\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v3harj}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{4}{41}{10 -- 12.10.2001}

Nämä ovat viimeiset harjoitukset ennen 1. välikoetta.
Kaikki 4. ensimmäisen harjoituksen (AV ja LV) tulevat mukaan.
Välikokeessa ei pyydetä kirjoittamaan koodia, mutta (Maple/Matlab-)
peruslukutaidosta saattaa olla hyötyä.
Tietysti kaikki niin AV- kuin LV-hajoitustehtävät (ohjelmien käyttötekniikkaa lukuunottamatta) kuuluvat välikokeessa osattaviin.
Luentoalue menee poikki jossain viikon puolenvälin paikkeilla,
ilmoitetaan tarkemmin  ke.

%suhteen tulee kaikki, mitä ehditään esittää to 11.10 mennessä.

%Viimeiset kokeeseen liittyvät www-päivitykset tehdään pe 12.10 klo 15
%mennessä. 


\subsubsection*{Alkuviikko (AV)}

\begin{enumerate}

\item
Muodosta lineaarinen yhtälösyteemi
alla olevalle virtapiirille ja ratkaise virrat.
\begin{verbatim}                         
               8 V
             <-----              Kirchhofin virtalaki:
        I1    |              
    ----<---- | |---------   Virtapiirin jokaisessa pisteessä pätee:
    |         |          |   tulevien virtojen summa =  lähtevien 
    <                    <   summa.
    > 1 Ohmi      1 Ohmi >
    <                    <       Kirchhofin jännitelaki:
    |      0.5 Ohmia     |   Virtapiirin jokaisessa suljetussa sil-
    ------\/\/\/--->-----|   mukassa ulkoisen jännitelähteen 
    |              I3    |   jännite = jännitehäviöiden summa.
    <                    |
    >                    |      Ohmin laki: U=RI
    < 2 Ohmia         I2 \/ 
    >                    |
    |         |          |
    ----<---- | |---------
              |          
            16 V
          <------
\end{verbatim}
%% vast.: I1=2, I2=6


\item
Seuraava Matlab-istunto määrittelee matriisin A ja vektorin b.
(Voit leikata/liimata latex-tiedostosta H/harj4.tex (no, tuskin kannattaa).)

\begin{verbatim}
>> A=[1 -1 1 0 0 2;1 1 2 4 1 2;0 2 1 4 3 1;1 -3 0 -4 -2 1]
>> b= [0; 3; 2; 0]>> Ab=...
\end{verbatim}
Suorita Gaussin rivioperaatiot vaikkapa tyyliin 
(sopivasti indeksejä vaihtaen):

\begin{verbatim}
[m,n]=size(A); b=ones(m,1);Ab=[A,b]
format rational
pivot=Ab(1,1)
for i=2:m
   Ab(i,:)=Ab(i,:)-(Ab(i,1)/pivot)*Ab(1,:)
   pause  % Jos haluat katsoa joka vaiheen, muuten poista.
          % jatkuu ENTER:llä
end

\end{verbatim}


Mitkä ovat johtavat sarakkeet? Kirjoita ratkaisut (käsin), montako
vapaata parametriä?

Suorita tarkistukseksi komennot

{\tt rref(A), rank(A)}. Varmista, että osaat lukea ratkaisut {\tt rref}-
muodsta. Mitä kertoo {\tt rank} ?


\item
Määritä $q$ siten, että yhtälösysteemi
$$\begin{cases}        x+4y - 2z=1 \\
                       x+7y-6z=6  \\ 
                         3y+qz= t 

\end{cases}$$
on singulaarinen. 
\footnote{Singulaarinen: ei yksikäsitteistä ratkaisua.}
Miten tulee tällöin valita $t$, jotta systeemillä olisi äärettömän monta ratkaisua. 
Määritä tässä tapauksessa se ratkaisu, jolle $z=1$.
\item %{[Str s. 45]}
(a)
Miksi lineaarisella yhtälöryhmällä ei voi olla tasan kahta ratkaisua.
(Havainnollista myös geometrisesti $2\times 2$ ja $3\times 3$- tapauksissa.)

(b) Osoita, että jos $m \ge n$ ja jos Gaussin algoritmin kuluessa jokaiselta päälävistäjän 
alapuoliselta sarakkeen osalta (tai itseltään päälävistäjältä) 
löytyy nollasta poikkeava
alkio (pivotiksi kelpaava), niin systeemillä on joko 1-käsitt. ratk. 
tai ei lainkaan ratkaisua. 

(c) Osoita, että (HY):llä $A x = 0$ on aina joko 1-käsitteinen ratkaisu tai äärettömän monta ratkaisua. Osoita myös, että jälkimmäinen toteutuu aina, kun $n > m$ (sarakkeita enemmän kuin rivejä.)

%\item
%(a) Salmivaara ilman Salmivaaraa.

%(b) KRE s. 330 teht. 17 (virtapiiri).

\item
Olkoon $V$ vektoriavaruus (VA) ja olkoot $W_1$ ja $W_2$ sen aliavaruuksia (AA).
Mitkä seuraavista joukoista ovat $V$:n aliavaruuksia ja mikä ei.
(a) $W_1\cap W_2$, \quad b) $W_1 \cup W_2$, \quad 
(c) $W_1+W_2 = \lbrace u+v | u\in W_1, v\in W_2 \rbrace$

Esitä todistus tai vastaesimerkki ja havainnollistus $\R^3$:ssa.


\item 
Viritt\"av\"atk\"o vektorit $(0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,1,1)$avaruuden $\R^4$? Onko
kyseessä $\R^4$:n kanta?  

Lausu vektori $v=(1,2,3,4)$ näiden vektorien lineaarikombinaationa.
Onko esitys yksikäsitteinen?


\end{enumerate}
\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}
\begin{enumerate}


\item
(a)
Osoita, että polynomit $p_1(t)=2+t$, $p_2(t)=1+t^2$, 
$p_3(t)=1-t^2$ ovat $LRT$ vektoriavaruudessa ${\cal C}^1$.
(Yhtä hyvin polynomiavarudessa ${\cal P}$ tai vieläkin suppeammassa,
korkeintaan astetta 2 olevien polynomien muodostamassa VA:ssa.)

(b)
Osoita, että funktiot $f_1(t)=\cos t$, $f_2(t)=\sin t$ ja 
$f_3(t)=\cos(t+\frac{\pi}{3})$ ovat $LRV$ ${\cal C}^1$:ssä.


(c) 
(a) Osoita, että funktiot $\cos 3t, \sin 3t, t\cos 3t, t \sin 3t$
ovat LRT.



\item
(a)
Osoita muodostamalla sopiva kanta, että korkeintaan astetta 
$n$ olevien polynomien muodostaman
VA:n ${\cal P}_n$ dim $= n+1$.


%(b) %Et saa katsoa tätä, ennenkuin olet tehnyt (a):n. // 
%Osoita, että myös
%$\lbrace p,p',p'',p'''\rbrace$ on ${\cal P}_3$:n kanta, missä 

%$p(t)=71 t^3-27t^2-375t+2001 .

(b) Osoita, että kaikkien polynomien avaruus ${\cal P}$
on ääretönulotteinen.



\item % LAODE s. 197, teht. 5, vastauskirja s. 59, luentoprujut ss. 8-9.

(a)
Matriisi 
$A=\left [\begin {array}{cccc} 1&2&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0
\\\noalign{\medskip}0&0&0&1\end {array}\right ]
$
on {\it rref}-muodossa.
Määritä vastaavan HY:n ratkaisujoukko sopivien vektorien viritelmänä 
("\textit{span}").

(b) Määritä matriisien $A$ ja $A^T$ nolla-avaruudet kantavektorien viritelminä,
kun
\begin{verbatim}
>>  A=reshape(1:35,5,7)
>>  AT = A'   
\end{verbatim}

\item
Olkoon $A=\left [\begin {array}{cccc} 1&3&-1&4\\\noalign{\medskip}2&1&5&7
\\\noalign{\medskip}3&4&4&11\end {array}\right ]$

(a) Määritä sarakeavaruuden kanta.\\
(b) Määritä riviaruuden kanta.\\
(c) Määritä nolla-avaruuden (ytimen) kanta.\\
(d) Lausu rivivektorit/sarakevektorit rivi/sarakekantavektorien avulla.

Miten näiden dimensiot suhtautuvat toisiinsa.
Perustyökalu on {\tt rref}. Tarkistukseen esim. {\tt rank, null}.


\item
Lisäksi viime viikon (harj 3 LV) tehtävät 4,5,6


%Yleisön pyynöstä jätetään tällä kertaa tähän. 
%Vapaata harjoittelua, ei rastia.

%paitsi jos itse keksit hyvän tehtävän
%ja ratkaiset.

\end{enumerate}



\section*{Lineaarialgebran kertausta}

\subsection*{Lineaarinen riippuvuus/mattomuus, LRV/LRT}


{\bf Lineaarinen riippumattomuus/riippuvuus (LRT/LRV), virittäminen} 
Vektorit $\textbf{v}_1, 
\textbf{v}_2, \hdots,\textbf{v}_n
 \in \R^m$ ovat {\em lineaarisesti riippumattomia}, jos 
vektoriyhtälöllä
$$x_1\textbf{v}_1 + \hdots + x_n\textbf{v}_n=0$$
on vain triviaaliratkaisu $x_1 = x_2 = \hdots = x_n =0$.

Päinvastaisessa tapauksessa (siis jos muitakin ratkaisuja kuin 0-ratkaisu
on), vektorijoukkoa sanotaan {\em lineaarisesti riippuvaksi} (LRV). \\
Muistammehan, että tällainen vektoriyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
matriisi $\times$ vektori $=$ vektori (tässä $0$-vektori).
(sarakeajattelu $\iff$ riviajattelu) Vrt. esim. teht. 2b), jossa mennään
päinvastaiseen suuntaan. \\
Kysymys palautuu siten homogeeniyhtälön ratkaisujen lukumäärän 
selvittämiseen (onko vain yksi vai useita). \\
{\bf Virittäminen}. Vektorijoukko 
$\V{v_1},\ldots, \V{v_k} $ {\bf virittää} avaruuden $V$, jos 
$\forall {\bf v} \in V \ \  \exists
c_1,\ldots, c_k$ siten, että ${\bf v}=c_1{\bf v}_1+\ldots +c_k{\bf v}_k$.

{\bf Kanta ja dimensio}

Avaruuden {\bf kanta} tarkoittaa vektorijoukkoa, joka 
a) on lin. riippumaton ja b) virittää koko avaruuden.\\
Avaruuden {\bf dimensio} on luku $n$, joka ilmaisee maksimimäärän LRT 
vektoreita,
joka avaruuteen mahtuu. Avaruudessa, jonka dim = n, on siten n kpl. LRT
vektoreita, mutta jokainen n+1 vektoria (tai enemmän) käsittävä joukko
on LRV.

Jos tunnetaan avaruuden dimensio = n, niin mikä tahansa n vektoria
käsittävä LRT joukko on kanta. Samoin mikä tahansa koko avaruuden virittävä
n:n vektorin joukko on kanta.\\

\end{document}

%(Kts. {\tt http://www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/L2-4.html}
%lopussa on lause, nimeltään {\tt n=dim:VIR<=>LRT} )



%\subsection*{Sisätulo, ortogonaalisuus, lineaarikuvaus}


\end{document}



\item  LAODE s. 197, t. 9 (piti luntata...)
Annettu $2\times 4$-matriisin $A$ määräämän HY:n $A x = 0$ 
ratkaisuavaruuden virittävät vektorit:
$v_1=(1,-1,0,0)$ ja $v_2=(0,0,1,-1)$.

Määritä matriisi $A$. 
(Tässä siis mennään muodosta 2) muotoon 1).)


\item  s. 197
Joitakin teht. virittävistä funktiojoukoista ja toisaalta virittävistä
joukoista yleisessä VA:ssa.

\item
Olkoon \V{w} vektoriavaruuden $V$ vektori. Osoita, että 
$\lbrace \V{w},0 \rbrace$ ja $\lbrace \V{w},-\V{w} \rbrace$ ovat $LRV$.



\end{enumerate}


\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}


\begin{enumerate}

\item

\item
s. 205 jokunen vektorijoukko, malli annettu a. 204.


\item{[Gree s. 15]}
M\"a\"arit\"a seuraavien lineaaristen systeemien ratkaisujoukot Gauss-Jordanin menettelyll\"a. 

(Opettele mieluusti k\"asittelem\"a\"an teht\"avi\"a
pelk\"ast\"a\"an kerroinmatriisien avulla.)


a)
$\begin{cases}
        2x+y+z=10 \\
        3x +y -z =6 \\
       x-2y-4z=-10 
\end{cases}$
\qquad
b)
$\begin{cases}
x_1-x_2+2x_3+x_4=-1  \\
        2x_1+ x_2+ x_3- x_4=4  \\
        x_1+2 x_2- x_3-2x_4=5  \\
        x_1 + x_3 =1   
\end{cases}
$

\item
Määritä matriisin 
$\left [\begin {array}{ccc} 2&3&1\\\noalign{\medskip}1&1
&-2\\\noalign{\medskip}0&1&4\end {array}\right ]$
käänteismatriisi Gauss--Jordanin menetelmällä.

Vast:

\begin{verbatim}

>> A=[2 3 1;1 1 -2;0 1 4];
>> AA=[A,eye(3,3)]

AA =

     2     3     1     1     0     0
     1     1    -2     0     1     0
     0     1     4     0     0     1

>> rref(AA)

ans =

     1     0     0     6   -11    -7
     0     1     0    -4     8     5
     0     0     1     1    -2    -1

>> inv(A)

ans =

     6   -11    -7
    -4     8     5
     1    -2    -1

\end{verbatim}




\item %2Osoita, ett\"a $m\times n$ lineaarisella homogeenisysteemill\"a on aina
\"a\"arett\"om\"an monta ratkaisua, 
jos $n>m$ (tuntemattomia enemm\"an kuin yht\"al\"oit\"a).

{\bf Vihje:} Mieti, miten kirjan ja luentojen $''q''$ suhtautuu lukuun
$n$.

%\item
%N\"ayt\"a, ett\"a vektorit \V{u}$=(0,2,5)$ , \V{v}$=(3,1,-2)$, \V{w}$=(-12,2,23)$
%ovat saman tason suuntaiset. M\"a\"arit\"a \V{u}:n koordinaatit kannassa
%$\{$ \V{v,w} $\}$

\item{[Gree s. 44 1b]}
a) Viritt\"av\"atk\"o vektorit $(0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,1,1)$
avaruuden $R^4$?

b) Osoita, että vektorit
${\bf v}_1=(1,1,0),{\bf v}_2=(0,1,1) $ja ${\bf v}_3=(1,0,1)   $
muodostavat avaruuden $R^3$ kannan. Mitk\"a ovat vektorin
${\bf x} = (1,2,3)$ 
koordinaatit t\"ass\"a kannassa?

\item{[Gree s. 60]} Olkoot
$\V{u_1}=(1,0,0),..., \V{u_7}=(3,2,2) $.

Määritä a) dim(sp$\{\V{u_1}\}$), b)dim(sp$\{\V{u_1,u_2}\}$) ,
c) dim(sp$\{\V{u_1,u_2,u_3}\}$), d) ...


\item
a) M\"a\"arit\"a kaksi $R^3$:n vektoria, jotka viritt\"av\"at 
tason $x_1-2x_2+4x_3=0$.
(Valinnanvaraa on.)

b)  Olkoon $P_2$ korkeintaan astetta $2$ olevien polynomien muodostama 
vek\-to\-ri\-ava\-ruus. Selvit\"a, ovatko t\"ah\"an avaruuteen kuuluvat 
polynomit 
$x-2x^2,\ \ x^2-4x$ ja $-7x+8x^2$
lineaarisesti riippuvat vai riippumattomat.

\item{[Gree 96]}
Määritä seuraavien hypertasojen dimensiot:

a) $x_1-x_2+5x_3+x_4=0 \ \ R^4$:ssä

b) $x_1-2x_4+x_6=0  \ \ R^6$:ssa.



\item
Osoita, ett\"a vektorit 


\item   LAODE s. 191 t.1 ja 3

(a) Osoita, että vektorin $v=(1,-1,-1)$ kaikkien skalaarikerrannaisten,
ts. muotoa $\lambda v$, $\lambda \in \R$ olevien vektorien joukko, 
muodostaa $\R^3$:n aliavaruuden.

%\end{enumerate}
%\end{document}
(b) Olkoon
$
A=\left[\begin{array}{ccc} 1&1&0\\
\noalign{\medskip}1&-1&1\end {array}\right ].
$

Osoita, että $\lbrace x\in \R^3 | A x = 0 \rbrace$ on $\R^3$:n
aliavaruus.

\item 
Jokunen teht. s. 192: Onko seuraava joukko aliav. vai ei?

\item
(a) Osoita, että diffyhtälön $x'=2x$ ratkaisujoukko on ${\cal C}^1$:n
aliavaruus.

(b) Osoita, että diffyhtälösysteemin $X'=AX$, missä $A$ on $2\times 2$-
matriisi, ratkaisujoukko on ${\cal C}^2$:n aliavaruus. 


\item LAODE s. 196  (ratk: luentos. 6, ratk. kirja s. 59)
Kirjoita ratkaisujoukko kahden vektorin lineaarikombinaationa.

Jos kaksi oppilasta saa eri "kantavektorit", miten varmistutaan, että
ne virittävät saman ratkaisuavaruuden.
Eräs tapa: 
\begin{verbatim}
>> V=[1 0;0 1;-4 2]
>> U1=[-1:0:4]; U2=[1;2;0]
VU1=[V,U1]; VU2=[V,U2];
rref(VU1),rref(VU2)
\end{verbatim}
Ja sama toisinpäin.

Teorian mukaan on tultava samat, koska Gauss-askeleet tuottavat
ekvivalentit systeemit.

(a) $4x-2y+z=0$ %\quad (b) $$
%\quad (c) $$ \quad (d) $$

\item  LAODE s. 197, teht. 5, vastauskirja s. 59, luentoprujut ss. 8-9.
Matriisi 
$A=\left [\begin {array}{cccc} 1&2&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0
\\\noalign{\medskip}0&0&0&1\end {array}\right ]
$
on {\it rref}-muodossa.
Määritä vastaavan HY:n ratkaisujoukko sopivien vektorien viritelmänä 
("\textit{span}").

\item  LAODE s. 197, t. 9 (piti luntata...)
Annettu $2\times 4$-matriisin $A$ määräämän HY:n $A x = 0$ 
ratkaisuavaruuden virittävät vektorit:
$v_1=(1,-1,0,0)$ ja $v_2=(0,0,1,-1)$.

Määritä matriisi $A$. 
(Tässä siis mennään muodosta 2) muotoon 1).)

\item  s. 197
Joitakin teht. virittävistä funktiojoukoista ja toisaalta virittävistä
joukoista yleisessä VA:ssa.

\item
Olkoon \V{w} vektoriavaruuden $V$ vektori. Osoita, että 
$\lbrace \V{w},0 \rbrace$ ja $\lbrace \V{w},-\V{w} \rbrace$ ovat $LRV$.

\item
Osoita, että polynomit $p_1(t)=2+t$, $p_2(t)=1+t^2$, 
$p_3(t)=1-t^2$ ovat $LRT$ vektoriavaruudessa ${\cal C}^1$.
(Yhtä hyvin polynomiavarudessa ${\cal P}$ tai vieläkin suppeammassa,
korkeintaan astetta 2 olevien polynomien muodostamassa VA:ssa.)

\item
Osoita, että funktiot $f_1(t)=\cos t$, $f_2(t)=\sin t$ ja 
$f_3(t)=\cos(t+\frac{\pi}{3}$ ovat $LRV$ ${\cal C}^1$:ssä.


\end{enumerate}


\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}


\begin{enumerate}

\item

\item
s. 205 jokunen vektorijoukko, malli annettu a. 204.

\item 11 s. 205:

(a)
Valitse satunnaisesti 3 $\R^3$:n vektoria näin:
\begin{verbatim}
>>y1=rand(3,1), y2=rand(3,1),y3=rand(3,1)
\end{verbatim}
Selvitä vektoreiden LRV/LRT. Arvele ensin, tee sitten.
Kokeile sekä {\tt null}- että {\tt rref}- komentoja.

(b)
Muutaman kokeilun jälkeen kirjoita kaikki komennot samalle riville, käytä
puolipistettä kaikissa niissä, joiden tulosta ei ole tarpeen nähdä ja 
napsuttele \fbox{$\uparrow$}-näppäintä.

Ratkaisuab:
%y1=rand(3,1);y2=rand(3,1);y3=rand(3,1);null([y1,y2,y3]), rref([y1,y2,y3])
\begin{verbatim}
y1=rand(3,1);y2=rand(3,1);y3=rand(3,1);
null([y1,y2,y3]), rref([y1,y2,y3])
\end{verbatim}

(c) Toista koe valitsemalla satunnaisesti 4 vektoria $\R^3$:sta.
(Teknisesti kannattanee käyttää jo kahta riviä Matlab-istunnossa.)

Ratkaisuc:

\begin{verbatim}
y1=rand(3,1);y2=rand(3,1);y3=rand(3,1);y4=rand(3,1);
null([y1,y2,y3,y4]), rref([y1,y2,y3,y4])
\end{verbatim}

(d) Kumpi kohtien (b)/(c) koetuloksista ilmentää varmaa tietoa ja kumpi
todennäköistä ?


{\bf Tässä alkaisi olla aika hyvä paikka esitellä numeerista puolta asioista.}

\item 14.6.01 (LAODE s. 210)
Tämä on käsinlaskutehtävä, mutta varsinaiset laskutoimitukset saa mielellään
tehdä Matlabilla. (Kone tehköön likaisen työn, ihminen korkampaa älyä
ja sivistystä vaativan päättelyn.)

 (a) Osoita, että vektorit $\V{u}_1,\V{u}_2,\V{u}_3$ muodostavat $\R^3$:n
kannan.

(b) Olkoon ${\cal S}=$sp$\lbrace \V{u}_1,\V{u}_2,\V{u}_3 \rbrace$, missä
$\V{v}_1=(1,0,-1,0),\V{v}_2=(0,1,1,1),\V{v}_3=(5,4,-1,4)$.
Määritä ${\cal S}$:n dimensio ja jokin kanta.

(c) Määritä matriisin 
\begin{verbatim}
        A=[1 0 -1 2;1 -1 0 0;4 -5 1 -2]
\end{verbatim}
nolla-avaruus (ydin) ja sen dimensio. ("Avaruuden" määrittäminen 
tarkoittaa virittäjistön, mieluiten kannan etsimistä.)

\item LAODE s. 211, t. 6
(a) Osoita, että korkeintaan astetta $3$ olevien polynomien muodostaman
VA:n ${\cal P}_3$ dim $= 3$.

(b) %Et saa katsoa tätä, ennenkuin olet tehnyt (a):n. // 
Osoita, että myös
$\lbrace p,p',p'',p'''\rbrace$ on ${\cal P}_3$:n kanta, missä 
$p(t)=71 t^3-27t^2-375t+2001 .$

\item Teht. 7 s. 211
Olkoon $\V{u} \in \R^n$ nollasta erillinen vektori.

(a) Osoita, että $n\times n$-matriisi $A=u^T u$ on symmetrinen ja 
rank$(A)=1 .$ \\
Vihje: osoita, että $Av^T=0$ kaikille $v\in \R^n$, joka on kohtisuorassa
u:ta vastaan ja että $AU^T$ on $u^T$:n kerrannainen.

(b) Osoita, että matriisi $P=I_n+u^Tu$ on kääntyvä.\\
Vihje: osoita: rank(P)=n.


\end{enumerate}

\subsubsection*{2000 V3}


\begin{enumerate}

\item
Olkoot A,B,C ja D lineaarisen yhtälösysteemin 
liitännäismatriiseja.

$Ab=\left [\begin {array}{cccc} 1&0&0&3\\\noalign{\medskip}0&2&1&1
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0\end {array}\right ]$
$Bb=\left [\begin {array}{ccccc} 1&2&0&0&3\\\noalign{\medskip}0&1&1&0&1
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&2\end {array}\right ]$

$Cb=\left [\begin {array}{cccc} 1&0&2&1\\\noalign{\medskip}0&5&0&2
\\\noalign{\medskip}0&0&4&3\end {array}\right ]$
$Db=\left [\begin {array}{ccccc} 1&0&2&0&3\\\noalign{\medskip}2&3&6&1&16
\\\noalign{\medskip}0&3&2&1&10\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&0
\end {array}\right ]$

Selvitä kussakin tapauksessa ratkaisujen lukumäärä (ei ratkaisuja,
yksikäs. ratk., äärettömän monta). Viimeksi mainitussa tapauksessa
selvitä myös vapaiden parametrien lukumäärä.


\item
\kohta{a}{ Viritt\"av\"atk\"o vektorit $(0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,1,1),
(1,1,1,1)$ avaruuden $\R^4$?}

\kohta{b}{ Osoita, että vektorit
${\bf v}_1=(1,1,0),{\bf v}_2=(0,1,1) $ja ${\bf v}_3=(1,0,1)   $
muodostavat avaruuden $\R^3$ kannan. Mitk\"a ovat vektorin
${\bf x} = (1,2,3)$
koordinaatit t\"ass\"a kannassa?

       }


{\bf Vihje:}
a) Peruskäsitteitä, kuten virittäminen on koottu tehtäväpaperin loppuun.
Poimitaan kuitenkin vielä tähän tilanteeseen kuuluva muoto: \\
{\bf Virittäminen} tarkoittaa tässä: $\forall {\bf v} \in \R^4 \ \  \exists
x_1,...,x_4$ siten, että ${\bf v}=x_1{\bf v}_1+...+x_4{\bf v}_4$.

b)
Kirjoita vektorit sarakevektoreiksi ja muuta ``sarakeajattelu riviajatteluksi''
%(siis päinvastoin kuin teht. 1b)).


\end{enumerate}

\subsection*{Loppuviikko}

\begin{enumerate}

\item
Suorita Matlabilla Gaussin rivioperaatiot seuraavan yhtälösysteemin 
saattamiseksi porrasmuotoon (``row-echelon form''). 
$$\begin{cases}     
      2x_1 + 3x_2  -4x_3  + x_4 = 2\\      
      3x_1  -x_2   -x_3 + 2x_4  = 4\\      
      x_1   -7x_2  +5x_3  -x_4  = 6
\end{cases}$$
Kirjoita Matlab-funktiotiedosto {\tt ratkaisu.m} (tai jos keksit jonkun
vielä mielikuvituksellisemman), jonka argumenttina on vapaasti valittavissa
oleva parametri (jos sellainen sattuu putkahtamaan).

Täydennä rivioperaatioitasi takaisinsijoitusoperaatioilla, joilla saat
liitännäismatriisin ``rref-muotoon''. 
Kenties innostusta vielä riittää tehdä hieman yksinkertaisempi ``ratkaisu''-
funktio.

Tämä tehtävä soveltuu myös erinomaisesti Maplella tehtäväksi, mutta ei
kannata uhrata energiaa rivioperaatioihin toisella syntaksilla. Sensijaan
parametreista riippuvat ratkaisut tulevat Maplella kauniimmin.

({\tt gausselim, gaussjord, backsub, linsolve})

\item
Otetaan tuntumaa tason lineaarikuvauksiin. 
Visualisointivälineenä on Laode-ohjelma map.
(Muistele C1-kurssin Strangin taloharjoitelmia.)

Ensin muutama "teoria"kysymys:
Muodosta $2\times 2$-matriisi, joka 

\begin{itemize}

\item kiertää tason vektoreita
$30^\circ$

\item
kiertää $90^\circ$ ja venyttää kertoimella $2$.

\item
Heijastaa suoran $y=x$ suhteen.

\end{itemize}

\item{{\tt laode-map}}
Lopuksi huvittelua:
Tee laode ss. 71--72 "Computer Exercises" joitakin 
kiintoisan tuntuisia. Huvin lisäksi yritä ottaa hyötyä irti.


\end{enumerate}

\section*{Lineaarialgebran kertausta}

\subsection*{Lineaarinen riippuvuus/mattomuus, LRV/LRT}


{\bf Lineaarinen riippumattomuus/riippuvuus (LRT/LRV), virittäminen} 
Vektorit $\textbf{v}_1, 
\textbf{v}_2, \hdots,\textbf{v}_n
 \in \R^m$ ovat {\em lineaarisesti riippumattomia}, jos 
vektoriyhtälöllä
$$x_1\textbf{v}_1 + \hdots + x_n\textbf{v}_n=0$$
on vain triviaaliratkaisu $x_1 = x_2 = \hdots = x_n =0$.

Päinvastaisessa tapauksessa (siis jos muitakin ratkaisuja kuin 0-ratkaisu
on), vektorijoukkoa sanotaan {\em lineaarisesti riippuvaksi} (LRV). \\
Muistammehan, että tällainen vektoriyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
matriisi $\times$ vektori $=$ vektori (tässä $0$-vektori).
(sarakeajattelu $\iff$ riviajattelu) \\
Kysymys palautuu siten homogeeniyhtälön ratkaisujen lukumäärän 
selvittämiseen (onko vain yksi vai useita). \\
{\bf Virittäminen}. Vektorijoukko 
$\V{v_1},\ldots, \V{v_k} $ {\bf virittää} avaruuden $V$, jos 
$\forall {\bf v} \in V \ \  \exists
c_1,\ldots, c_k$ siten, että ${\bf v}=c_1{\bf v}_1+\ldots +c_k{\bf v}_k$.

{\bf Kanta ja dimensio}

Avaruuden {\bf kanta} tarkoittaa vektorijoukkoa, joka 
a) on lin. riippumaton ja b) virittää koko avaruuden.\\
Avaruuden {\bf dimensio} on luku $n$, joka ilmaisee maksimimäärän LRT 
vektoreita,
joka avaruuteen mahtuu. Avaruudessa, jonka dim = n, on siten n kpl. LRT
vektoreita, mutta jokainen n+1 vektoria (tai enemmän) käsittävä joukko
on LRV.

Jos tunnetaan avaruuden dimensio = n, niin mikä tahansa n vektoria
käsittävä LRT joukko on kanta. Samoin mikä tahansa koko avaruuden virittävä
n:n vektorin joukko on kanta.\\
(Kts. {\tt http://www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/L2-4.html}
lopussa on lause, nimeltään {\tt n=dim:VIR<=>LRT} )


\subsection*{Sisätulo, ortogonaalisuus, lineaarikuvaus}


Tason $\R^2$ ja avaruuden $\R^3$ sisätulo (pistetulo, skalaaritulo) yleistetään
$\R^n$:ään määrittelemällä vektoreille $\textbf{u}=(u_1,\hdots u_n)$ ja
$\textbf{v}=(v_1,\hdots v_n)$
$$(\textbf{u},\textbf{v})=\sum_{k=1}^n u_k v_k$$ 

\textbf{Sisätulon perusominaisuudet}
$$(\textbf{u},\textbf{v})=(\textbf{v},\textbf{u})$$
$$(\textbf{u},\textbf{u}) \ge 0, =0 \iff \textbf{u}=\textbf{0}$$
$$(c\textbf{u}+d\textbf{v},\textbf{w})=c(\textbf{u},\textbf{w})+
d(\textbf{v},\textbf{w})$$

Pituus eli normi: $||{\textbf{v}}||=\sqrt{(\textbf{v},\textbf{v}})$

\textbf{Ortogonaalisuus}

Jos $(\textbf{u},\textbf{v})=0$, sanotaan: $\textbf{u}$ ja $\textbf{v}$ 
{\em ortogonaaliset}.\\
Joukko (yksikkö)vektoreita $\lbrace\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\hdots,
\textbf{e}_m
\rbrace$ on {\em ortonormaali} (ON), jos  $(\textbf{e}_i,\textbf{e}_j)=
\delta_{i,j}$, missä $\delta_{i,j}=1$, kun $i=j$ ja $0$, kun $i\ne j$.

Jos joukko 
$\lbrace\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\hdots,
\textbf{e}_m\rbrace$ on (ON), niin vektorin $\textbf{v}\in \text{sp}
\lbrace\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\hdots,\textbf{e}_m\rbrace$
koordinaattiesitys on helppo muodostaa:\\
$$\textbf{v}=\sum_{i=1}^m (\textbf{v},\textbf{e}_i)\textbf{e}_i$$

Jos vektorit ovat ortogonaaliset ja $\ne 0$, niin normeerataan (jaetaan 
normilla).

Tätä esitystä kutsutaan toisinaan {\em Fourier-esitykseksi}. (Nimitys
selvenee Fourier-sarjojen yhteydessä.)

{\bf Ortogonaalinen matriisi} on sellainen, jonka sarakevektorit muodostavat
{\bf ortonormaalin} joukon.

Matriisin $V$ ortogonaalisuusehto voidaan ilmaista kätevästi:
$ V^T V = I $  (mieti hetki!)

%\textbf{Lineaarikuvaus}

%Matriisi määrää lineaarikuvauksen (ja kääntäen). Tason 
%tapauksessa siis $2 \times 2$-matriisi.

%Tehtävässä 6 on tarkoitus vain ottaa yleinen tason vektori $(x,y)$, laskea
%sen kuva ao. matriisilla kerrottaessa, havainnollistaa piirroksella ja
%keksiä kuvaava nimitys.


%\textbf{Determinantit}

%Laode-kirjassa käsitellään $2\times 2$-matriisien 
%determinantteja.




\begin{verbatim}


A=[2 3 -4 1;3 -1 -1 2;1 -7 5 -1]
b=[2;4;6]
Ab=[A b]
>> rref(Ab)
ans =
      1            0            0          21/8         -7/4     
      0            1            0          11/4         -9/2     
      0            0            1          25/8        -19/4   




keritsimet (noun) 
                         .
                         shear (infinitiivi)
                         sheared (imperfekti)
                         shorn (part.perfekti)
                         keritä (verb) 
                         leikata (verb) 
                         riistää (verb) 

\end{verbatim}

Rohkeus petti laittaa tätä:
\item
% GRE teht. 4, s. 408
Tarkastellaan 20 yhtälöä ja 14 tuntematonta käsittävää lineaarista 
yhtälösysteemiä. Voiko systeemi(llä) olla a) yksikäsitteinen ratkaisu,
b) epäkonsistentti (ei ratk.), c) $2$-parametrinen ratkaisujoukko,
d) $13$-parametrinen ratkaisujoukko.

Perustele kukin tapaus. Käytä perustelusi tukena
kuvaa, jossa kutakin tapausta esittää porrasmuotoon 
saatettu 
$20\times 15$ liitännäismatriisi, jossa
merkitset $0$:lla $0$:aa, $1$:llä nollasta poikkeavaa 
ja x:llä lukua, joka voi olla kumpaa vaan.
Mikä on kussakin tapauksessa kerroinmatriisin 
A rangi (rank)?

\item
Matlab-tehtävä, aiheena lineaarikuvausten havainnollistus ``Strangin taloa''
kuvaamalla.
www-kotisivulla on viite \matl-teksteihin kohdassa harj3 
Siellä on mm. seuraava (nopeampi tapa voi olla näppäily)
\begin{verbatim}
T=[0 0 -1 6 13 12 12 3 3 6 6 0;0 9 8 15 8 9 0 0 5 5 0 0]
plot(T(1,:),T(2,:)
\end{verbatim}
Tässä siis piirretään kuvio, jonka x-koordinaatit ovat matriisin 1. rivillä
ja y-koordinaatit 2. rivillä  (siis sarakkeet muodostavat (x,y)-koordinaattiparit).


Olkoon $A$ $2\times 2$-matriisi ja $F_A$ sen  m\"a\"ar\"a\"amä 
lineaarikuvaus, Siten (pysty)vektorin ${\bf x}$ kuva ${\bf y}$ saadaan kertolaskulla
${\bf y}=A{\bf x}$. 
Piste{\bf joukko} voidaan kuvata kokoamalla $R^2$:n 
pisteet sarakkeiksi
matriisiin (kuten {\tt T} yllä) ja kertomalla se kuvausmatriisilla $A$. 
Niinp\"a  talon
nurkkapisteiden kuvat saadaan suoraan kertomalla "talomatriisi" $T$ $A$:lla, 
ts. $S=A T$.

Olkoon $A$ ``kiertomatriisi'' 
$A= \left [\begin {array}{cc} \cos \theta &-\sin \theta \\
            \sin \theta &\cos \theta \\   \end {array}\right ]$

Suorita {\tt th=pi/4;A=[...;...]; S=T;} ja $\nn$-iteroi sitten riviä:
\begin{verbatim}
>> S=A*S;plot(S(1,:),S(2,:))
\end{verbatim}

Yritä ennustaa, miten talo kuvautuu seuraavissa kuvauksissa ja kokeile
sitten. (Kunhan nyt katsot muutaman). Matriisit on annettu tilan säästämiseksi
\matl-syntaksin mukaisina.
\begin{verbatim}
  [1 0; 0 -1]; [-1 0; 0 1]; [0 1; -1 0];[0 1; 1 0];[.5 0; 0 .5]; [2 0; 0 2]
  [1 0; 1/3 2/3];[1 1/4; 1/4 1]
\end{verbatim}

Olkoon $A$ ``kiertomatriisi'' (vrt. alkuviikko teht. 2)
$A= \left [\begin {array}{cc} \cos \theta &-\sin \theta \\
            \sin \theta &\cos \theta \\   \end {array}\right ]$

Suorita {\tt S=T;} ja $\nn$-iteroi sitten riviä:
\begin{verbatim}
>> S=A*S;plot(S(1,:),S(2,:))
\end{verbatim}
Kuva käyttäytynee odotuksiesi mukaisesti. Kokeile myös käänteiskuvauksen
vaikutusta.

Mieti kuvausta havainnollisesti ajatellen, voiko $F_A$:lla olla reaalisia
ominaisarvoja. Kokeile \matl-komentoja {\tt eig(A)} ja {\tt [V,D]=eig(A)}.
Jos tulos ei vastaa intuitiotasi, yritä selittää miksi (selitä nyt jotain, 
vaikka vastaisikin).

\begin{verbatim}
>> x=cos(t);y=sin(t);plot(x,y),axis equal;axis square
>> Y=[x;y]; 
>> hold on;S=A*B*Y;plot(S(1,:),S(2,:),'w')
\end{verbatim}

\end{document}


Jos kaksi oppilasta saa eri "kantavektorit", miten varmistutaan, että
ne virittävät saman ratkaisuavaruuden.
Eräs tapa: 
\begin{verbatim}
>> V=[1 0;0 1;-4 2]
>> U1=[-1:0:4]; U2=[1;2;0]
VU1=[V,U1]; VU2=[V,U2];
rref(VU1),rref(VU2)
\end{verbatim}
Ja sama toisinpäin. Teorian mukaan on tultava samat, koska Gauss-askeleet 
tuottavat ekvivalentit systeemit.Selvitä itsellesi!






