\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{1}{38}{13 -- 21.9.2001}

Harjoitukset

ti 12--14: AV: U356, Liitutaulu, {\it Astrid}\\
to 12--14: Y338c, ohjattu harjoitus, {\it Astrid ja HA}.\\
pe 10--12: LV: Liitutaulu+tietokone (Maple), {\it HA}

Luentoaiheita: {\tt ..L/L1.html, L2.html}.
Näissä kirjallisuusviitteitä.

\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}

\item %1
Määritä $q$ siten, että yhtälösysteemi
$$\begin{cases}        x+4y - 2z=1 \\
                       x+7y-6z=6  \\ 
                         3y+qz= t 

\end{cases}$$
on singulaarinen (eli ei 1-käs. ratk.). 
%\footnote{Singulaarinen: ei yksikäsitteistä ratkaisua.}
Miten tulee tällöin valita $t$, jotta systeemillä olisi äärettömän monta 
ratkaisua. 
Määritä tässä tapauksessa se ratkaisu, jolle $z=1$.

\item %2 Lay 3, s. 48 teht. 26.
Olkoon $\V{u}=(7,2,5)$,$\V{v}=(3,1,3)$ ja $\V{w}=(6,1,0)$ .
Tarkista, että $3\V{u}-5\V{v}-\V{w}=0$.

Ratkaise tämän perusteella (tekemättä yhtään rivioperaatiota) 
yhtälösysteemi:

$$
 \left[ \begin {array}{cc} 7&3\\\noalign{\medskip}2&1
\\\noalign{\medskip}5&3\end {array} \right] 
 \left[ \begin {array}{c} x_{{1}}\\\noalign{\medskip}x_{{2}}
\end {array} \right] = 
 \left[ \begin {array}{c} 6\\\noalign{\medskip}1\\\noalign{\medskip}0
\end {array} \right] 
$$
%Vihje: Riviajattelu vs. sarakeajattelu.

\item %3 
Olkoot Ab,Bb,Cb ja Db lineaarisen yhtälösysteemin 
liitännäismatriiseja.

$Ab=\left [\begin {array}{cccc} 1&0&0&3\\\noalign{\medskip}0&2&1&1
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0\end {array}\right ]$
$Bb=\left [\begin {array}{ccccc} 1&2&0&0&3\\\noalign{\medskip}0&1&1&0&1
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&2\end {array}\right ]$

$Cb=\left [\begin {array}{cccc} 1&0&2&1\\\noalign{\medskip}0&5&0&2
\\\noalign{\medskip}0&0&4&3\end {array}\right ]$
$Db=\left [\begin {array}{ccccc} 1&0&2&0&3\\\noalign{\medskip}2&3&6&1&16
\\\noalign{\medskip}0&3&2&1&10\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0
\end {array}\right ]$


Selvitä kussakin tapauksessa ratkaisujen lukumäärä (ei ratkaisuja,
yksikäs. ratk., äärettömän monta). Viimeksi mainitussa tapauksessa
selvitä myös vapaiden parametrien lukumäärä.

\item %4
Kirjoita (HY):n $A \V{x} = \V{0}$ yleinen ratkaisu (eli kirjoita kaikki
ratkaisut sopivien vektorien lineaarikombinaationa), kun $A$ on 
riviekvivalentti matriisin

$ \left[ \begin {array}{cccccc} 1&-4&-2&0&3&-5\\\noalign{\medskip}0&0&1
&0&0&-1\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&1&-4\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0&0
\end {array} \right]$ \qquad
kanssa.

\item %5
%(a)
%Virittävätkö vektorit $(0,0,0,1)$, $(0,0,1,1)$, $(0,1,1,1)$, 
%$(1,1,1,1)$ avaruuden $\R^4$ ?
Osoita, että vektorit $\V{v}_1=(1,1,0)$, $\V{v}_2=(0,1,1)$, 
$\V{v}_3=(1,0,1)$ ovat {\tt LRT} ja siten $\R^3$:n kanta,ja määritä vektorin $\V{v}=(1,2,3)$ koordinaatit tässä kannassa.


\item  %6, Lay: s. 12 teht. 35
Tarkastellaan lämmönjohtumista ohuessa metallilevyssä. Oletetaan, että
johtumista tapahtuu vain levyn suunnassa, ja levyn reunoilla on
annetut (ajan suhteen) vakiolämpötilat.
Levyn lämpötilat eri pisteissä asettuvat ajan kuluessa arvoihin,
jotka ovat ajan suhteen vakioita, tällöin puhutaan lämpötilajakauman
tasapainotilasta ("steady state").
Tehtävänä on määrittää lämpötilajakauma levyssä tasapainotilan vallitessa.

tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta:

\begin{verbatim}
               --- 20----20---20-----    
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*---40
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*----40
              |    |     |     |    |
              -----20----20----20----
\end{verbatim}

Kuvassa näkyvät annetut vakioreunalämpötilat (reunaehdot).
Tehtävänä on laskea ratkaisuapproksimaatiot *:llä merkityissä 
sisäsolmupisteissä käyttäen seuraavaa periaatetta: Lämpötila levyn
solmupisteessä on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo.

Jos indeksoidaan solmupisteiden lämpötilat vaakarivijärjestyksessä:
$T_1,\ldots T_6$, voidaan ryhtyä kirjoittamaan yhtälöitä tyyliin:

$T_1=\frac{20+10+T_4+T_2}{4}, \ldots .$

Kirjoita koko $6\times 6$- yhtälösysteemi "standardimuodossa".

{\bf Huom:} Tasapainotilaratkaisu saadaan ns. {\em Laplacen yhtälön}
$\nabla^2 T = 0$ ratkaisuna. Tässä esitettyyn likimääräismenettelyyn
ns. {\em differenssimenetelmään}
johdutaan korvaamalla osittaisderivaatat sopivasti erotusosamäärillä.

Ratkaiseminen jätetään LV:oon.



\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

Huomaa: LV-harjoitukset eivät ole ``tietokoneharjoituksia'' sen enempää
kuin ``liitutauluharjoituksiakaan''. Niissä on {\bf mahdollisuus}
kaikkeen, myös tietokoneen käyttöön.
(Toki osa tehtävistä voi olla selkeästi tehtävänannoltaan tietokoneella.
tehtäviä.)

Jos arvioin tehtävän vaativan tavallista enemmän aikaa, annan sille $1$:tä
suuremman pistearvon, joka näkyy suluissa.

\begin{enumerate}

\item %1
Kokoa $2\times 2$ olevat matriisit muodostavat vektoriavaruuden
$\R^{2 \times 2}$. Osoita, että $2 \times 2$  
yläkolmiomatriisit muodostavat edellisen aliavaruuden.


\item (max 2 p.) %2
Tutustu tähän:
{\tt http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/02/L/LA.html}, voit ottaa
vastaavan {\tt .mws}:n pohjaksi.
Kirjoita viitteen {\tt http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/00/L/G-J.html}
Maple-työ {\tt LinaerAlgebra}-tyylillä, {\tt LA.mws/html}:n mallin
mukaisesti.
Tarkista rivioperaatiot {\tt ref-} ja {\tt rref-}aliaksia käyttäen.
Selvitä, ratkaisujen ``lukumäärä'' (olemassaolo ja mahd. vapaiden parametrien
määrä).
Tarkista lopuksi komennolla {\tt LinearSolve}.

\item (max 2 p.) %3
Ratkaise [AV]-tehtävän 6 yhtälösysteemi Maplea käyttäen.
%Saat tehdä $LinearSolve$:lla.
Muodosta [AV]-tehtävän 6 kuvan mukainen $4\times 5$ matriisi, jossa
ovat annetut reunalämpötilat sekä lasketut sisälämpötilat oikeilla
kohdillaan. Ota nurkkapisteiden lämpötiloiksi kahden naapurisolmun
lämpötilojen keskiarvo.
Piirrä kuva.

Ohjeita: 

Tehtävässä riittää käytellä LinearAlgebra-kirjaston funktiota
{\tt LinearSolve}. Ratkaisuvektorin muokkaaminen matriisiksi
onnistuu mukavasti, kun "viran puolesta" 
työarkilla harj1pohja.mws on määritelty funktio Reshape,
joka on luettavissa myös tiedostosta \\ 
{\tt .../maple/v302.mpl} .

Annetaan koodi myös tässä:

\verb_Reshape:=(vek,m,n)->Matrix(linalg[matrix](m,n,convert(vek,list)));_

Funktio on tehty vastaamaan Matlabin funktion reshape käytöstä
siinä tapauksessa, jossa vektori muutetaan annetun kokoiseksi
matriisiksi.

Lämpötilamatriisin rakentelu kannattaa hoidella (Matlabinomaiseen) tyyliin:

\begin{verbatim}
Tsisa:=Reshape(T,2,3); # vektorissa T on ratkaisulämpötilat.
Tiso:=Matrix(4,5,0);
vaaka:=<15|20|20|20|30>;
pysty:=...;
Tiso[2..3,2..4]:=Tsisa;
...
\end{verbatim}
Piirtäminen komennolla
 {\tt matrixplot}  (muista with(plots):)

\verb_matrixplot(Tiso,axes=boxed);_

\item %6
Määritä kanta (kolmesta parametrista riippuvalle) vektorijoukolle
(tarkemmin sanottuna niiden virittämälle avaruudelle)
$\left[ \begin {array}{c} a-2\,b+5\,c\\\noalign{\medskip}2\,a+5\,b-8\,
c\\\noalign{\medskip}-a-4\,b+7\,c\\\noalign{\medskip}3\,a+b+c
\end {array} \right]$

Voit laskea käsin tai hyödyntää Maplea sopivasti. Sovitaan, että saat
käyttä ({\tt L/LA.mws}-työarkin) aliaksia {\tt ref} ja jopa {\tt rref}, mutta 
et komentoa 
{\tt LinearSolve}.

Vihje: Kirjoita vektori sopivien sarakevektorien lineaarikombinaationa
ja tutki ovatko {\tt LRV/LRT}. Jos ovat {\tt LRV}, niin mitähän teet?

\end{enumerate}

\end{document}

\item %2
Olkoon annettu vektorijoukko $S=\lbrace \V{v_1},\V{v_2},\ldots,\V{v_p}\rbrace$
epätriviaalissa äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa $V$.


Selvitä perustellen, mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia ja mitkä epätosia:
\begin{enumerate}
\item
Kaikkien lineaarikombinaatioiden muodostama joukko on vektoriavaruus.
\item
Jos $\lbrace \V{v_1},\V{v_2},\ldots,\V{v_{p-1}}\rbrace$ virittää $V$:n,
niin S virittää $V$:n.
\item
Jos $\lbrace \V{v_1},\V{v_2},\ldots,\V{v_{p-1}}\rbrace$ on {\tt LRT},
niin S on {\tt LRT}.     .
\item
Jos S on {\tt LRT}, niin S on V:n kanta.
\item
Jos sp$(S)=V$ (eli jos S virittää V:n), niin jokin S:n osajoukko on V:n
kanta.
\item
Jos dim$(V)=p$ ja sp$(S)=V$, niin S ei voi olla {\tt LRV}.

\end{enumerate}



