[Up]
http://www.math.hut.fi/teaching/v/2/02/L/kompluvut.html   15.1.02

Kompleksiluvuista

Kirjallisuutta

  1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, 8. painos Part D Complex Analysis, s. 651 - >
  2. [AG] Kivelä: Algebra ja geometria 3. Kompleksiluvut s. 41 ->
  3. [RA] Kivelä: Reaalimuuttujan analyysi Luku 5 ss. 72 - 75

Yhteenveto 1. luennosta ti 16.1

1. Luento alkaa

Kompleksiluku on yksinkertaisesti järjestetty reaalilukupari: z=(x,y) Kyseessä on vanhan tutun R2:n vektori.

Vitsi piilee siinä, että tavallisten vektorilaskutoimitusten 

      z1+z2 = (x1+x2,y1+y2)
      c z = (c x, c y)
lisäksi määritellään R2:n vektoreille kertolasku 
   z1z2 = (x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)
Määritelmä Kompleksilukujoukko C on reaalinen vektoriavaruus R2 varustettuna lisäksi edellä määritellyllä kertolaskulla.

Muistisääntö kertolaskuun: (Vastinalkioiden tulojen erotus, ristiinkerrottujen summa)

Reaaliakseli (x,0) samastuu reaalilukujoukkoon

Siksi, että

(x1,0)+(x2,0)=(x1+x2,0) ja (x1,0)(x2,0)=(x1x2,0)

Jokainen kompleksiluku z=(x,y) voidaan esittää kannan{(1,0),(0,1)} avulla: 

       z=x(1,0)+y(0,1)
(Huomaa, että reaalisella skalaarilla kertominen (VA-mielessä) on samaa kuin reaalisella kompleksiluvulla kertominen kompleksikertomielessä.)

Imaginaariyksikkö i

Merkitään erityisesti symbolilla i kompleksilukua (0,1) .

Kompleksilukujen käsittelyä Maplella

Vrt. myös [HAM] ss. 37 -39 
> z1:=8+3*I; z2:=9-2*I;
                            z1 := 8 + 3 I
                            z2 := 9 - 2 I
> z1-z2;
                               -1 + 5 I
> z1*z2;
                              78 + 11 I
> z1/z2;
                              66   43
                              -- + -- I
                              85   85
> z1:=x1+I*y1;z2:=x2+I*y2;
                           z1 := x1 + I y1
                           z2 := x2 + I y2
> z1/z2;
                              x1 + I y1
                              ---------
                              x2 + I y2
> evalc(%);

            x1 x2       y1 y2       /  y1 x2       x1 y2  \
          --------- + --------- + I |--------- - ---------|
            2     2     2     2     |  2     2     2     2|
          x2  + y2    x2  + y2      \x2  + y2    x2  + y2 /

Vastaavasti Matlabilla 

» format compact
» z1=8+3*i;z2=9-2*i;
» z1-z2
ans =
  -1.0000 + 5.0000i
» z1*z2
ans =
  78.0000 +11.0000i
» z1/z2
ans =
   0.7765 + 0.5059i
» format long;z1/z2
ans =
  0.77647058823529 + 0.50588235294118i
Symbolista osaa ei Matlabilla voi tehdä (paitsi Maplea kutsuvan symbolic toolboxin avulla, mutta mukavampaa suoraan Maplella toki).
1.luennon loppu

2. luento (ke 17.1.) alkaa

Yhteenveto 2. luennosta

De Moivre, juuret ja potenssit

Maple-funktioita kompleksilukuihin 

conjugate, abs, argument, Re, Im
Sievennykseen 
 evalc, expand, collect

Maple-esimerkki De Moivren kaavan käyttöön 

  z:=cos(Theta)+I*sin(Theta);
  assume(Theta,real):
De Moivre ==> 
  cos(3*Theta)=Re(expand(z^3));
  sin(3*Theta)=Im(expand(z^3));
Komento expand kertoo polynomin auki. Ilman sitä Re ja Im-funktiot eivät osaa.

Grafiikkaa

Kompleksilukupisteiden piirto 
> lista := [1+2*I, 3+4*I, 5-I, 7-8*I]:
> complexplot(lista, x=0..10, style=point);

Kompleksiluvun n:nnet juuret: Maple-piirto 

> with(plots):
> w:=exp(I*2*k*Pi/n);  # ykkösen n:nnet juuret.
> n:=8: pisteet:=complexplot([seq(w,k=0..n-1)],x=-1..1,style=point,scaling=constrained):
> ymp:=complexplot(exp(I*t),t=0..2*Pi,color=blue):
> display([pisteet,ymp],scaling=constrained);
Kompleksilukupisteiden piirtoa