Teknillinen korkeakoulu Apiola/Ebeling Matematiikka

Mat-1.415 Matematiikan peruskurssi V3 syksy 2002

http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/02/H/

Laskuharjoitus 10 (viikko 46 , 24–27.11.2002)

Kirjallisuus: KRE Ch 5 “Laplace Transforms”

Linkkejä: L/L14maple.mws ja .html, L/L14.html

Alkuviikko (LV)

1. Ratkaise Laplace-muunnoksen avulla AA-tehtävä y′′ + 4y′ + 13y = 20e^{−t}, y(0) = 1, y′(0) = 3. Opastusta käänteismuunnokseen: Osamurtohajotelman kvadraattinen osa kannattaa täydentää neliöksi, jolloin päästään s-siirtolauseen avulla käsiksi tuttuihin muunnoksiin. Vast: y(t) = 2e^{−t} − e^{−2t} cos 3t + e^{−2t} sin 3t

2. Piirrä seuraavien funktioiden kuvaajat ja määritä niiden Laplacemuunnnokset, missä u(t) tarkoittaa Heavisiden funktiota:

(a) f(t) = tu(t), (b)f(t) = (t − 1)u(t − 1), f(t) = 4u(t − 1) cos t .

3. Määritä seuraavat käänteismuunnokset:

(a) F (s) = \frac{4(e^{−2s}−2e^{−5s})}{s}, (b) \frac{e^{−3s}}{(s−1)^{3}} , (c) \frac{se^{−2s}}{s^{2}+π^{2}} .

4. Ratkaise alkuarvotehtävä y′′ + 2y′ = u(t − 1), x(0) = 0, x′(0) = 1. (u on jälleen yksikköaskel- eli Heavisiden funktio.) Vast: x(t) = −1/2 e^{−2 t} + 1/2 + u(t − 1) (1/2 t − 3/4 + 1/4 e^{−2 t+2})

5. Osoita, että funktio f(t) = \begin{cases}0, kun 0 ≤ t < \frac{π}{2} \\ sin t, kun t ≥ \frac{π}{2} \end{cases} voidaan esittää muo-

dossa f(t) = cos(t − \frac{π}{2} )u(t − \frac{π}{2} ). Ratkaise sitten diffyhtälö: y′′ + 3y′ + 2y = f(t)

6. Oheisen virtapiirin komponenteilla ja syöttöjännitteellä on arvot: C = 50μF, L = 2H, R = 100Ω, e(t) = 50 sin 100t (V). Kytkin suljetaan hetkellä t = 0, jolloin i_{1}(0) = 0, i_{2}(0) = 0.

Kirjoita diffyhtälösysteemi ja laske virtojen Laplace-muunnokset I_{1}(s) ja I_{2}(s). Jätetään loppuosa loppuviikoksi.

                                                                                            /    C  i1(t)   i2(t)
                                                                                         --/ ----||-->-------->--------
                                                                                         |  K           |             |
                                                                                         |              S             <
                                                                                         o              S             >
                                                                                     e(t)               S  L          <  R
                                                                                         o              S             >
                                                                                         |              S             <
                                                                                         |              |             |
                                                                                         ------------------------------

(Tässä siis (SSSSSSS)^{T} kuvaa kelaa (käämiä), eli induktanssia.)

Loppuviikko (LV)

1. Suorita AV-virtapiiritehtävä loppuun. Laske siis käänteismuuntamalla virrat i_{1}(t) ja i_{2}(t). Piirrä virtojen kuvaajat ja selvitä, miten ne käyttäytyvät suurilla t:n arvoilla.

2. Kolmen jousen (k_{1}, k_{2}, k_{3}) ja kahden massamöhkäleen m_{1}, m_{2} muodostama mekaaninen systeemi:

                                                                                                   0              0
                                                                                                   |--> y1        |--> y2
                                                                                         k1        |       k2     |        k3
                                                                                                ___________
                                                                                     |-/\/\/\/\-| m1 |-/\/\/\/\-| m2 | -/\/\/\/\-|
                                                                                     |          |____|          |____|           |
                                                                                     |____________O_O_____________O_O____________|

toteuttaa diffyhtälösysteemin (tee itsellesi selväksi):

\begin{cases}m_{1}y′′_{1} = −k_{1}y_{1} + k_{2}(y_{2} − y_{1}) \\ m_{2}y′′_{2} = −k_{2}(y_{2} − y_{1}) − k_{2}y_{2}, \end{cases}

missä y_{1}(t) ja y_{2}(t) edustavat ao. massan poikkeamaa sen tasapainoasemasta (Vaimentamaton tapaus).

Olkoon vakioilla lukuarvot m_{1} = m_{2} = 10, k_{1} = k_{3} = 20, k_{3} = 40. (yksiköt sopivia yhdistelmiä näistä: kg, m, s)

Määritä ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot y_{1}(0) = 0, y_{2}(0) = 0, y′_{1}(0) = 1, y′_{2}(0) = −1.

Piirrä ratkaisufunktiot. (Ja voithan tehdä jousien ja massojen liikettä kuvaavan animaation, mutta se on ylimääräistä harrastusta.)

3. Ratkaise vaimennettu värähtelytehtävä:

y′′ + 2y′ + y = δ(t) − u(t − 2π), y(0) = 0, y′(0) = 0.

Tässä herätteenä (ulkoisena voimana) on impulssi (vasaranisku) hetkellä t = 0 ja vakiovoima −1 ajanhetkestä t = 2π alkaen. Piirrä ratkaisufunktio vaikkapa välillä [0, 25].

4. Määritä konvoluutiolauseen L(f ∗ g) = (Lf)(Lg) avulla seuraavien funktioiden Laplace-käänteismuunnokset:

a) \frac{1}{(s−a)^{2}}  b) \frac{1}{s^{2}(s^{2}+ω^{2})}  c) \frac{s}{(s^{2}+ω^{2})^{2}}

5. Johda konvoluutiolusetta apuna käyttäen yleinen kaava vaimentamattoman värähtelytehtävän y′′ + ω^{2}y = r(t), y(0) = y_{0}, y′(0) = v_{0}.

ratkaisulle.

Vast: y(t) = \frac{1}{ω} sin(ωt) ∗ r(t) + y_{0} cos ωt + \frac{v_{0}}{ω} sin ωt.

(Tähti (∗) tarkoittaa konvoluutiota.)

6. Tarkastele massa-jousisysteemin vastetta neliöaaltoon r(t) = u(t − 1) − u(t − 2), kun systeemiä kuvaa diffyhtälö

y′′ + 3y′ + 2y = r(t), ja olkoot alkuehdot y(0) = 0, y′(0) = 0.

(a) Ratkaise systeemi, voit ratkaisusi tueksi ottaa KRE-kirjan esimerkin EXAMPLE 4 ss. 271–273. Voit käyttää Maplea, kunhan ymmärrät kaikki vaiheet.

(b) Ota r(t):ksi h:n levyinen yksikköpulssi, välillä [1, 1 + h] (siis pinta- ala = 1), ja ratkaise esim. arvoilla h = 0.5, 0.2, 0.1. Piirrä heräte ja vaste.

(c) Ota r(t) = δ(t−1) (Diracin δ), piirrä vaste ja vertaa (b)-kohdan kuviin. (Älä yritä piirtää herätettä.)

Laplace-muunnokset

Alla oleva taulukko ja nämä kaavat ovat koetehtäväpaperissa mukana.

Määritelmä: Annettu f(t), Lf = F, F (s) = ∫_{0}^{∞} f(t)e^{−st}dt Merk. u(t) = H(t)=yksikköaskelfunktio . (Lf′)(s) = sF (s) − f(0), (Lf′′)(s) = s^{2}F (s) − sf(0) − f′(0), L{∫_{0}^{t} f(τ)dτ} = \frac{1}{s}F (s), L(f ∗ g) = (Lf)(Lg), (f ∗ g)(t) = ∫_{0}^{t} f(t − τ)g(τ)dτ = (g ∗ f)(t)

L{e^{at}f(t)} = F (s − a), L{u(t − a)f(t − a)} = e^{−as}F (s), L{δ(t − a)} = e^{−as}

Laplace-taulukko

f(t) t^{k}  e^{at} cosh at sinh at cos ωt sin ωt
F (s) \frac{k!}{s^{k+1}}  \frac{1}{s−a}  \frac{s}{s^{2}−a^{2}}  \frac{a}{s^{2}−a^{2}}  \frac{s}{s^{2}+ω^{2}}  \frac{ω}{s^{2}+ω^{2}}

Laplace-muunnokset Maplella. Maple soveltuu tietysti integrointiapualiseksi. Lisäksi Maplessa on pakkaus inttrans, joka ladataan komennolla with(inttrans):. [HAM]-kirjassa on käsitelty Laplace-muunnoksia ss. 181–

                                                                        185 (luku 10). Peruskomennot ovat laplace(f,t,s); ja invlaplace(F,s,t);

(Mieti argumenttien järjestyksen logiikka, se on olennaisen tärkeä tietenkin.)

Osamurtokehitelmät

Nämä myös koetehtäväpaperissa.

Olk. F (s) = \frac{P (s)}{Q(s)}, missä deg(P) < deg(Q)

1) Jos Q(s):llä on yksinkertainen tekijä s − a, otetaan kehitelmään termi \frac{A}{s−a}.

2) Jos Q(s):llä on yksinkertainen tekijä s^{2} + bs + c, tulee kehitelmään termi \frac{Bs+C}{s^{2}+bs+c}, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.

3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyvät korkeammassa potenssissa, sanokaamme r, otetaan termit \frac{A_{1}}{s−a} + \frac{A_{2}}{(s−a)^{2}} + … + \frac{A_{r}}{(s−a)^{r}} ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit \frac{B_{1}s+C_{1}}{s^{2}+bs+c} + … + \frac{B_{r}s+C_{r}}{(s^{2}+bs+c)^{r}}

                                                                        Osamurto Maplella: convert(F,parfrac,s);