Luento 17
24.10.01

Linkkejä

Faasitasopiirroksia 

   (HY)     Y' = A Y
Käytetään isoa Y:tä vektoria merkitsemään. Jospa hetkiseksi merkittäisiin ratkaistavia funktioita x(t):llä ja y(t):llä, eli 
                                        [x(t)]
                                 Y(t) = [    ]
                                        [y(t)]
Trajektoriksi sanotaan xy-tason käyrää, joka koostuu pisteistä (x(t),y(t)), missä t on käyräparametrina.

Voidaan ajatella, että piirros esittää y:tä x:n funktiona. Erityisesti, jos kyse on fysikaalisesta systeemistä, kuten jousi-massa- systeemistä, niin piirros esittää nopeutta paikan funktiona. Tästä nimitys "faasitaso".

Ratkaisukäyrät voidaan tietysti piirtää myös aikatasoon.

Yksinkertaisin havainnollistus lienee ajatella tilannetta, jossa ratkaisut ovat x(t)=cos t, y(t)=sin t .

Faasikuva on yksikköympyrä t -> (cos t, sin t) ja "aikakuvassa" ovat cos- ja sin-käyrät.
Matlab-istunto, jonka voit tästä leikata/liimata. 

   t=linspace(0,2*pi); 
   x=cos(t);y=sin(t);
   plot(t,x,'r',t,y,'b'); grid;title('Aikakuva');shg
   figure(2)
   plot(x,y); grid;title('Faasitaso');axis equal;shg
Kun käyrä on annettu parametrimuodossa X(t)=(x(t),y(t)), niin käyrän tangenttivektori parametrin t=t[0] määräämässä pisteessä X[0]=(x(t[0],y(t[0])) saadaan derivoimalla vektorifunktio X, ts. tangenttivektori on vektorin X'(t[0])=(x'(t[0]),y'(t[0])) suuntainen.

Siispä pisteen X[0]=(x[0],y[0]) kautta kulkevan trajektorin suunta on A X[0], koska kerran X' = A X.

(Trajektori)suuntakenttä voidaan siten muodostaa laskemalla X[0]=(x[0],y[0])- pisteissä v= A X[0] ja piirtämällä pisteestä X[0] alkava v:n suuntainen pikkunuoli kuvaan. Tällaista työtä tekee pplane5 . Siinä kannattaa valita "gallery", josta "linear". Käyttö on hyvin helppoa. Tämän jälkeen lienee ymärrettävissä, mitä nuo kauniit kuvat tarkoittavat. (Jos ei, niin asia kristallisoituu viimeistään huomisella luennolla.)

Autonomisuuden merkitys

Faasitasoanalyysi on jopa vieläkin hyödyllisempää epälineaaristen yhtälöiden kohdalla. Kuitenkin sillä rajoituksella, että systeemi on autonominen. (Palaamme takaisin (y1,y2)-merkintätapaan.) . Siis 
   y1'=f1(y1,y2)
   y2'=f2(y1,y2)
Tällöinhän trajektorin suunta määräytyy yksinomaan paikan (x[0],y[0]) perusteella. Ei-autonomisessa tapauksessa pitäisi tarkastella (t,y1,y2)-faasiavaruutta, jota on aika paljon vaikeampi tulkita. Tällöin on parasta tyytyä piirtelemään ratkaisukäyriä aikakuvaan.

KRE-esimerkkejä ss. 163 - 165

Exa 1 
format compact; format rational
A=[-3 1;1 -3]
[V,D]=eig(A);
lam=diag(D)
V=V/V(1,1)     % jaetaan "normaaraus pois", saadaan mukavampia lukuja.

Ajon tulokset 

>> A=[-3 1;1 -3]
A =
     -3            1      
      1           -3      
>> [V,D]=eig(A);
>> lam=diag(D)
lam =
     -4      
     -2      
>> V=V/V(1,1) 
V =
      1            1      
     -1            1
Lasketaan ratkaisut sopivassa t-pistejoukossa (tässä 100 pistettä) ja piirretään eri vakioiden C1 ja C2 arvoilla. Näitä voi sitten säädellä tilanteen mukaan. 
t=linspace(0,10);  % Kokeile sopivaa, usein voi jokin exp-muoto olla parempi.  
y1=V(:,1)*exp(lam(1)*t); % Huomaathan ulkotulon kätevyyden
y2=V(:,2)*exp(lam(2)*t); %  ... pysty * vaaka .

varit=['rb']
vari=0
figure(1);clf;hold on
for C1=-6:2:6
disp('Paina ENTER:iä')
pause                 % Pysähdytään ulkoluupissa.
vari=mod(vari+1,2);   % Leikitään vähän: vaihdetaan ulkoluupissa väri
                      % sinisen ja punaisen välillä.
  for C2=-10:2:10
    y=C1*y1+C2*y2;
    title('Faasikuva')
    hold on
    plot(y(1,:),y(2,:),varit(vari+1))
  end
end

figure(2);clf;hold on
for C1=-6:2:6
  disp('Paina ENTER:iä')
  pause
  for C2=-10:2:10
    y=C1*y1+C2*y2;
    title('Aikakuva')
    hold on
    plot(t,y(1,:),'r',t,y(2,:),'b')
  end
end
grid;shg

Edellisen pplane5-kuvat