Kriittiset pisteet, min/max

12.3.02

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> with(linalg): with(LinearAlgebra): with(plots):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding

> setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Esim

> f:=x*y*exp(-(x^2+y^2)/2);

> f1:=diff(f,x);f2:=diff(f,y);

> f11:=diff(f1,x);

> f12:=diff(f1,y): f12:=simplify(%);

> factor(%);

> f22:=diff(f2,y);factor(%);

> solve({f1=0,f2=0},{x,y});

> H:=<<f11,f12>|<f12,f22>>:

> H00:=subs(x=0,y=0,H);

> Eigenvalues(H00);

> H11:=subs(x=1,y=1,H),piste=[1,1];Hm11:=subs(x=-1,y=1,H),piste=[-1,1];Hm1m1:=subs(x=-1,y=-1,H),piste=[-1,-1];H1m1:=subs(x=1,y=-1,H),piste=[1,-1];

Pisteet (1,1) ja (-1,-1) ovat max (neg. def.), pisteet (1,-1) ja (-1,1) ovat min (pos. def.)

> plot3d(f,x=-2..2,y=-2..2);

> plot3d(f,x=-4..4,y=-4..4);

Esimerkki 3:n muutt. fkt:sta

> f:=x^2*y+y^2*z+z^2-2*x;

> KRPyht:={diff(f,x)=0,diff(f,y)=0,diff(f,z)=0};

> solve(KRPyht,{x,y,z});

> map(allvalues,[%]);

> %%[1];

Tämä on ainoa reaalijuuri.

> H:=Matrix(hessian(f,[x,y,z]));

> Hp:=subs(y = 1, x = 1, z = -1/2,H);

> Eigenvalues(Hp);evalf(%);

Satulapiste. 1. ja 3. tai 2. ja 3. muodostavat satula-akseliparin.

> ff:=unapply(f,x,y,z);

> plot3d(ff(x,1,z),x=0..2,z=-1..0,labels=[x,z,'f'],title="xz-tason suunnassa");

> plot3d(ff(1,y,z),y=0..2,z=-1..0,title="yz-tason suunnassa");

Nähdään: 1) Jos pidetään y:llä kiinteä arvo y=1 ja liikutaan siis xz-tason suuntaan KRP:stä, niin f kasvaa.
2) Jos pidetään x:llä kiinteä arvo x=1 ja liikutaan yz-tason suuntaan KRP:stä, niin f pienenee.

Siispä todellakaan f:llä ei ole ääriarvoa KRP:ssä

KRP-yhtälön ratkaisu numeerisesti

Todellisuudessa KRP-yhtälösysteemin ratkaisu onnistuu vain harvoin analyyttisesti. Numeerisen ratkaisijan fsolve käyttö vaatii alkuarvojen tunnustelemista. 2 muuttujan tapauksessa piirtely on suureksi avuksi. Tässä vähän vihjettä

> #f:=(x,y)-> ...;g:=Vector(grad(f(x,y),[x,y]));

> H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y])):

> KRPyht:=g[1]=0,g[2]=0:

> display(implicitplot(g[1]=0,x=0.5..2,y=0.5..2),implicitplot(g[2]=0,x=0.5..2,y=0.5..2,color=blue)):

Kannattaa valita hiirellä alkuarvoja, jotka voi antaa fsolvelle tyylin:

> KRPa:=fsolve({KRPyht},{x=xa,y=ya});