\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}


\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{6}{43}{24 -- 26.10.2001}

T�m� on viel� kesken ...

\subsubsection*{AV}


\begin{enumerate}


\item
M��rit� diffyht�l�rym�n
$$\begin{cases}
y_1'=y_1+y_2 \\
y_2'=5y_1-3y_2
\end{cases}$$
yleinen ratkaisu.

K�yt� matriisitekniikkaa (ominaisarvoja). M��rit� (AA)-ratkaisu $y_1(0)=0,
y_2(0)=1$.


\item
Muunna seuraavat diffyht�l�(ryhm�t)t 1. kertaluvun systeemeiksi:
(Ei tarvitse ratkaista.)

(a) $y''-3y'+y=0$, \quad (b) $y'''+e^t y' + y=0$, \quad 
(c) $\Theta''+k\sin Theta=0$, \quad 
(d) $\begin{cases}
     y_1''-y_1'-2y_1=t^2 \\
     y_2''-y_2-3y_1=0 
    \end{cases}$

Huomaa, ett� (c) on ep�lineaarinen (heiluriyht�l�), sille on turha etsi�
matriisia.

\item
Ratkaise systeemi $\V{x}'=A \V{x}$, miss�

$A=\left [\begin {array}{cc}           
                            2&10\\      
                            -1&4    
          \end {array}\right ] $
\kohta{a}{alkuehdolla $\V{x(0)}=[1,0]'$}
\kohta{b}{alkuehdolla $\V{x(0)}=[0,1]'$}
\kohta{c}{Piirr� pplane5-piirroksia, katsele niin faasitaso kuin aikakuvaa
(time series)}


\item
Kaksi s\"aili\"ot\"a, $A$ ja $B$ sis\"alt\"a\"a $50 l$ nestett\"a kumpikin. 
Niit\"a yhdist\"a\"a
kaksi putkea siten, ett\"a $A \to B$ virtaa nestett\"a 
nopeudella $4$ l/min ja
$B \to A$ $1$ l/min ja oletetetaan, ett\"a neste sekoittuu heti. 
Puhdasta vett\"a virtaa s\"aili\"o\"on $A$ nopeudella $3$ l/min
ja s\"aili\"ost\"a $B$ poistuu nestett\"a niinik\"a\"an nopeudella $3$ l/min.
Oletetetaan, ett\"a alkuhe
tkell\"a s\"aili\"o $A$ 
sis\"alt\"a\"a $25$ kg suolaa ja
s\"aili\"o $B$ pelkk\"a\"a vett\"a. M\"a\"arit\"a 
suolam\"a\"ar\"at kummassakin s\"aili\"oss\"a
ajan funktiona. 

\vfill\eject

\begin{verbatim}

3 l/min 
__________          __________
-->       |         |         |
__        |_________|         |
 |         4 l/min ->         |
 |        -----------         |
 |        |         |         |
 |    A   |         |    B    |
 |        |---------|         |
 |         <-- 1 l/min        |
 |        |---------|         ----
 |________|         | ____________-> 3 l/min

\end{verbatim}

Miten pitk�n ajan kuluttua suolam��r�t s�ili�iss� ovat yht�suuret?
Piirr� $x_1(t)$ ja $x_2(t)$ aikariippuvuuskuvana (``time series'')
ja faasitasok�yr�n� eli $(x_1,x_2)$-tasossa, pit�m�ll� aikaa $t$ 
k�yr�parametrina . (Ilman pplane5:n apua, muuten saat k�ytt�� Matlabia
tai Maplea.)

\end{enumerate}



\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item
\item
(Puhdas k�sinlaskuteht�v�)
Osoita luennolla hahmotellulla tavalla (tai muuten), ett� alla sanottu
matriisieksponenttifunktion m��ritelm� on tosiaan kunnossa.
Tarvitset kahta asiaa:

1) $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+ \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots$
suppenee kaikilla $x \in \R$.

2) $A^2$ ei kasva tolkuttomasti.

Kasvun tutkimisessa voit rajoittua vakiomatriisiin, koska sillekin
asian tulee p�te� ja toisaalta mielivaltaisen matriisin tapauksessa
saadaan yl�raja-arvio korvaamalla kaikki matriisin alkiot itseisrvoltaan
suurimmalla. 

Nyt homma onkin helppo hoitaa!


\item
Laske kyn�� ja paperia ja tarvittaessa esim.
Maplea matriisilaskimena k�ytt�en:
$e^{A t}$ matriiseille \\ 
a) $A=\left [\begin {array}{cc} 1&0\\
\noalign{\medskip}0&2\\\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
b) $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}0&0\\
\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
c) $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-1&0\\
\noalign{\medskip} \end{array}\right]$

Kommentteja: a) on ��li�m�isen helppo, b) on ``nilpotentti'', korota
potenssiin, niin n�et, mit� tarkoittaa, c):ss� n�kyy tietty jaksollisuus.

%Vast:
%a) $e^{A t}=\left [\begin {array}{cc} e^t&0\\
%\noalign{\medskip}0&e^{2t}\\\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
%b)$e^{A t}= \left [\begin {array}{cc} 1&t\\\noalign{\medskip}0&1\\
%\noalign{\medskip} \end{array}\right]$
%c) $e^{A t}=\left [\begin {array}{cc} \cos t&\sin t\\
%\noalign{\medskip}-\sin t&\cos t\\
%\noalign{\medskip} \end{array}\right]$


%Tee ohjety�arkin mukaan. Katso my�s ``.../luentomateriaali/L21.html'' 
%(teoria) ja erityisesti
%``L21maple.html'' sek� `L21maple.mws''. 

Tarkista Maplella ja kokeile lis�ksi tyyli�

\verb_ seq(evalm((t*A)&^k)/k!,k=0..10); map(series,eat,t=0,10); _

olevia temppuja joidenkin matriisien kohdalla.
(Huomaat, ett� matriisieksponenttifunktio ei ole ollenkaan kummallinen olio,
ehk� siihen kehittyy riippuvuus!)



%URL:ss�
%\verb_ http://www.math.hut.fi/~apiola/maple/opas/ohjelmat.mpl _
%on ker�ttyn� kurssilla tarvittuja ohjelmia. Listaus on HAM-kirjan lopussa,
%mutta tiedostoa on p�ivitetty (mm. 3.11.) 
%Kyseess� on tekstitiedosto,
%jonka voi ottaa ensin omaan hakemistoon ja lukea \maple-istuntoon komennolla

%\verb_ read("ohjelmat.mpl");_

%Siit� voi vaihtoehtoisesti leikata/liimata haluamiaan koodeja.

%HAM  ss. 161--176 \footnote{[HAM] {\it Heikki Apiola}, 
%Symbolista ja numeerista matematiikkaa \maple-ohjelmalla, ilmestyi 20.10. 98}

%Ohjety�arkki joko www:st� tai
%{\tt cp /p/edu/mat-1.443/H98/harj8pohja.mws .}

\item
Ratkaise $\V{x}'=A \V{x}$,  $\V{x}(0)=[0, 1, 1]$ kun 
\[
A=\left [\begin {array}{ccc}  -14&-160&-40\\            
          \noalign{\medskip} 181&5&2\\                  
           \noalign{\medskip} 96&84&18\end {array}\right ]
\]
%Ominaisarvot ovat $\lambda_{1,2}=6\pm 180 i$ ja $\lambda_3=-3$ sek�
%t�t� vastaava ominaisvektori $w_3=(0,-1,4)$.
K�yt� matlab-hakemiston {\tt linsys}-funktiota (jonka toiminta perustuu
Matlabin sis��nrakennettuun $e^{At}$-funktioon nimelt��n {\tt expm}, kts. my�s
{\tt ...L/L\_ldys.html}).

Piirr� ratkaisuk�yr�parvi (aikariippuvuuskuva) sek� faasiavaruuskuva.
Piirr� samaan kuvaan reaalinen ominaisvektori ja kompleksisen 
ominaisvektorin re- ja im- osien muodostamat vektorit. Matlabissa
{\em real, imag }. N�iden ``ominaisakselien'' piirto voisi sujua
seuraavaan tyyliin:
\begin{verbatim}
sopivakerroin=3 ; % tms. 
aks=sopivakerroin*v1;plot3([0,aks(1)],[0,aks(2)],[0,aks(3)],'r')
...
\end{verbatim} 

Kokeile my�s sellaisilla alkuarvoilla, jotka sijaitsevat kahden ominaisvektorin
(Re/Im-osien) m��r��mill� tasoilla.

%Voit viel� huviksesi 
%piirt�� faasikuvan projektiot koordinaattitasoille. Kts. linsysys-
%koodin helppitekstej�.

%M��rit� $\lambda_1$:t� vastaava ominaisvektori $\bar w$ ja lausu yleinen
%reaalinen ratkaisu muodossa $\bar y=a  z_1(t)\bar u + b  z_2(t)\bar v
%+ c z_3(t)\bar w_3$.
%Mieti trajektoreita 3d-avaruudessa ja varustautu piirtoon LV-harj. menness�.

\item
Luennolla osoitettiin, ett\"a ep\"ahomogeenisen systeemin
$$ \V{x}' = A \V{x} + \V{g}(t), \ \ \V{x}(0)=\V{x}^{(0)}$$
ratkaisu on
$$\V{x}(t)=e^{At}\V{x}^{(0)} + \int_0^t e^{A(t-s)}\V{g}(s) ds .$$

Vektorifunktion integrointi tarkoittaa yksinkertaisesti integrointia
komponenteittain.

Ratkaise t\"am\"an avulla systeemi

$\V{x}'=\left [\begin {array}{cc} 1&4\\\noalign{\medskip}-1&-3\end {array}
\right ] \V{x} + \left [\begin {array}{c} t\\\noalign{\medskip}1\end {array}
\right ],\ \  \V{x}(0)=(1,-1) $

Voit katsoa mallia t�st�: \\
\verb_ www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/L20maple.html _

Mallista poiketen saat t�ss� oikaista niin, ett� k�yt�t valmista
{\tt linalg[exponential]}-funktiota (t�t�p� ei n�y uudesta 
{\tt LinearAlgebra})-kirjastosta l�ytyv�n.)




\end{enumerate}



\subsection*{Matriisieksponenttifunktio $e^{At}$}


Jokaiselle neli�matriisille $A$ voidaan m��ritell� eksponenttifunktio
$e^{A}:=\sum_{k=0}^\infty {\frac{A^k}{k!}}$. Diagonalisoituvalle matriisille
se voidaan laskea suoraan soveltamalla diagonalisointiesityksen $D$-matriisin
diagonaalialkioihin tavallista $\exp$-funktiota.
Joskus voi olla k�tev�� soveltaa sopivaa reaalifunktion sarjakehitelm��,
joskus taas yll� mainittu m��ritelm� johtaa katkeavaan sarjaan yll�tt�v�sti
syyst�, jota lukujen maailmassa ei esiinny, nimitt�in matriisin jokin potenssi
voi olla nolla (nilpotentti matriisi). 


Miten sitten toimitaan yleisesti, kun ei kuitenkaan haluta k�ytt�� 
sarjakehitelm��? Silloin etsit��n ns. yleistetyt ominaisvektorit, mik�
vastaa sit� tapaa, joka esitettiin $2\times 2 $-matriiseille.
Yleisess� muodossa esitettyn� se voidaan muotoilla matriisihajotelmaksi,
joka on ``l�hes diagonalisointi'', eli ns. {\it Jordanin muoto}.
Sit� emme t�ll� kurssilla l�hemmin opiskele, kiinnostuneet l�yt�v�t
sen mm. kelpo Laode-kirjasta.

Algoritmi voidaan esitt�� ilman Jordan-hajoitelma-terminologiaa (vaikka
samasta asiasta on kyse).

Itse asiassa p�tee ns. {\em Cayley-Hamiltonin} lause: Jokainen neli�matriisi
toteuttaa oman karakteristisen yht�l�ns�.
(Tarkoittaa, ett� jos lausekkeessa $p(\lambda)=\lambda^n+\ldots $ sijoitetaan
$\lambda$:n paikalle $A$, niin tuloksena on nollamatriisi.)
 T�st� p��dyt��n siihen, ett� matriisi
``k�ytt�ytyy nilpotentisti'' yleistettyjen ominaisvektorien edustamilla
suunnilla. (Kts. tarkemmin alla mainituilta sivuilta).

Helpoimmat tapaukset ovat ��ritapaukset: \newline 
a) Jos ominaisvektoreita on
riitt�v�sti ($n$ kpl) tai \newline
b) jos niit� on vain yksi (jolloin ominaisrvojakin
on vain yksi). \newline
T�ll�inh�n yll� mainitusta {\em Cayley-Hamiltonista} seuraa,
ett� jos $\lambda_0$ on tuo ominaisarvo, niin $(A-\lambda_0)^n=0$.
Koska $e^{At}=e^{\lambda_0 t}e^{(A-\lambda_0)t}$, saadaan $(A-\lambda_0I)t$:n
potenssien mukainen sarja, joka katkeaa n:nness� termiss�.

$2\times 2$-matriisien k�sittely on erityisen helppoa, koska niill� joko
on riitt�v�sti (2) ominaisvektoreita tai $(A-\lambda_0)^2=0$

Algoritmi on selitetty tarkemmin luentosivuilla: (Emme sit� kuitenkaan kokeissa vaadi osattavaksi.)


\verb+www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/L_ldys.html+ ja t�m�n viitteiss�:\hfill\\
\verb_www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/expA.html_ ja erit. \hfill\\
\verb_www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/eat8.gif_ \\
\verb_www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/eat9.gif_

K�yt�nn�ss� voidaan turvautua ohjelmistoihin, joihin tuo Jordan-muoto
on k�tketty. \maple:ssa on {\tt linalg[exponential]} ja \matl:ssa {\tt expm}. 

%\matl:n tapauksessa saamme
%tietysti ``numeerisen tuloksen nopeasti'' ja sanoisimmeko, ett� \maple:n
%tapauksessa ``symbolisen tuloksen hitaasti''



\end{document}





