\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{6}{10}{6 --- 8.3.2002}



\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}



\item %1
Laske matriisien  $A$ ja $B$ 
ominaisarvot sek�  B:n ominaisvektorit, kun

 $A=
\left [\begin {array}{cc} 2&-3\\\noalign{\medskip}0&0\end {array}
\right ]$ ,\quad  
$ B= \left [\begin {array}{cc} 2&4\\\noalign{\medskip}-1&-2\end {array}
\right ] $

Voidaanko matriisien ominaisvektoreista muodostaa avaruuden $\R^2$ kanta?
(A-matriisin tapauksessa ei todellakaan tarvitse t�t� johtop��t�st� varten
laskea ominaisvektoreita.)

\item %2
Matriisilla 
$A= \left [\begin {array}{cc} \cos \theta &-\sin \theta \\
            \sin \theta &\cos \theta \\   \end {array}\right ]$
kertominen kiert�� tason vektoreita kulmalla $\theta$.
Mieti ensin geometriselta kannalta, voiko t�ll� olla reaalisia ominaisarvoja 
jollain/mill��n $\theta$:lla.

Laske sitten
ominaisarvot ja -vektorit.

Vaikka p��paino t�ss� ominaisarvotietoiskussa onkin reaalisessa teoriassa,
on syyt� laskea ainakin yksi kompleksilukuihin johtava teht�v�.

Vastaus laskuteht�v��n:
Ominaisarvot: $\cos(\theta)+i\sin(\theta),\cos(\theta)-
i\sin(\theta)$
Ominaisvektorit:
$[1,-i],[1,i]$

\item %3
Muodosta matriisin 
$A=
\left [\begin {array}{cc} 2&1\\\noalign{\medskip}2&1\end {array}
\right ]
$
ominaisvektoreista $\R^2$:n kanta ja diagonalisoi matriisi.
%(eli muodosta matriisit $X, D, X^{-1}$.)
Katso my�s lopussa olevia ohjeita.
Huomaa, ett� ominaisarvo saa olla $0$, se ei edes est� 
diagonalisointia.

\item %4
Osoita, ett� vanha kunnon {\it Fibonaccin} jono $(F_n)$ saadaan matriisin 

$A=
\left [\begin {array}{cc} 1&1\\\noalign{\medskip}1&0\end {array}
\right ]
$
potensseja muodostamalla.

Diagonalisoi matriisi $A$, ja laske sen avulla kaava $F_n$:lle.

Eik� sitten enemp�� t�ll� kertaa!

\end{enumerate}


\subsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}


\item %1
M��rit� pinnan 
$z=\arctan \frac{y}{x}$ 
tangenttitason yht�l� pisteess� $(2,2,\pi/4)$.

Piirr� kuva. (Kts. {\tt ..H/harj6ohje.mws})


\item %2
Olkoon
$A=
\left [\begin {array}{ccc} 1/2&1/4&1/4\\\noalign{\medskip}1/4&1/2&1/4
\\\noalign{\medskip}1/4&1/4&1/2\end {array}\right ]
$

Varmista, ett� n�et p��lt�p�in, ett� ominaisvektoreista voidaan
muodostaa $\R^3$:n ortonormaali kanta.

Laske ominaisarvot ja -vektorit Maplella k�sinlaskutyyli� simuloiden
(kts. L/ominaisarvot.mws), saat laskea k�sinkin. Tarkista komennolla {\tt Eigenvectors}.

\item %3
Muodosta edellisen teht�v�n matriisin $A$ ominaisvektoreista ortonormeerattu kanta $\R^3$:lle. Eli muodosta matriisi $X$,
jonka sarakkeina ovat normeeratut ominaisvektorit.

Tarkista ortonormaalisuus kertomalla $X^T X$.

Tarkista, ett� diagonalisointi meni oikein kertomalla $X^T A X$.

Huom: Vektorin $v$ euklidinen normi Maplella: {\tt norm(v,2);}
(Kts. my�s {\tt ..L/ominaisarvot.mws})



\item %4
M��rit� seuraavien neli�muotojen matriisit sek� definiittisyys:

(a) $q(x_1,x_2)=2x_1^2+4x_2^2+x_1x_2$ \quad
(b) $q(x_1,x_2,x_3)=x_3^2+2x_1x_3+2x_2x_3$ \quad
(c) $q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+2x_4^2-4x_2x_3$

Esit� neli�muodot p��akselikoordinaateissa. Ei ole pahitteeksi,
vaikka piirr�t joitakin kuvia.

\item %5
Mit� kartioleikkausta edustaa yht�l�
{$x_1^2+24x_1x_2-6x_2^2=5$}

Muunna yht�l� p��akselimuotoon ja piirr� kuva. (Voit ottaa mallia
 {\tt KRE}
Exa 6 s. 396 "Transformation to principal axes".)

%tai GRE 11.6 s. 589 %ja {\tt /p/edu/mat-1.443/teht/paakseli.mws}. 
%Voit my�s
%katsoa: {\tt http://www.math.hut.fi/teaching/y3/harj/tyo/heigen.html}

Muista: Hyperbelin luonteva parametriesitys on $x=a\cosh t,\ \ y=b\sinh t$

Maple-ohjeita: harj6ohje.mws

\end{enumerate}


\subsection*{Ohjeita}

\subsubsection*{Ominaisarvot ja -vektorit}

{\bf Laskeminen}

\begin{itemize}
\item
Muodosta {\em karakteristinen polynomi} $p(\lambda)=det(A-\lambda I)$
ja m��rit� sen 0-kohdat, n�in saat {\em ominaisarvot}.
\item
Ratkaise kutakin ominaisarvoa $\lambda$ kohti lineaarinen yht�l�systeemi
$(A-\lambda I)x=0$. Ratkaisu sis�lt�� ainakin yhden vapaasti valittavan
parametrin (muussa tapauksessa teit virheen $\lambda$:n laskennassa).
Ratkaisuvektorit $x$ ovat ominaisvektoreita. (Triviaalia nollavektoria ei
kelpuuteta t�h�n kastiin.)
\end{itemize}

{\bf Yleisi� ominaisominaisuuksia}

\begin{itemize}
\item
Kaksinkertaisen ominaisarvon tapauksessa voi olla yksi tai kaksi lineaarisesti
riippumatonta ominaisvektoria.
\item
Eri ominaisarvoihin liittyv�t ominaisvektorit ovat LRT.
\item
Symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja eri ominaisarvoihin
liittyv�t ominaisvektorit ovat ortogonaaliset.


\end{itemize}

\subsubsection*{Matriisin diagonalisointi}

Jos $n\times n$- matriisilla on $n$ LRT ominaisvektoria, niin se on 
diagonalisoituva. Diagonalisointi (jos mahdollista) tarkoittaa 
matriisien $X$, $D$ ja $X^{-1}$
m��ritt�mist� siten, ett� $A=X D X^{-1}$ .

K�sin laskettaessa pit�isi osata k��nt�� $2\times 2$-matriisi.
Annetaan Maplen tehd� se yleisess� symbolisessa muodossa (ja generoida
\LaTeX-muotoon), k�yt�
hyv�ksesi:

$A=
\left [\begin {array}{cc} a&b\\\noalign{\medskip}c&d\end {array}
\right ]
$

$A^{-1}=
\left [\begin {array}{cc} -{\frac {d}{-ad+bc}}&{\frac {b}{-ad+bc}}
\\\noalign{\medskip}{\frac {c}{-ad+bc}}&-{\frac {a}{-ad+bc}}
\end {array}\right ]
$ 



\end{document}
\textbf{Lineaarikuvaus}

Matriisi m��r�� lineaarikuvauksen (ja k��nt�en). Tason tapauksessa siis
 $2 \times 2$-matriisi.
Teht�v�ss� 6 on tarkoitus vain ottaa yleinen tason vektori $(x,y)$, laskea
sen kuva ao. matriisilla kerrottaessa, havainnollistaa piirroksella ja
keksi� kuvaava nimitys.



\end{document}
