE s. 590 ja 593.

Huom! Jos et pääse Maplen ääreen, niin liitutaululle voit hyvin myös piirrellä.

\item
Mahdolliset "ylivuodot" aiemmista harjoituksista.

\item
Malliratkaisujen esittelyä, kysymyksiä, keskustelus, yhteenvetoa 3. välikokeen asioista,

\item Kurssin www-palautelomakkeen täyttämistä.

 




\end{enumerate}

\subsection*{Fourier-kaavoja}


\subsubsection*{Yleinen tapaus, $f$ määritelty välillä $(-L,L)$}
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}$ \rv
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\ \
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx$


{\bf Hyvää joulua ja elämää V3:n jälkeen! }

t. {\it Heikki}


\end{document}







\item %3
%s. 472 Jokin tyyppi\"a:
%teht. 4
%Piirr\"a annetun jaksollisen funktion $f$ kuvaaja (muutaman jakson alueella)
Olkoon $f(t)=t, \ \ t\in (-\pi,\pi],\ \ f(t+2\pi)=f(t) .$
Tee tälle samat asiat kuin 1)-tehtävässä pyydettiin kanttiaallolle.

Selvitä, missä pisteissä sarja suppenee ja missä se ei suppene kohti kyseistä
funktion arvoa. Mitä arvoa kohti sarja näissä ``ei-pisteissä'' suppenee?

%Piirrä jaksollinen laajennus ja osasummafunktioiden kuvaajia.
Vrt. Exa 4.1 s. 287


\item %4
Muodosta funktion $f(t)=t^2/4,\ \ t\in (-\pi,\pi) $ Fourier-sarja
ja johda sen avulla sarjaesitykset:

%a) ${{\pi} \over {4}}=\sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n+1}}\over{2n-1}}=
%1-1/3 + 1/5 - ... $

a) ${{\pi^2} \over {6}}=\sum_{n=1}^\infty {{1}\over{n^2}}$

b) ${{\pi^{2}} \over {12}}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}{{1}\over{n^2}}$

Perustele sarjojen suppeneminen Fourier-sarjojen suppenemislauseen avulla.
(Tämä jo keroo, että mistään turhasta lauseesta ei ole kyse, ei sarjojen
summien kaavoja yleensä noin vain johdeta!)

%\item 
%Tee Maple-työ, jossa käyt läpi Exa 4.3:n s. 291-293.
%Piirrä jaks. laaj. ja osasummia.


%\item 
%Tee edellistä vastaava tehtävä funktiolle $f(x)=\begin{cases}
%         100, \ \ -4 < x < -2 \\
%         0, \ \ -2 \le x \le 4 \end{cases}$,
%$f(x+8)=f(x)$.

%teht. 8 even and odd parts ?

%\item
%Muodosta puoliaaltotasasuunnatun siniaallon Fourier-sarja, kts. tarkemmin
%teht. 11 s. 308

\item %5
Tutki {\em Gibbsin ilmiötä} muodostamalla vaikkapa kanttiaallon tms. Fourier-
sarja ja piirtämällä sopivasti valittuja osasummia. 
Älä täytä kuvaasi Fourier-summilla, vaan piirrä mieluummin harvoja,
mutta valittuja (suuria) osasummia. Tarkkaile myös maksimipisteen siirtymistä
hyppypistettä kohti.
Vahvista kokeellisesti tuo 
väite n. 9\%:n "yli/ali-ampumisesta".

\item %6
{\bf Jaksollinen ei-sinimuotoinen heräte.} Opiskele KRE-kirjan esimerkki 
EXA 1 s. 551 ja suorita laskut ja piirrä kuvat Maplella.
Tee periaate itsellesi (ja muille) selväksi.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item
Muodosta puoliaaltotasasuunnatun sinikäyrän kompleksimuotoinen Fourier-sarja
ja piirrä amplitudi- ja vaihekulmaspektrit.
Spektrien piirtoon on hyvät välineet työarkilla {\tt fourier.mws}.
Hyödyllistä luettavaa tähän on GLJ-kirjassa 4.6.3 
"Discrete frecuency spectra" ss. 338 -- 342.


\item 
Käy läpi Exa 4.17 ss. 326 -- 328. Tietysti Maplea ja kynä/paperi-yhdistelmää
sopivasti käyttäen. Toinen voisi keskittyä enemmän siirtofunktiotapaan ja
toinen klassiseen sarjayritteeseen.

\item
Määritä tasapainotilaratkaisu ("steady state") värähtelysysteemille
 $m x'' + c x' + kx = r(t)$, missä $m=1, c=0.02, k=25$,
 ja $r(t)=\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
                                      -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi 
\end{cases},\ \ r(t+2\pi)=r(t)$ .

riittää tehdä vaikkapa vain "klassiseen" tyyliin (kuten luennolla).

Tutki lisäksi, miten vasteen amplitudit käyttäytyvät, jos jousivakio pienenee
aina arvoon $k=9$ ja toisaalta, jos jousta jäykistetään arvoon $k=49$ saakka.

\item 
Ratkaise AA-teht\"av\"a $x''+2x=r,\ \ x(0)=x'(0)=0$,miss\"a $r(t)$ on $2\pi$-
jaksoinen neli\"oaalto: $$r(t)=\begin{cases}-1,  0 < t < \pi \\
                                   1, \pi < t < 2\pi \end{cases}.$$
Suorita ratkaisu seuraavilla kahdella eri tavalla:
\kohta{a}{Muodosta herätefunktio vaikkapa 3:n jakson alueella ja
ratkaise yhtälö Laplace-muunnoksella. Saat käyttää \maple-funktiota
{\tt dsolve(...,method=laplace);}.

      }

\kohta{b}{
Kehitä $r(t)$ Fourier-sinisarjaksi ja käytä osasummaa $S_7$ 
(eli mukana ovat termit $\sin 7t$-termiin saakka.) oikean herätteen
approksimointiin.
   }

\kohta{c}{
Vertaa molemmilla menetelmillä saamiasi tuloksia, esitä graafisesti
ja katso, miten tarkkuus paranee, kun otat korkeamman asteisia Fourier-
osasummia.
     }
\huom Hyödynnä tietysti ennen mainittua {\tt PeriodicExtender} (alias
 JJ) -funktiota.



%\end{enumerate}

%\end{document}




\item
s. 476 teht. 27: half and quarter range ext.  Puolen ja nelj\"annesjakson
laajennukset.

Muodosta funktion $f(x)=100, \ \ x\in [0,l]$ puolen jakson sek\"a my\"os 
nelj\"annesjakson sini- ja 
kosinisarjat. Piirr\"a kyseisten jaksollisten laajennusten kuvaajat muutaman
jakson alueelta.

\item
Tee edellist\"a vastaava funktiolle $f(x)=x, \ \ x\in [0,l]$. Piirr\"a kaikki
neljä kuvaajaa, sarjoista tarvitsee muodostaa vain puolen jakson sini ja
nelj\"annesjakson kosini.

\item
teht. 28  s. 477
Jokin kohta: Lasketaan konkreettinen laajennus

\item
s. 482 teht. 3:
Olkoon $f$  $2\pi$-jaksoinen, $f(x)=x$ v\"alill\"a $[-\pi,\pi]$.

a) Piirr\"a $f$:n ja integraalifunktion $F(x)=\int_{-\pi}^x f(t) dt$
kuvaaja.

b) Kehitä $f$ Fourier-sarjaksi, tavoitteena tulos:
$x=2 \sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n-1} }\over{n}}\sin nx, \ \ x\in(-\pi,\pi) $.
%Osoita kehitt\"am\"all\"a t\"am\"a Fourier-sarjaksi, ett\"a
%$$x=2\sum...$$.

Osoita sarjan termeittäistä integrointia koskevan lauseen Gree s. 479 Thm. 2 
avulla, ett\"a mainittu operaatio %sarjan termeitt\"ainen integrointi
on luvallinen ja johda integroimalla sarjaesitys funktiolle $x^2$ v\"alill\"a
$[-\pi,\pi]$.

\item 
Kr 7: s. 594 ch 10.7
Määritä yleinen ratkaisu vaimentamatonta värähtelyä kuvaavalle yhtälölle

$y'' + \omega^2 y = \cos \alpha t + \cos \beta t \ \ (\omega^2\ne \alpha^2,
\beta^2$).


Muodosta funktion $f(x)=x^2,\ \ x\in (-\pi,\pi) $ Fourier-sarja
ja laske sen avulla
sarjojen 

$\sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n}}\over{n^2}}$ ja
$\sum_{n=1}^\infty {{1}\over{n^2}}$

summat. 

Perustele Fourier-sarjojen suppenemislauseen avulla, miksi
suppeneminen tapahtuu ao. arvoja kohti.

Huom! Alkuosan voit halutessasi laskea integroimalla sopivaa, helpommin
laskettavaa 
sarjaa.


\item
Muodosta funktion $f(x)=x^2,\ \ x\in (-\pi,\pi) $ 
Fourier-sarja seuraavasti:

Laske ensin funktion $f(t)=t, \ \ t\in (-\pi,\pi)$
sinisarja ja sovella siihen termeittäistä integrointia (integroimalla
ao. yht\"al\"o puolittain vaikkapa v\"alill\"a $t=0..x$).
Saat pit\"a\"a tunnettuna summaa:
$\sum_{n=1}^\infty {\frac{1}{n^2}}={\frac{\pi^2}{6}}$


\end{enumerate}


\subsection*{Fourier-kaavoja ja lauseita}

{\bf Suppenemislause}. Olkoon $f$ jaksollinen funktio, jaksona $T$.
Oletetaan, että $f$ on paloittain jatkuva ja että sillä on kaikkialla
sekä vasemman että oikeanpuoliset derivaatat. 
Tällöin f:n Fourier-sarja suppenee kaikissa pisteissä $t$ kohti arvoa
$\frac{1}{2}(f(t-)+f(t))$. Siten kaikissa pisteissä $t$, joissa $f$ on
jatkuva, sarja suppenee kohti funktion arvoa $f(t)$.

{\bf Huom 1} Vasemmanpuolinen derivaatta tarkoittaa tässä yhteydessä 
erotusosamäärän
vasemmanpuolista raja-arvoa, kun laskentapisteenä on funktion vasemmanpuolinen
raja-arvo. Oikeanpuolinen vastaavasti.
Niinpä esim. Heavisiden funktiolla on origossa vp. ja op. derivaatta
tässä mielessä $=0$. "Normaalin" puhetavan mukaan funktio olisi siten
derivoituva ja erityisesti jatkuva 0:ssa, mikä viimeistään paljastaa, että
puhetapamme on normaalista poikkeava.

{\bf Huom 2} Muitakin riittäviä ehtoja tunnetaan. Välttämättömia ja
riittäviä ei tunneta.


\subsubsection*{Yleinen tapaus, $f$ määritelty välillä $(-L,L)$}
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}$ \rv
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\ \
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx$

\subsubsection*{Puolen jakson laajennukset,$f$ määritelty välillä $(0,L)$}

\paragraph*{Sinisarja}

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
b_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HS_1, HS_2) $$

\paragraph*{Kosinisarja}

$$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
a_0={\frac{1}{L}}\int_0^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HC_1 - HC_3) $$

%\subsection*{Integraalikaavoja}

$$\int \!x\sin(px){dx}={\frac {\sin(px)-px\cos(px)}{{p}^{2}}}$$
$$\int \!x\cos(px){dx}={\frac {\cos(px)+px\sin(px)}{{p}^{2}}}$$

\subsection*{Trigonometrian kaavoja}

$\sin(\alpha\pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha\pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\sin ix = i \sinh x, \ \ \cos ix = \cosh x$


%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}

\item {\bf K 2p}
\kohta{a}{
Muodosta Heavisiden funktion $u(t-a)$ Fourier-sarja välillä $[-L,L]$,
kun $a\in [-L,L]$.
        }
\kohta{b}{
Osoita, että funktioiden $f$ ja $g$ lineaarikombinaation Fourier-
kertoimet ovat vastaavien Fourier-kertoimien lineaarikombiaatioita.
       }
\kohta{c}{
Muodosta a)- ja b)-kohtien avulla funktion 
$$f(x)=\begin{cases}
     1,  x\in [0,1] \vee x\in [2,3] \\
     0,   x\in [1,2] \end{cases}$$
parillisen laajennuksen Fourier-sarja.

       }

\item{\bf K 3p.} %4-5
Tarkastellaan vaimennettua värähtelyä kuvaavaa yhtälöä

$my''+cy'+ky=r(t)$.

Olkoon $m=1, c=0.02, k=25$ ja $$r(t)=
\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
             -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi  \end{cases},\ \ 
r(t+2\pi)=r(t)$$ .

Määritä ``pitkän aikavälin'' (``steady state'') ratkaisu $y(t)$.
(T\"ast\"a on homogeeniosan (ja siten alkuehtojen) vaikutus vaimentunut
pois.)

Periaate: Kehitet\"a\"an $r(t)$ Fourier-sarjaksi. Etsit\"a\"an kutakin sarjan
termi\"a vastaten erityisratkaisua $y_n$ muodossa $y_n=A_n\cos nt+
B_n\sin nt$. Lineaarisuuden perusteella (jos sarjan termeitt\"ain 
derivoiminen
on sallittua) p\"a\"atell\"a\"an, ett\"a $\sum y_n$ on koko yht\"al\"on ratkaisu.

Laske ainakin 5 termi\"a ratkaisusarjasta ja piirr\"a niiden summa sek\"a 
termit erikseen. Jokin niist\"a on dominoiva, identifioi se. Piirr\"a
samaan kuvaan her\"ate $r(t)$ ja "steady state" ratkaisu v\"alill\"a 
$[0,4\pi]$.

Tutki, mitä tapahtuu, jos jousivakiolle annetaan arvo $k=9$ sekä toisaalta
jäykän jousen, vaikkapa $k=49$ tapauksessa. Entä, jos vaimennusta lisätään?

\huom Tässä voit käyttää apuna KRE-kirjan ss. 592--593 esitystä.
Kirjoita \maple-työarkki, jossa teet KRE-esimerkin asiat \maple:n avulla.
Loppukysymykset ovat vasta ``omaa lisäpanostusta''.

\item {\bf K 2p.}
Muodosta $L_2$-approksimaatiot funktioille a) $f(x)=|x|$, b) $f(x)=x$
ja c) $f(x)=x^2$ , kuten AV-teht. 1 (D). Ota ainakin $N=1,2,3,4,5$.
Piirrä kuvat ja pane merkille, miten approksimaation tarkkuus eroaa
jatkuvissa tapauksissa (a, c) verrattuna epäjatkuvaan (b).

\end{enumerate}



\end{document}






\end{enumerate}

\end{document}
