H/harj10lv

12.4.02 HA

Tässä mukana myös AV

Alustukset

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> with(plots):with(plottools):

Warning, the name arrow has been redefined

> setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Annamme erityisesti erilaisia piirtämisohjeita. Aloitetaan AV-tehtävistä.

Kts. myös int23d.mws .

AV-harjoitukset

AV 1.

> f:=(x,y)->x*y^2+y^3;

> pinta:=plot3d(f(x,y),x=0..2,y=1..3,view=[0..2,1..3,0..50]):

Käytetään tässä hiukan erilaista tekniikkaa kuin seuraavissa, jotka ovat yleisluonteisempia. Toisaalta on hyvä oppia myös polygonien käyttö, joka on kätevää, kun halutaan piirtää suoria särmiä. Tarvitaan pakkaus plottools .

> pohja:=[[0,1],[2,1],[2,3],[0,3]];pohja3d:=[[0,1,0],[2,1,0],[2,3,0],[0,3,0]];

> fv:=x->f(x[1],x[2]): # Taas tämä vektoriversio on kätevä.

> kansiz:=map(fv,pohja); # Funktion arvot pohjanurkissa.

> kansi3d:=zip((x,y)->[op(x),y],pohja,kansiz); # Eleganttia temppu!

Rakennetaan sivuseinä kerrallaan, jätetään kaarevareunaiset seinät auki.

> display(polygon(pohja3d),polygon([pohja3d[1],kansi3d[1],kansi3d[2],pohja3d[2]]),polygon([pohja3d[3],kansi3d[3],kansi3d[4],pohja3d[4]]),pinta,style=patchnogrid);

2.

> karjet:=[-1,0],[1,0],[0,1]:

> display(polygon([karjet],filled=true,color=yellow));

>

Mieti kuvien rakentelu "seinittäin". Kokeile vaikka seinä kerrallaan displayta.

Sama tyyli toistuu miltei kaikissa. Seinät ovat parametrimuotoisia pintoja, 2 parametria, joista toinen on z.

3.

> suora:=solve(2*x+2*y=5,y); # Silkkaa laiskuutta!

> plot([suora,1/x],x=0..3,y=0..3);

> hypseina:=plot3d([x,1/x,z],x=0.5..2,z=0..ln(x),labels=[x,y,z]):

> suoraseina:=plot3d([x,suora,z],x=0.5..2,z=0..ln(x),labels=[x,y,z]):

> display(hypseina,suoraseina,plot3d(ln(x),x=0.5..2,y=1/x..suora),style=patchcontour);

Kyseessä on kuvassa näkyvien kuppien tilavuuksien erotus.

4.

> parseina:=plot3d([x,x^2,z],x=0..2,z=0..exp(x^2/x),labels=[x,y,z]):

> suoraseina:=plot3d([x,2*x,z],x=0..2,z=0..exp(2*x/x),labels=[x,y,z]):

> display(parseina,suoraseina,plot3d(exp(y/x),x=0..2,y=x^2..2*x,color=red),style=patch);

> plot3d(exp(y/x),x=0..2,y=x^2..2*x,style=patchcontour);

>

5.

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> x:=r*cos(Theta);y:=r*sin(Theta);

> r:=2*sqrt(cos(2*Theta));

-taso:

> plot(r,Theta=-Pi/4..Pi/4,labels=['Theta','r']);

> plot([x,y,Theta=-Pi/4..Pi/4]);

>

6.

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> with(plots):

> z1:=x^2+y^2; z2:=(4-x^2-y^2)/3;

> x:=r*cos(Theta); y:=r*sin(Theta);

> ala:=plot3d([x,y,z1],r=0..1,Theta=0..2*Pi):

> yla:=plot3d([x,y,z2],r=0..1,Theta=0..2*Pi):

> display(ala,yla,style=patchcontour);

>

Loppviikko:

Piirtäminen menee samaan tyyliin kuin AV.

Laskemiseen on esimerkkejä int23d.mws :ssä. Hyvä tyyli on

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> Int(Int(int(f(x,y,z),z=c1(x,y)..c2(x,y)),y=b1(x)..b2(x)),x=a1..a2):

> %=value(%);

Tässä ei mitään laskentaa voinut tapahtua.

>

1.

> restart:with(plots):with(plottools):
setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the name arrow has been redefined

> display(implicitplot(abs(2*x+3*y)=4,x=-2.5..2.5,y=-2..2,color=blue),implicitplot(abs(x-5*y)=3,x=-3..3,y=-2..2));

Voidaan käyttää myös plots[inequal] -funktiota. Siinä valitsin feasible on lineaarisen optimoinnin terminologiaa.

> inequal( { 2*x+3*y <=4,2*x+3*y >=-4, (x-5*y)<=3,(x-5*y)>=-3}, x=-3..3, y=-2..2,optionsfeasible=(color=yellow), optionsexcluded=(color=white) );

> solve({2*x+3*y=u,x-5*y=v},{x,y});

> subs(%,[x,y]);linalg[jacobian](%,[u,v]);

> linalg[det](%);abs(%);

> muuntosuhde:=%;

Muuttujanvaihtokuvaus on lineaarinen, joten jakobiaani (niin matriisi kuin det) on vakio. Niinpä meillä on vakio muuntosuhde, joka voidaan ottaa integraalissa suoraan eteen tekijäksi.

> muuntosuhde*int(int(u^2*v^2,v=-3..3),u=-4..4);evalf(%);

2.

> restart:with(plots):with(plottools):
setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the name arrow has been redefined

> z:=c*(1-x/a-y/b);a:=1:b:=2:c:=3:

> plot3d(z,x=0..a,y=0..b*(1-x/a),axes=box,style=patchcontour);

Voidaan käyttää myös spesiaalimpaa polygonipiirtoa:

Error, missing operator or `;`

> tahko1:=polygon([[a,0,0],[0,b,0],[0,0,c]],color=gold):
tahko2:=polygon([[0,0,0],[0,b,0],[0,0,c]],color=yellow):
tahko3:=polygon([[0,0,0],[0,b,0],[a,0,0]],color=cyan):
tahko4:=polygon([[0,0,0],[0,0,c],[a,0,0]],color=gray):
display([tahko1,tahko2,tahko3,tahko4],axes=boxed,labels=['x','y','z']);

> a:='a':b:='b':c:='c':z:='z':

> Int(Int(Int(x,z=0..c*(1-x/a-y/b)),y=0..b*(1-x/a)),x=0..a):%=value(%);

3.

> restart:with(linalg):

Warning, the name changecoords has been redefined

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> x:=rho*sin(phi)*cos(Theta);
y:=rho*sin(phi)*sin(Theta);
z:=rho*cos(phi);

> jacobian([x,y,z],[rho,Theta,phi]);

> det(%);simplify(%);abs(%);

Maple ei tietenkään tiedä, että 0 <= phi <= Pi, jolloin sin(phi) >= 0. Me tiedämme!

4.

> restart: with(plots):z1:=sqrt(x^2+y^2);

Warning, the name changecoords has been redefined

Tapa 1: Lasketaan tasointegraalina napakoordinaatistossa:

> z1:=r;z2:=sqrt(a^2-r^2);R:=solve(z1=z2,r);a:=2; x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta);
R;z1;z2;
kartio:=plot3d([x,y,z1],Theta=0..2*Pi,r=0..R):
pallo:=plot3d([x,y,z2],Theta=0..2*Pi,r=0..R):
display([kartio,pallo],style=patchcontour);
a:='a':V:=Int(Int((z2-z1)*r,r=0..a/sqrt(2)),Theta=0..2*Pi): %=simplify(value(%),symbolic);

Tapa 2. Lasketaan tilavuus pallokoordinaatistossa.

Tässä on käyetty sellaista tyyliä, että homma on aina ajettava alusta (tästä) asti , "välistävedot" menevät

yleensä virheeseen, koska muuttujat on vapautettava ja sitten sidottava pallokoordinaatteihin, kuten tässä alussa tehdään. (Voitaisiin toteuttaa toisinkin, mutta tämä on nopea (ja tässä mielessä hutera) tapa.)

> phi:='phi';rho:='rho':x:=rho*sin(phi)*cos(Theta);
y:=rho*sin(phi)*sin(Theta);
z:=rho*cos(phi);
rho:=a:phi:='phi';

> a:=2:jatski:=plot3d([x,y,z],Theta=0..2*Pi,phi=0..Pi/4):
rho:='rho': phi:=Pi/4:

> tottero:=plot3d([x,y,z],Theta=0..2*Pi,rho=0..a):
display(jatski,tottero,style=patchnogrid);

> tottero;
a:='a':phi:='phi':Theta:='Theta':

> V:=Int(Int(Int(r^2*sin(phi),phi=0..Pi/4),theta=0..2*Pi),r=0..a);value(%);

5.

Täytyy siirtää tuonnemmaksi, tässä ei pitäisi olla mitään konstikasta.

6.

> restart:with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

Pallokoordinaattiesitys antaa luontevan pallopinnan parametriesityksen. Siinä säde
rho on vakio ja parametreina ovat leveyskulma Theta ja korkeuskulma phi . Edellinen menee [ 0 .. 2*Pi] ja jälkimmäinen [0 .. Pi] .
Kirjoitetaan proc:ksi, joka palauttaa rho-säteisen pallon parametriesityksen:

> pallopinta:=proc(rho)
local x,y,z;
x:=rho*sin(phi)*cos(Theta);
y:=rho*sin(phi)*sin(Theta);
z:=rho*cos(phi);
[x,y,z]
end:

> pallopinta(2*a);

> pallo:=plot3d(pallopinta(2),Theta=0..2*Pi,phi=0..Pi,style=patch,scaling=constrained):

Lieriö on luontevinta esittää siirretyissä lieriökoordinaateissa, jossa origona on piste (0,a). Parametreina siis tämän origon
suhteen otettu napakulma ja z.

> lierio:=plot3d([cos(Theta),1+sin(Theta),z],Theta=0..2*Pi,z=-2..2,color=red,labels=["x","y","z"]):

> display(pallo,lierio,axes=box);

Entä, jos haluamme katsoa lieriötä ja sen kattoa ja pohjaa, ts. sitä varsinaista kappaletta.

> a:=1:ylapinta:=plot3d([r*cos(Theta),r*sin(Theta),sqrt(4*a^2-r^2)],Theta=0..Pi,r=0..2*a*sin(Theta),scaling=constrained,axes=box,color=red):

> alapinta:=plot3d([r*cos(Theta),r*sin(Theta),-sqrt(4*a^2-r^2)],Theta=0..Pi,r=0..2*a*sin(Theta),scaling=constrained,axes=box,color=blue):

> lierio:=plot3d([cos(Theta),1+sin(Theta),z],Theta=0..2*Pi,z=-1.8..1.7,color=yellow,labels=["x","y","z"]):

> display(lierio,ylapinta,alapinta,style=patch);

>

Piirrettiin lieriö hiukan matalammaksi, jotta kansi ja pohja paremmin pilkistävät.

Luentotehtävän tyylinen: Reikäpallon hitausmomentti

Laitan tähän lisäharjoittelua ajatellen. Pallon säde = a. Porataan keskeltä läpi lieriöreikä, jonka säde = b

(b < a). Olkoon pallon tiheys = delta = vakio. Laskettava reikäpallon hitausmomentti z-akselin suhteen.

Lisäharjoitus: Määritä rajat pallokoordinaateissa (tein luennolla, lasku tulee epäilemättä mutkikkaammaksi.

> restart: setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50]):with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> 2*delta*Int(Int(Int(r,z=0..sqrt(a^2-r^2)),r=b..a),Theta=0..2*Pi);

> massa:=value(%);

>

> 2*delta*Int(Int(Int(r*r^2,z=0..sqrt(a^2-r^2)),r=b..a),Theta=0..2*Pi);

> J:=simplify(value(%),symbolic);

Jos vielä lausutaan massan avulla, saadaan varsin sievä muoto:

> J/massa;

> J:=simplify(%*m);

Sitten piirretään:

> zala:=-sqrt(a^2-r^2);zyla:=sqrt(a^2-r^2):

> x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta):

> a:=2:b:=0.8:

> reikapallo:=display(plot3d([x,y,zyla],r=b..a,Theta=0..2*Pi,style=patchnogrid),plot3d([x,y,zala],r=b..a,Theta=0..2*Pi,style=patchnogrid)):

> lierio:=plot3d([b*cos(Theta),b*sin(Theta),z],Theta=0..2*Pi,z=-a..a):

> reikapallo;display(reikapallo,lierio);

>

>