\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
%\usepackage{c:\\usr\\heikki\\tex\\v3harj}
%\usepackage[dvips]{epsfig}
%\usepackage{marvosym} % eurot mukaan!
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
%\def\abs#1{\vert #1\vert}      
%\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
%\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
%\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
%\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
%\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
%\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{10}{46}{19--22.11.2002}

Kirjallisuus: KRE Ch 5 ``Laplace Transforms''\\
Linkkej�: {\tt L/L14maple.mws ja .html, L/L14.html}

\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}


\item %1
Ratkaise Laplace-muunnoksen avulla AA-teht�v� \\ $y''+4y'+13y=20 e^{-t},\ \ y(0)=1, y'(0)=3.$

Opastusta k��nteismuunnokseen: Osamurtohajotelman kvadraattinen osa kannattaa 
t�ydent�� neli�ksi, jolloin
p��st��n s-siirtolauseen avulla k�siksi tuttuihin muunnoksiin. 

Vast: $y(t)=2 e^{-t} - e^{-2t}\cos 3t +  e^{-2t}\sin 3t$





\item %2
Piirr� seuraavien funktioiden kuvaajat ja m��rit� niiden Laplace-muunnnokset,
miss� $u(t)$ tarkoittaa {\it Heavisiden funktiota}:

(a) $f(t)=tu(t)$,\quad (b)$ f(t)= (t-1)u(t-1)$, \quad c) $f(t)=4u(t-1)\cos t$ .


\item %3
M��rit� seuraavat k��nteismuunnokset:

(a) $F(s)=\frac{4(e^{-2s}-2e^{-5s})}{s}$, \quad (b) $\frac{e^{-3s}}{(s-1)^3}$,
\quad (c) $\frac{s e^{-2s}}{s^2+\pi^2}$.

\item %4
Ratkaise alkuarvoteht�v� $y'' + 2 y' = u(t-1), \ \ y(0)=0,  y'(0)=1 .$

($u$ on j�lleen yksikk�askel-  eli {\em Heavisiden funktio}.)
%jota siis usein merkit��n my�s $u$:lla.
%$u(t)=\begin{cases} 0, t < 0 \\
%                           1, t > 0
%      \end{cases}$

Vast: $x(t)=-1/2\,{e^{-2\,t}}+1/2+u(t-1)\left (1/2\,t-3/4+1/4\,{e^{-2\,t+2}}
\right )$

%Laske k�sin, tarvittaessa Maplea rutiinilaskuissa (osamurto ym.) hy�dynt�en.
%Kiinnit� erityist� huomiota siirtolauseiden (``s-shift. t-shift'') k�ytt��n.

%Lopuksi voit ajaa Maplella vaikkapa [HAM]-esimerkin tapaan (saattaapa
%l�yty� jopa aivan sama esimerkki).

%Piirr� samaan kuvaan her�te ja vaste (eli sy�te ja tulos).



\item %5
Osoita, ett� funktio $f(t)=\begin{cases}
0, \ \ \textrm{kun} \ \ 0  \leq t < \frac{\pi}{2} \\
\sin t,\ \ \textrm{kun} \ \ t \ge \frac{\pi}{2}
\end{cases}
$
voidaan esitt�� muodossa $f(t)=\cos(t-\frac{\pi}{2})u(t-\frac{\pi}{2}).$

Ratkaise sitten AA-teht�v�:

$y''+3 y' + 2 y = f(t),\ \ y(0)=1, y'(0)=-1.$

%Lausu kuvan 1 kuvien esitt�m�t funktiot Heavisiden funktioiden 
%$H$ ($u$) yhdistelmin�
%ja tarkista tulokset piirt�m�ll�.\\
%Suorita my�s \verb_ convert(lauseke,piecewise);_ ja kokeile my�s
%k��nteist�: \verb_ convert(palalauseke,Heaviside);_
%({\tt piecewise}, kts. HAM s. 63 tai {\tt ?piecewise})
%Mieti lopuksi Matlab-lauseke, jolla saat m��ritellyksi Heavisiden funktion.
%(Kolme ASCII-merkki� riitt��, jos muuttujasi on yhden merkin mittainen)



%\begin{figure}
%  \begin{center}
%    \leavevmode
%     \epsfig{file=/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/300/H/kuvat/h6kuva1.eps, height=7cm, width=7cm}
%     \caption{}
%  \end{center}
%\end{figure}

\item %6
Oheisen virtapiirin komponenteilla ja sy�tt�j�nnitteell� on arvot:
$C=50 \mu F$, $L=2 H$, $R=100 \Omega$, $e(t)=50\sin 100 t$ (V).
Kytkin suljetaan hetkell� $t=0$, jolloin $i_1(0)=0, i_2(0)=0$.

Kirjoita diffyht�l�systeemi ja laske virtojen 
Laplace-muunnokset $I_1(s)$ ja $I_2(s)$.

J�tet��n loppuosa loppuviikoksi.


\begin{verbatim}
                     
                /    C  i1(t)   i2(t)
             --/ ----||-->-------->--------
             |  K           |             | 
             |              S             <
             o              S             >
         e(t)               S  L          <  R
             o              S             >
             |              S             <
             |              |             |
             ------------------------------
\end{verbatim}

(T�ss� siis {\tt(SSSSSSS)}$^T$ kuvaa kelaa (k��mi�), eli induktanssia.)




\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}


\begin{enumerate}






%\footnote{Diracin deltan L-muunnos: $L\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$}


\item %1
Suorita AV-virtapiiriteht�v� loppuun.
Laske siis k��nteismuuntamalla
virrat $i_1(t)$ ja $i_2(t)$. Piirr� virtojen kuvaajat ja selvit�, miten
ne k�ytt�ytyv�t suurilla $t$:n arvoilla.

\item %2
Kolmen jousen ($k_1,k_2,k_3$) ja kahden massam�hk�leen $m_1, m_2$ muodostama mekaaninen
systeemi:
\begin{verbatim}
                       0              0
                       |--> y1        |--> y2
             k1        |       k2     |        k3
                    _____           ______
         |-/\/\/\/\-| m1 |-/\/\/\/\-| m2 | -/\/\/\/\-|        
         |          |____|          |____|           |          
         |____________O_O_____________O_O____________|                 
         
\end{verbatim}

toteuttaa diffyht�l�systeemin (tee itsellesi selv�ksi):

$$
\begin{cases}
 m_1 y_1'' = -k_1 y_1 +k_2(y_2 - y_1) \\
 m_2 y_2'' = -k_2(y_2 - y_1) - k_3 y_2,
\end{cases}
$$

miss� $y_1(t)$ ja $y_2(t)$ edustavat ao. massan poikkeamaa sen tasapainoasemasta
(Vaimentamaton tapaus).

Olkoon vakioilla lukuarvot 
$m_1=m_2=10$, $k_1=k_2=20, k_3=40$.
(yksik�t sopivia yhdistelmi� n�ist�: kg, m, s)

M��rit� ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot $y_1(0)=0, y_2(0)=0, y_1'(0)=1, y_2'(0)=-1.$

Piirr� ratkaisufunktiot. (Ja voithan tehd� jousien ja massojen liikett� kuvaavan 
animaation, mutta se on ylim��r�ist� harrastusta.)


\item %3
Ratkaise vaimennettu v\"ar\"ahtelyteht\"av\"a:
$$y''+2y'+y=\delta(t)-u(t-2\pi), y(0)=0,y'(0)=0 .$$
T\"ass\"a her\"atteen\"a (ulkoisena voimana) on impulssi (vasaranisku)
hetkell\"a $t=0$ ja vakiovoima $-1$ ajanhetkest\"a $t=2\pi$ alkaen.
Piirr\"a ratkaisufunktio vaikkapa v\"alill\"a $\lbrack 0,25 \rbrack$.


\item %4

M\"a\"arit\"a konvoluutiolauseen ${\it L}(f*g)=(Lf)(Lg)$ avulla 
 seuraavien 
funktioiden Laplace-k\"a\"anteismuunnokset:

{\bf a)} ${\frac{1}{(s-a)^2}}$ \qquad {\bf b)} ${\frac{1}{s^2(s^2+\omega^2)}}$ 
\qquad {\bf c)} ${\frac{s}{(s^2+\omega^2)^2}}$

\item %5
Johda konvoluutiolusetta apuna k�ytt�en yleinen kaava vaimentamattoman
v�r�htelyteht�v�n
$y'' + \omega^2 y = r(t), \ \ y(0)=y_0, y'(0)=v_0$.

ratkaisulle.

Vast:
$y(t)=\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)*r(t)+y_0\cos \omega t + 
\frac{v_0}{\omega}\sin \omega t .$

(T�hti ($*$) tarkoittaa konvoluutiota.)


\item %6
Tarkastele massa-jousisysteemin vastetta neli�aaltoon $r(t)=u(t-1)-u(t-2)$,
kun systeemi� kuvaa diffyht�l� 

$y'' + 3 y' + 2 y = r(t), $ ja olkoot alkuehdot $y(0)=0, y'(0)=0$.

(a)
Ratkaise systeemi, voit ratkaisusi tueksi ottaa 
{\sc KRE}-kirjan esimerkin {\sc EXAMPLE 4} ss. 271--273.
%(T�m� kohta on l�hinn� luetun ymm�rt�miskoe.)
Voit k�ytt�� Maplea, kunhan ymm�rr�t kaikki vaiheet.

(b) 
Ota $r(t)$:ksi $h$:n levyinen yksikk�pulssi, v�lill� $\lbrack 1,1+h \rbrack$ (siis pinta-
ala $=1$), ja ratkaise esim. arvoilla $h=0.5,0.2,0.1$.
Piirr� her�te ja vaste.

(c) 
Ota $r(t)=\delta(t-1)$ (Diracin $\delta$), piirr� vaste ja vertaa (b)-kohdan kuviin.
(�l� yrit� piirt�� her�tett�.)


\end{enumerate}


%%% Liitet��n tenttipaperiin tex/laplace.tex  %%%% 29.8.02 %%%


\subsection*{Laplace-muunnokset}


Alla oleva taulukko ja n�m� kaavat ovat 
koeteht�v�paperissa mukana.


\textbf{M��ritelm�: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikk�askelfunktio . \\
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
${\cal L}\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
{\cal L}(f*g)=({\cal L}f)({\cal L}g), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$

${\cal L}\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 {\cal L}\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
{\cal L}\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$

\vskip 0.25 cm

{\bf Laplace-taulukko}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $t^k$  & $e^{at}$ & $\cosh at$ &  $\sinh at$ &  
 $\cos \omega t$ & $\sin \omega t$  \\ \hline \hline

$F(s)$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$  & ${\frac{1}{s-a}}$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$
& ${\frac{a}{s^2-a^2}}$  & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ & 
${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

{\bf Laplace-muunnokset Maplella}. Maple soveltuu tietysti integrointiapualiseksi. Lis�ksi Maplessa on pakkaus {\tt inttrans}, joka ladataan komennolla
{\tt with(inttrans):}.
[HAM]-kirjassa on k�sitelty Laplace-muunnoksia ss. 181--185 (luku 10).
Peruskomennot ovat {\tt laplace(f,t,s);} ja {\tt invlaplace(F,s,t);}
(Mieti argumenttien j�rjestyksen logiikka, se on olennaisen t�rke� tietenkin.)


%% Liit� tenttipaperiin, jos tarpeen  tex/osamurto.tex %% 29.8.02

\subsection*{Osamurtokehitelm�t}

N�m� my�s koeteht�v�paperissa.

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, miss� $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
\\
1) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s-a$, otetaan kehitelm��n termi
${\frac{A}{s-a}}.$
\\
2) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s^2+b s+c$, tulee kehitelm��n termi
${\frac{Bs+C}{s^2+b s+c}}$, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.
\\
3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyv�t korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
${\frac{A_1}{s-a}}+{\frac{A_2}{(s-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(s-a)^r}}$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit
${\frac{B_1s+C_1}{s^2+b s+c}}+\hdots + \frac{B_rs+C_r}{(s^2+b s+c)^r}$

{\bf Osamurto Maplella}: {\tt convert(F,parfrac,s);}



\end{document}




\item
a) Mill� $p$:n arvoilla (jos mill��n) integraali $\int_0^\infty t^{-p}dt$
suppenee?

b) Osoita, ett� $\int_0^\infty t^\alpha e^{-t} dt$ suppenee, kun $\alpha > -1$.



\item
(a) Selvit� k�sinlasku-Maple-yhdistelm�ll�, miten Harj. 6 LV teht. 5:n
ratkaisu toimii.

(b)
Ratkaise sama teht�v� Laplace-muunnoksen avulla.


\item %1% GLJ s. 161 teht. 17 % vastauskirja s. 24
Ratkaise AA-teht�v� $x''+x'+x=g(t)$, $x(0)=1,\ \ x'(0)=0$, miss� \\
$g(t)=\begin{cases}
t, 0 \leq t < 1 \\
2-t, 1 < t < 2 \\
0, t >2
\end{cases}$

\item %2% GLJ s. 162 teht. 23, V s. 28
Jaksollinen funktio $f$, jakso$=4$, m��ritell��n v�lill� $[0,4)$ n�in:\\
$f(t)=\begin{cases}
3t, 0 \leq t < 2 \\
6, 2 \leq t < 4 
\end{cases}$.
Piirr� kuvaaja v�lill� $[0,12)$ ja m��rit� f:n Laplace-muunnos.

\item %3% GLJ s. 172 teht. 25 a,c, Vast: s. 29-30
M��rit� k��nteismuunnos, kun

a) $F(s)=\frac{2s^2+1}{(s+2)(s+3)}$ \quad 
b) $F(s)=\frac{s^2+2}{s^2+2s+5}$

\item %4% GLJ s. 172 teht. 27 a,c
M��rit� seuraavien funktioiden yleistetty derivaatta:\\
a) $f(t)=\begin{cases} 
3t^2, 0 \leq t < 4 \\
2t-3, 4 \leq t < 6 \\
t, t \ge 6
\end{cases}$ \quad
b) $g(t)=\begin{cases} 
t, 0 \leq t < 1 \\
2-t, 1 \leq t < 2 \\
0, t > 2 \\
\end{cases}$

%Harkitse!
\item
Sarjaan kytketyss� RLC- piiriss� on vastus $R=100 \Omega$, kondensaattori 
$C=10^{-4} F$ ja induktanssi
(kela) $L=2 H$. Alkutilassa kondensaattorin varaus ja virta ovat nollilla. 
Hetkell� $t=0$ piiriin synnytet��n impulsiivinen j�nnitepiikki $E\delta(t)$.
M��rit� kondensaattorin varaus $q(t)$ ja virta $i(t)$.


\item%6% 
Ratkaise vaimennettu v\"ar\"ahtelyteht\"av\"a:
$$x''+2x'+x=\delta(t)-H(t-2\pi), x(0)=0,x'(0)=0 .$$
T\"ass\"a her\"atteen\"a (ulkoisena voimana) on impulssi (vasaranisku)
hetkell\"a $t=0$ ja vakiovoima $-1$ ajanhetkest\"a $t=2\pi$ alkaen.
Piirr\"a ratkaisufunktio vaikkapa v\"alill\"a $\lbrack 0,25 \rbrack$.

Sama teht�v� on my�s LV-teht�v�n� (Maple), siin� yhteydess� sitten niit�
kuvia.

%\footnote{Diracin deltan L-muunnos: $L\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$}






\end{alku}




%\end{enumerate}


\subsection*{Loppuviikko}

\begin{loppu}
\item
AV-teht�v� 6 Maple-avusteisesti havainnollisine kuvineen.

\item
Johda diffyht�l�systeemi oheisen kuvan 
%~\ref{jouset} 
massa-jousisysteemille.
Voit olettaa: $x_1 > x_2 > x_3.$

\begin{figure}
  \begin{center}
    \leavevmode
     \epsfig{file=kuvat/harj6k2.eps, height=4cm, width=7.5cm}
     \caption{}
  \end{center}
\end{figure}


Ratkaise teht�v� Laplace-muunnostekniikalla tietenkin.

Massat ja jousivakio(t): $m_1=1, m_2=2, m_3=2, k=1$ \\
Alkuehdot:$x_1(0)=1, x_2(0)=2, x_3(0)=3, x_1'(0)=x_2'(0)=x_3'(0)=0 .$ \\
Ulkoinen voima (her�te): $f(t)=\cos \omega t$, olkoon $\omega=1 .$

Vihje: T�t� ei tarvitse kirjoittaa 1. kl. $6\times6$-systeemiksi vaan
voidaan hyvin k�sitell� 2. kl. $3\times 3$-systeemin�.
Kirjoita kukin yht�l� erikseen tyyliin
\begin{verbatim}
> dyht1:=diff(y1(t),t,t)=...);dyht2:=...;dyht3:=...;
\end{verbatim}
L-muunna ja ratkaise.

{\bf Huom:} Nimitt�j��n saat korkea-asteisen polynomin. Siihen kannattaa
kokeilla \verb_ factor- _ komentoa. Se ei auta pitk�lle, suorita
sitten \verb_ solve(denom(...)=0,s);_
Nimitt�j�n tekij�ihinjako ei onnistu kokonaislukukunnassa, mutta 
sopivassa laajennetussa lukujoukossa kyll�kin. Komento
\verb_ convert(laus,parfrac,s,sqrt(41));_ sis�lt�� nelj�nnen argumentin,
joksi kannattaa valita sopiva juurilauseke, ehk� tuo yll� oleva toimii.
(Se n�kyy \verb_ solve-_komennon tuloksesta.)
Kts. tarkemmin HAM s. 42

\item{\bf Projekti 1-2:lle, pisteit� 1-3}
L�hde: [Laode] ss. 586 -- 590.
\begin{enumerate}
\item
Tutustu Laode-kirjan ``Grand Finale''-esimerkkiin
$x''+4x'+5x=\delta_1(t)+2H_3(t)$, $x(0)=0, x'(0)=1 .$

(T�ss� merkit��n $H_c$:ll� GLJ:n $H(t-c)$:t� ja vastaavasti $\delta_c$:ll�
$\delta(t-c)$:t�.) 
Selvit� samassa yhteydess�
my�s, miten osamurtohajoitelmat voidaan tehd� Matlabilla. (funktio realform
t�ytyy kirjoittaa (=kopioida kirjasta) itse, se ei sis�lly Laode-
kokoelmaan.) Suorita toisaalta t�m� esimerkki Maplella. Kerro, mit�
ratkaisukuvasta n�kyy.

\item{Exe. 3. ss. 589 -- 590}
Ratkaise sama teht�v� Matlabin {\tt ode45}-funktiolla. T�ss� t�ytyy kirjoittaa
2. kertaluvun yht�l� 1. kertaluvun systeemiksi. Erityisen kiintoisa kohta
on {\em Diracin} $\delta$:n numeerinen approksimointi.
Kokeile siihen tyylin kuin ehdotetaan Laode:n s. 590 (mutta voit muutella
my�s siell� olevaa $h$-parametria.)
Tee pieni tutkielma siit�, miten $h$-parametrin ja toleranssin valinta
vaikuttaa tulokseen vertailtaessa analyyttisen ratkaisun kanssa.

\end{enumerate}

\item{Toinen projekti 1-2:lle (1-3 p.)}
S�ikyttelin luennolla, ett� jaksolliset saattavat olla vaikeita Laplace-
muunnoksella. T�ss� on hyv� tilaisuus opiskella ja kokeilla, miss� vaikeus
voi piill�, ja miten se voidaan voittaa (ainakin tietyiss� tapauksissa).
Opiskele Laode-kirjasta ss. 593 -- 595 {\em Piecewise smooth peroodic
forcing}. Selvit� vaiheet, ja suorita laskut my�s Maplella.

Toinen idea: Ratkaisua voidaan l�hesty� my�s t�h�n tapaan: Otetaan jaksollisesta
her�tefunktiosta aikasiivuja, vaikka yhden jakson, kahden jakson jne. 
pituisia ja
ratkaistaan vastaavat AA-teht�v�t Maplea hy�dynt�en. Katsotaan ainakin
kuvista, miten saadut ratkaisuapproksimaatiot esitt�v�t edell� saatua
koko teht�v�n ratkaisua. (Arvatenkin approksimaation laatu huononee,
kun lasketaan/piirret��n ratkaisua pitemm�lle kuin approksimoiva
siivu her�tteest�.)

Jos energiaa viel� on, voit kokeilla samaa tekniikkaa johonkin muuhunkin
jaksolliseen.

{\bf Maple-ty�kalu jaksollisten funktioiden k�sittelyyn}

Kts. my�s HAM ss. 127--128

Jos suoritat Maplessa komennon

\verb_read("/p/edu/mat-1.414/maple/ohjelmat.mpl"):_

saat k�ytt��si funktion: 
\begin{verbatim}
# Jaksollinen jatko: MapleTech Vol 3 No. 3 1996
#
JJ:=proc(f,d::range)
  subs({'F'=f,'L'=lhs(d),'D'=rhs(d)-lhs(d)},
  proc(x::algebraic) local y;
    y:=floor((x-L)/D);
    F(x-y*D);
  end)
end:
# Esim:
#sw:=JJ(signum,-1..1);
#plot(sw,-4..4);
\end{verbatim}

T�lle tulee viel� paljon k�ytt�� Fourier-sarjojen yhteydess�.
(Voit tuon read:n sijoittaa {\tt .mapleinit}:iin)

\item
Funktioiden $f$ ja $g$ konvoluutio m\"a\"aritell\"a\"an kaavalla
$$f*g(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau) d\tau$$

M\"a\"arit\"a konvoluutiolauseen ${\it L}(f*g)=(Lf)(Lg)$ avulla 
 seuraavien 
funktioiden Laplace-k\"a\"anteismuunnokset:

{\bf a)} ${\frac{1}{(s-a)^2}}$ \qquad {\bf b)} ${\frac{1}{s^2(s^2+\omega^2)}}$ 
\qquad {\bf c)} ${\frac{s}{(s^2+\omega^2)^2}}$

\vskip 5mm


\end{loppu}

\item
Ratkaise AA-teht�v� 
$$y''(t)+3y'(t)+y(t)=g(t),\ \ y(0)=1, y'(0)=1,$$
miss�
\[ g(t)=
   \begin{cases}
      0, t < 0,  \\  
       1,  0 \leq  t < 1,    \\  
       -1, 1 \leq t < 2,    \\  
       0, t \ge 2,    

   \end{cases}          
 \]  

Ohje: Kirjoita $g$-funktio ensin Heavisiden funktioiden avulla.
Diffyht�l�n ratkaisu voi olla monimutkaisehko, mutta �l� v�lit�.
Piirr� samaan kuvaan ``her�te'' ja ``vaste'', vaikkapa tyylikk��sti
teksteill� varustettuna, kuten [HAM] s. 187, kuva 10.1.
Voit kokeilla lopuksi my�s ``black-box''-tyyli�:

\verb_ AE:=y(0)=1,D(y)(0)=1: ratk:=dsolve({dyht,AE},y(t),method=laplace);_

