Limes.html

Raja-arvot ja jatkuvuus

Luento 12.2.02 HA

Esim, jossa raja-arvoa ei ole.

> zoom:=(f,x0,y0,w)->plot3d(f(x,y),x=x0-w/2..x0+w/2,y=y0-w/2..y0+w/2,axes=BOX):
# Esim: f:=(x,y)->x*y; zoom(f,0,0,1);zoom(f,0,0,1/2);zoom(f,0,0,1/4);

> f:=(x,y)->2*x*y/(x^2+y^2);

> w:=1:

> zoom(f,0,0,w); w:=w/2: # Toista tätä!

> zoom(f,0,0,w); w:=w/2:

> w:=w/100;

> zoom(f,0,0,w);

Laatikon pystyreunan pituus on 2 kaikissa kuvissa, vaikka deltaa pienennetään kuinka.

Tämä näyttää, että deltaa pienentämällä ei saada funktion arvoja 2:ta matalamman lieriön sisään.

Kokeellisesti nähdään, että raja-arvoa ei varmastikaan ole. (Tämä ei ole matemaattinen todistus, vaan vakuuttava havainnollistus.)

> with(plots):

> implicitplot(f(x,y)=0.5,x=-1..1,y=-1..1);

> contourplot(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1,contours=[.1,.2,.5,1]);

> f(x,y);

> densityplot(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1);

Tämä on varsin luotettava funktio. (Ruutu saa sitä vaaleamman värin, mitä korkeampi arvo funktiolla on.)

>

Esimerkki raja-arvosta (jatkuvuudesta)

> f:=(x,y)->2*x*y/sqrt(x^2+y^2);

> w:=1:

> zoom(f,0,0,w); w:=w/2:

> densityplot(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1);

> implicitplot(f(x,y)=.3,x=-1..1,y=-1..1);

>

Esim, jossa säteittäiset raja-arvot=0, silti ei raja-arvoa

> f:=(x,y)->2*x^2*y/(x^4+y^2);

> plot([seq(f(x,k*x),k=[.5,1,2])],x=-1..1,color=[red,green,blue]);

> sateella:=k->spacecurve([x,k*x,f(x,k*x)],x=-1..1,color=blue,thickness=3);sateella0:=k->spacecurve([x,k*x,0],x=-1..1,color=blue,thickness=3);

> paraabelilla:=k->spacecurve([x,k*x^2,f(x,k*x^2)],x=-1..1,color=red,thickness=2);para0:=k->spacecurve([x,k*x^2,0],x=-1..1,color=red,thickness=2);