\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{8}{12}{20 --- 22.3.2002}

N�m� harjoitukset kuuluvat kokonaisuudessaan
2. v�likokeen alueeseen.


\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}

\item %1
%Harj. 8av 01
M��rit� ja luokittele kriittiset pisteet (gradientin 0-kohdat) funktiolle
$$f(x,y)=x^2ye^{-(x^2+y^2)}$$

Selvit� my�s globaalien ��riarvojen tilanne koko $\R^2$:ssa.
Kannattaa lis�ksi piirt��, jos p��set Maplen ��reen.

Voit k�ytt�� laskuty�n v�hent�miseksi Maple-istunnon tuloksia:

\begin{verbatim}
> restart: with(linalg):
> f:=x^2*y*exp(-x^2-y^2):
> grad(f,[x,y]):map(l->collect(l,exp(-x^2-y^2)),%);
\end{verbatim}
$$
[\left (2\,xy-2\,{x}^{3}y\right ){e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}},\left ({x}^{2}
-2\,{x}^{2}{y}^{2}\right ){e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}]
$$

\begin{verbatim}
> H:=hessian(f,[x,y]);map(l->collect(l,exp(-x^2-y^2)),%):
\end{verbatim}
$$
\left [\begin {array}{cc} \left (2\,y-10\,{x}^{2}y+4\,{x}^{4}y\right )
{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}&\left (2\,x-2\,{x}^{3}-4\,x{y}^{2}+4\,{x}^{3}{y
}^{2}\right ){e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}\\\noalign{\medskip}\left (2\,x-2\,
{x}^{3}-4\,x{y}^{2}+4\,{x}^{3}{y}^{2}\right ){e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}&
\left (-6\,{x}^{2}y+4\,{x}^{2}{y}^{3}\right ){e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}
\end {array}\right ]
$$

{\bf Huom:} Muista k�ytt�� aina tarpeen mukaan {\bf alkuper�ist� ��riarvon 
m��ritelm��}. Sill� selvit�t aivan helposti semidefiniitit tapaukset.


\item %2
Suorita 3 askelta SD-menetelm�ll� funktion
$f(\V{x})=2(x_1^2+x_2^2)+x_1x_2 -5(x_1+x_2)$, kun alkupisteen� on$\V{x_0}=[1 -2]^T$.

\item %3
Sovella SD-menetelm�� funktioon $f(\V{x} = x_1^2 +cx_2^2$. Aloita pisteest� $[c 1]^T$. Osoita ett� t�ll�in

$\V{x_m}=a_m[c , (-1)^m]^T,$ miss� $a_m = \frac{(c-1)^m}{(c+1)^m}$

P��ttele, ett� suurella $c$:n arvolla suppeneminen k�y hitaaksi.
(Panethan merkille, ett� suuri c merkitsee suurta eksentrisyytt� korkeusk�yr�ellipsille.)

\item %4
Tarkastellaan luentoesimerkki� (KRE Exa 1, kuva 442 s. 995).
Onko mahdollista l�yt�� sellainen lineaarinen kohdefunktio
$f(x_1,x_2)=a_1x_1+a_2x_2$, jolla olisi maksimi k�yv�n alueen
(feasible region)
eli sinisen nelikulmion sis�pisteess�.

Perustele (ainakin kaksi hyv�� perustelumahdollisuutta).

\item %5
Ruokalajit A ja B sis�lt�v�t $700$ ja $500$ kaloria ja sis�lt�v�t
$10$ g ja $35$ g proteiinia ja maksavat $1.50$ ja $2.00$ euroa massayksikk�� kohti vastaavasti.
M��rit� minimihintainen ruokavalio, joka sis�lt�� v�hint��n $3100$
kaloria ja v�hint��n $100$ g proteiinia.

\item %6
M��rit� pisteen $(3,0)$ lyhin et�isyys paraabelista $y=x^2$

(a) palauttamalla yhden muuttujan rajoittamattomaan ("unconstrained")
teht�v��n, \\
(b) soveltamalla Lagrangen kertojamenettly�.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%% AV:n loppu %%%%%%%%%%


\subsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}
\item %1
Osoita, ett� funktiolla $f(x,y,z)=4xyz - x^4 - y^4 -z^4$ on paikallinen
maksimi pisteess� $(1,1,1).$


\item %2
(a)
Osoita ominaisarvojen (merkkien) avulla, ett� 
yht�l� $3x^2+2xy+3y^2=16$ esitt�� ellipsi�.

(b) M��rit� ellipsin puoliakselit m��r��m�ll� lyhin ja pisin et�isyys
O:sta k�yr�lle. K�yt� Lagrangen kertojamenettly�.

(c) Tarkista laskemalla ominaisvektorit, ett� sait oikean tuloksen.

\item %3
Lanka, jonka pituus on $L$ leikataan (sis�lt�� my�s yhden p�tk�n
mahdollisuuden, jolloin oikeasti ei leikata) 
korkeintaan kolmeen p�tk��n ja jokainen
p�tk� taivutetaan neli�ksi. M��rit� neli�iden alojen summan maksimi ja minimi.

\item %4
Laske Maplella AV-teht�v� 2. Piirr� reitti ja korkeusk�yri�.
(harj8ohje.mws)

\item %5
Sovella SD-menetelm�� funktion
$f(x,y)=e^x(4x^2+2y^2+4xy+2y+1)$
jonkin minimin (tai maksimin) etsimiseksi.
L�hde liikkeelle korkeusk�yr�piirroksesta saamastasi alkuarvosta.








\end{enumerate}



\subsection*{Ohjeita}


\subsubsection*{Kriittiset pisteiden luokittelu}

T�m� on enemm�nkin kertausta:

Kriittinen piste (KRP) $p$: $\nabla f(p)=0$.\\
Kriittisen pisteen laatu selvi�� (jos selvi��) Hessen matriisin $H_f(p)$ definiittisyydest� seuraavasti:

{\bf Lause} Olkoon $f:\R^n \to \R$ 2 kertaa jatkuvasti derivoituva KRP:ss� $p$.
Olkoon $H=H_f(p)$ Hessen matriisi pisteess� $p$, ja olkoot $\lambda_1,\ldots \lambda_n$ $H$:n ominaisarvot.
 %$q(h)=\frac{1}{2} h^T H_f(p) h$.

(a) Jos $\lambda_i > 0, i=1\ldots n$, niin KRP $p$ on minimi. \\
(b) Jos $\lambda_i < 0, i=1\ldots n$, niin KRP $p$ on maksimi. \\
(c) Jos jokin $\lambda_i >0 $ ja jokin $\lambda_j < 0$, 
niin KRP $p$ on satulapiste (siis ei ��riarvo). \\
(d) Jos kaikki ominaisarvot ovat samanmerkkiset ja jokin on $=0$, niin
"testi pett��".
(T�ll�in on tavallisesti turvauduttava suoraan min/max m��ritelm��n.)

Tee viel� itsellesi selv�ksi, ett� kaikki on luettavissa suoraan
p��akseliesityksest� $\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$.


\end{document}


\begin{itemize}
\item

\item


\end{itemize}






\item %1
%\item
%M��rit� Lagrangen kertojamenetelm�ll� funktion $f(x,y)=x^3y^5$ maksimi suoralla
%$x+y=8$.

\item
M��rit� Lagrangen kertojamenetelm�ll� funktion 
$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ maksimi- ja minimiarvot kartion 
$z^2=x^2+y^2$ ja tason $x-2z=3$ leikkausellipsill�.

\item %1
Lanka, jonka pituus on $L$ leikataan (sis�lt�� my�s yhden p�tk�n
mahdollisuuden, jolloin oikeasti ei leikata) 
korkeintaan kolmeen p�tk��n ja jokainen
p�tk� taivutetaan neli�ksi. M��rit� neli�iden alojen summan maksimi ja minimi.


\item
Sovita PNS-suora dataan $(2,2),(5,4),(6,6),(9,9),(11,10)$
Piirr� datapisteet ja suora.

\item
Joulukuun 1--28 p�iv�n� 1981 aurinko laski {\it Lund}:ssa klo 15.30:n ja 
15.45:n v�lill� seuraavan taulukon mukaisesti, miss� x tarkoittaa p�iv��
($1 \leq x \leq 28$) ja y minuuttim��r�� klo 15.30:n j�lkeen, jolloin aurinko
laski. 

%\vfill\eject

\begin{verbatim}
     x     y     x     y

     1     8   19-21   3
     2     7   22-23   4
     3     6    24     5
    4-5    5    25     6
    6-7    4   26-27   7
    8-9    3    28     7
   10-18   2
\end{verbatim}

Data voidaan esitt�� varsin hyvin 2. asteen polynomilla. M��rit� kertoimet 
a,b,c, piirr� data ja polynomi. Min� p�iv�n� auringonlaskuaika saavuttaa
minimins� mallin mukaan. (Kirjasta {\it Fr�berg}: Numerical Analysis 1985)

%N�m� ovat kesken��n vaihtoehtoisia.

\item
Sovita eriasteisia PNS-polynomeja vanhaan kunnon census-dataan.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
%\multicolumn{7}{|c|} \\ \hline
  Vuosi & 1940  & 1950  & 1960 & 1970 & 1980 & 1990 \\ \hline
  V�ki & 132.165 &151.326 &179.323 &203.302 & 226.542 & 249.633  \\ \hline
\end{tabular}.


Kokeile eri muotoisia kantafunktioita (muista eri skaalaukset 
interpolaatioteht�vien yhteydess�).
(Huomaa, ett� normaaliyht�l�ratkaisulla on taipumusta h�iri�alttiuteen.)

\item
Tutustu ohjeiden mukaan numeerisiin optimointimenetelmiin, erityiseti
jyrkimm�n laskeuman, eli "steepest descent", eli gradienttimenetelm��n
ja Newtonin menetelm��n (sek� optim. ett� yht�l�syst.)
Implementoi Maplella sopiva versio/yhdistelm� ja testaa. Ohjeita 
implementointiin ja
sopivia testiesimerkkej� annetaan.

\item
\item
M��rit� Lagrangen kertojamenetelm�ll� funktion $f(x,y)=x^3y^5$ maksimi suoralla
$x+y=8$.

\item
M��rit� funktion $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ maksimi- ja minimiarvot kartion 
$z^2=x^2+y^2$ ja tason $x-2z=3$ leikkausellipsill�.

\item
Sama kuin edell� funktiolle $$f(x,y)=\frac{xy}{2+x^4+y^4}$$

\item
Maplessa on linalg-pakkauksessa funktiot eigenvectors ja hessian. Laske teht�vien 3 ja 4 tapauksessa Hessen matriisin ominaisarvot ja -vektorit.
Tee hypoteesi, jolla uskot voivasi p��tt�� ominaisarvojen merkkien avulla
KRP:n luonteen (tai sen, ettei luonteesta voi sanoa).

T�ydenn� n�iden teht�vien kuvia piirt�m�ll� ainakin johonkin KRP:een
ominaisvektorit.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Esimerkkej� optimointiin ja ep�lin. systeemeihin}

\begin{enumerate}
\item 
$f(x,y)=e^x(4x^2+2y^2+4xy+2y+1)$

$f(x,y)=100(y-x^2)^2+(1-x)^2$  {\em Rosenbrockin banaanifunktio}

$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+10x_2^2+100x_2^2$



\end{enumerate}

