Harj. 11 LV

19.4.02 HA ja JP

Alustukset

> restart:
with(plots):with(plottools): with(linalg):
setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

1.

> restart:
with(plots):with(plottools):with(linalg):
setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50],scaling=constrained):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Torus

> x:=cos(u)*(a+b*cos(v));
y:=sin(u)*(a+b*cos(v));
z:=b*sin(v);a:=2:b:=1/2:
u:=0: plot([x,z,v=0..2*Pi],-(a+b)..a+b,scaling=constrained);

Tämä ympyrä, kun pyörähtää z-akselin ympäri, syntyy torus:

> u:='u':x;

> u:='u':plot3d([x,y,z],u=0..2*Pi,v=0..2*Pi);

Katsotaan toruksen sisään jättämällä parametrialueet vajaiksi.

> plot3d([x,y,z],u=0..4*Pi/3,v=-Pi/2..Pi-0.2,axes=none);

Kokeillaan "kiellettyä" tubeplottia.

> tubeplot([cos(t),sin(t),0],t=0..2*Pi,radius=0.3);

> a:='a':b:='b':u:='u':v:='v':

> R:=[x,y,z];

> Ru:=map(diff,R,u);Rv:=map(diff,R,v);

> n:=crossprod(Ru,Rv);

> normi2:=n[1]^2+n[2]^2+n[3]^2:normi2:=simplify(%);

> normi:=sqrt(normi2); normi:=simplify(%,symbolic);

> ala:=int(int(normi,u=0..2*Pi),v=0..2*Pi);

>

>

2. (AV 4)

> restart: with(plots): with(linalg):setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> S:=[3*cos(u),3*sin(u),v];

> pinta:=plot3d(S,u=0..Pi/2,v=0..2,labels=["x","y","z"]):

>

> F:=[exp(2*y),exp(-2*z),exp(2*x)];

> kentta:=fieldplot3d(F,x=0..3,y=0..3,z=0..2):

> display(kentta,pinta);

> r:=S;

> ru:=map(diff,r,u);

> rv:=map(diff,r,v);

> N:=crossprod(ru,rv);

> intf:=innerprod(subs(x=3*cos(u),y=3*sin(u),z=v,F),N);

> Int(Int(intf,u=0..Pi/2),v=0..2);

> tulos:=value(%);

> evalf(tulos),evalf(2*sinh(6));

Ei siitä aivan samaa tule kuin vastauksessa. Tehtävä ja vastaus ovat KRE-kirjasta. Yllä oleva lasku on kyllä oikein, en usko mitenkään, että Maplekaan tällaisissa

rutiinilaskuissa voisi möhliä.

Maagista kylläkin, likiarvot ovat 3:lla numerolla samat, mutta ei tämä silti mikään pyöristysvirhe ole!

3. LV pinta [u*cos(v),u*sin(u),3*v]

> restart: with(plots): with(linalg):setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> F:=[x^2,y^2,z^2];

> r:=[u*cos(v),u*sin(u),3*v];

> pinta:=plot3d(r,u=0..1,v=0..2*Pi):

> kentta:=fieldplot3d(F,x=-1..1,y=-1..1,z=0..3*2*Pi):

> display(pinta,kentta);

> ru:=map(diff,r,u);

> rv:=map(diff,r,v);

> N:=crossprod(ru,rv);

> intf:=innerprod(subs(x=u*cos(v),y=u*sin(u),z=3*v,F),N);intf:=simplify(%);

> Int(Int(intf,u=0..1),v=0..2*Pi);

> tulos:=value(%);

Mikäpä siinä, pintahan se on tuollainenkin.

Tarkoitukseni oli kuitenkin laittaa ruuvipinta, eli kierreporras (Helicon). Lasketaan nyt sekin:

>

3 LV pinta [u*cos(v),u*sin(v),3*v] eli ruuvipinta

> restart: with(plots): with(linalg):setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> F:=[x^2,y^2,z^2];

> r:=[u*cos(v),u*sin(v),3*v];

> pinta:=plot3d(r,u=0..1,v=0..2*Pi):

> kentta:=fieldplot3d(F,x=-1..1,y=-1..1,z=0..3*2*Pi):

> display(pinta,kentta);

> ru:=map(diff,r,u);
rv:=map(diff,r,v);

> N:=crossprod(ru,rv);

> intf:=innerprod(subs(x=u*cos(v),y=u*sin(v),z=3*v,F),N);intf:=simplify(%);

> Int(Int(intf,u=0..1),v=0..2*Pi);

> tulos:=value(%);

Saatiin ainakin sievempi tulos.

4 LV

> restart: with(plots): with(linalg):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> r:=[(2+cos(v))*cos(u),(2+cos(v))*sin(u),sin(v)];

> pinta:=plot3d(r,u=0..2*Pi,v=0..Pi,scaling=constrained,axes=frame):

> display(pinta);

Tässä on siis toruksen puolikas, kun b=1 ja a=2 (vrt. teht. 1)

>

> Ru:=map(diff,r,u);Rv:=map(diff,r,v);

> N:=crossprod(Ru,Rv);

> normi2:=N[1]^2+N[2]^2+N[3]^2:normi2:=simplify(%);

> normi2:=sqrt(normi2);

> Ala:=int(int(normi2,u=0..2*Pi),v=0..Pi); # Teht. 1:ssä laskettiin: Toruksen ala=4Pi^2 ab, puolikkaaksi tulee siis juuri tämä:

> Int(Int(sin(v)*normi2,v=0..Pi),u=0..2*Pi);

> Mz:=value(%); Mz/Ala=evalf(Mz/Ala);

Tässä on z-koordinaatti, joka on se kiinnostava. x0 ja y0 ovat tietysti = 0. Lasketaan nyt nekin:

> Int(Int((2+cos(v))*sin(u)*normi2,v=0..Pi),u=0..2*Pi);

> My:=value(%);

> Int(Int((2+cos(v))*cos(u)*normi2,v=0..Pi),u=0..2*Pi);Mx:=value(%);

> keskio:=[Mx/Ala,My/Ala,Mz/Ala];evalf(keskio);

5. AV

> restart: with(plots): with(linalg):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> g:=sqrt(4*a^2-x^2-y^2);

> muuntosuhde:=sqrt(simplify(1+diff(g,x)^2+diff(g,y)^2));

> muuntosuhde:=simplify(%,symbolic);

> muuntosuhde:=algsubs(x^2+y^2=r^2,%);

> int(int(r*abs(muuntosuhde),r=0..2*a*sin(Theta)),Theta=0..Pi);

> simplify(%,symbolic);factor(%);

Vaihtoehtoisesti pallopinnan palan voisi vaikka näin:

> x:=v*cos(u):
y:=v*(1+sin(u));

> z:=sqrt(4*a^2-x^2-y^2);

> simplify(z^2,symbolic);

> z:=simplify(sqrt(%),symbolic);

> r:=[x,y,z];

> ru:=map(diff,r,u);

> rv:=map(diff,r,v);

> N:=crossprod(ru,rv);

> N:=map(simplify,%);

> normi2:=norm(N,2)^2;

> simplify(%,symbolic);

> muunto:=sqrt(%);

> Int(Int(muunto,u=0..2*Pi),v=0..a);

> evalf(%);

Error, (in evalf/int) unable to handle singularity

>

Tätä ei Maple pysty integroimaan, edes numeerisesti. (Voisihan tuohon soveltaa noita Gauss-kapineitamme.)