Luento 31
20.11.01

Todennäköisyslaskentaa+tilastoa

Lähteitä:
KRE Ch 22-23
PL: Pertti Laininen: Tod. lask. ja sen tilastollinen sovalteminen, Otatieto 586

1. Datan esittäminen, tunnuslukuja

KRE 22.1 s. 1050 ->

Matlab-välineitä datan esittämiseen

User's Guide 6-7: 
max,min,mean,median,std,sort,sortrows,sum,prod,diff,trapz,cumsum,
cumprod,cumtrapz
Histogrammien modostamiseen ja piirtoon Matlabissa on esim. hist ja bar. Edellinen toimii hieman mystisesti. Pakko tehdä oma "luokittele", jolloin on varmuus siitä, mitä se tekee. 
 help luokittele
function [frekvenssit,keskip]=luokittele(arvot,luokat)
% 18.11.01
% arvot: lukuarvojen vektori
% luokat: Vektori, jossa luokkarajat
% Esim:
>> x=[89 84 87 81 89 86 91 90 78 89 87 99 83 89];
>> luokat=[74.5:5:99.5]
luokat =
   74.5000   79.5000   84.5000   89.5000   94.5000   99.500
>> [fr,kp]=luokittele(x,luokat)
fr =
     1     3     7     2     1
kp =
    77    82    87    92    97

>> bar(kp,fr)
>> suhtfr=fr/length(x)
 suhtfr =
     0.0714    0.2143    0.5000    0.1429    0.0714
>> sum(suhtfr)
ans =
     1
>> bar(kp,suhtfr)    % vrt. KRE Fig. 476 s. 1051
>> ylim([0,1]); grid

Piirretään vierekkäin subplot:lla 

>> subplot(1,2,1)
>> bar(kp,fr) 
>> title('Absoluuttinen frekvenssi')   
>> subplot(1,2,2)
>> bar(kp,suhtfr) 
>> title('Suhteellinen frekv')  
>> ylim([0,1]); grid

Kertymä -- cumsum ! 

>> kertyma=cumsum (suhtfr)
kertyma =
    0.0714    0.2857    0.7857    0.9286    1.0000
>> bar(kp,kertyma)        
>> bar(kp,kertyma)
>> title('Kertymä')

Luokkajako

Muodostetaan tasavälinen luokkajako: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function z=tasaluokat(x,n)
xmin=min(x); xmax=max(x);
a=xmin-0.5;b=xmax+0.5;
z=linspace(a,b,n+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

>> [fr,lk]=luokittele(x,tasaluokat(x,10))
>> bar(lk,fr)

Tunnuslukuja

Vaikka Matlabissa on valmiina nämä, ei ole syytä riistää itseltään niiden kirjoittamisnautintoa! 
function z=keskiarvo(x)
z=sum(x(:))/length(x(:)); % Mikä tyyli!

function z=varianssi(x)
n=length(x);
a=sum(x)/n;
z=sum((x-a).^2)/(n-1);    % Mikä eleganssi!

function luku=mediaani(v)
v=sort(v);
n=length(v);
i=(n+1)/2;i1=floor(i);i2=ceil(i);
luku=(v(i1)+v(i2))/2;

function [qu,qm,ql]=kvartiilit(v)
v=sort(v)
n=length(v);
i=(n+1)/4;i1=floor(i);i2=ceil(i); % Tätä en ihan tarkkaan miettinyt
ql=(v(i1)+v(i2))/2;
i=(n+1)/2;i1=floor(i);i2=ceil(i);
qm=(v(i1)+v(i2))/2;
i=3*(n+1)/4;i1=floor(i);i2=ceil(i);  % kuten tätäkään.
qu=(v(i1)+v(i2))/2;

2. Satunnaisilmiöt

Yleistä pohdiskelua, historiaa

Deterministinen malli

Usein differentiaali-(ositt. tai tav.) tai differenssiyhtälö. Alkuehtojen perusteella systeemin tulevaisuus voidaan tarkasti ennustaa.

Stokastinen malli

Epävarmuus ja satunnaisten tekijöiden vaikutus pyritään ottamaan huomioon. Usein ilmiö on niin monimutkainen, että determinististä mallia ei voida muodostaa, jolla ilmiö hallittaisiin.

Yksityisen koetuloksen tai mittauksen arvoa on mahdotonta (joko periaatteessa tai käytännössä) ennustaa, mutta kokeen keskimääräinen tulos pitkässä toistosarjassa käyttäytyy säännönmukaisesti.

Historiaa