\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{12}{17}{24--26.4.2002}


Tämä on sitten viimeinen harjoitus.

Muistakaapa ``kansalaisvelvollisuus'', {\bf palaute}, kaavake ilmestyy 
kurssisivulle tuotapikaa. Palautteella voit vaikuttaa myös syksyn V3-
kurssin toteutustapaan.

Malliratkaisuja tulee, mahdollisesti yhteenvetoja ja ainakin välikoealueen
tärkennusta (aika kattava kuvaus on jo).

Pysy siis linjoilla!

\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}


\item %1
Olkoon

$$F(t)=\int_{t}^{t^2}\frac{\sin\frac{x}{t}}{x} dx, \ \ t\neq 0 .$$

Laske $F'(t)$

Vast: $\frac{\sin t}{t}$

\item
Osoita, että integraali 
$$\int_A \frac{da}{x+y}$$
suppenee, kun $A$ on joukko 
$\lbrace (x,y)| \ \ 0 \leq y \leq \frac{1}{x},\ \ x\ge 1 \rbrace$

\item
Osoita, että integraali 

$$\int_A \frac{da}{xy}$$

hajaantuu, kun $A$ on suoran $y=x$ ja paraabelin $y=x^2$, $0 \leq x \leq 1$ rajoittama alue.

\item
Gaussin kvadratuurissa (numeerisessa integroinnissa) etsitään muotoa 
$\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$ olevaa approksimaatiota integraalille
$\int_{-1}^1 f(x) dx$ siten, että mahdollisimman korkea-asteiset (2n-1) 
polynomit integroituisivat tarkasti.

Muodosta kahden pisteen ($n=2$) Gaussin kaava, eli ratkaise solmut $x_1, x_2$
ja painot $w_1, w_2$.

Vihje: Kirjoita vaatimus tarkasta integraalista monomeille $1,x,x^2, x^3$
(tämän kirjoitin taululle luennolla) ja ratkaise yhtälösysteemistä
solmut ja painot. Lisävihje: Ratkaisu muuttuu oikein helpoksi, jos käytät
hyväksesi luonnollisia symmetrioita.

Huom! Tämä tehtävä {\bf ei edellytä sitten minkäänlaisia esitietoja} 
yhtään mistään!



\item
Muodosta edellisen tehtävän kaavan avulla Gaussin tulokaava yksikköneliölle
$\lbrack -1,1\rbrack \times \lbrack -1,1\rbrack$.
(Jos jostain syystä et laskenut edellistä, niin etsi kaava viitteistä.)

Laske sen avulla approksimaatio integraalille:

$$\int _{1.4}^{2}\!\int _{1}^{1.5}\!\ln  \left( x+2\,y \right) {dy}\,{dx}$$

Kuinka monta oikeaa numeroa saat. Tässä Maplelasku 9:llä numerolla.
\begin{verbatim}
> int(int(ln(x+2*y),y=1..3/2),x=14/10..2);
                                321         121          289
            41/5 ln(5) - 9/20 - --- ln(2) - --- ln(11) + --- ln(17)
                                25          25           100

> evalf(%);
                                  .429554525
\end{verbatim}

Ohje: Suorita muunnos yksikköneliöltä ao. suorakulmiolle.
Muunnoksen saat vaikkapa niin, että muunnat ensin lineaarikuvauksella 
(diagonaalimatriisilla) yksikköneliön oikean muotoiseksi suorakulmioksi 
ja sitten teet siirron.
%``Muodonmuutos'' syntyy ihan vaan diagonaalimatriisilla.

\item 
Usein käytännön sovelluksissa esiintyvä tehtävä on integrointi kolmion yli.
(FEM-laskenta). 

Laskettavana olkoon $\int_\Delta f(x,y) da$, missä 
$\Delta=\lbrace (x,y) | \ \ 0 \leq x \leq 1,\ \ 0 \leq y \leq x \rbrace .$

(a)
Suorita muuttujanvaihto $u=x, v=\frac{y}{x}$ ja totea, että se muuntaa
neliön $\lbrack 0,1 \rbrack \times \lbrack 0,1 \rbrack$ kolmiolle
$\Delta$ melkein kaikkialla bijektiivisesti (O poissuljettuna)

(b)
Osoita, että integraali saadaan lasketuksi kaavalla:

$$\int_\Delta f(x,y)da = \int_0^1 du \int_0^1 f(u,uv)u dv$$

(c) Tee vielä muunnos, joka muuntaa tämän integraaliksi yli yksikköneliön 
$\lbrack -1,1 \rbrack \times\lbrack -1,1 \rbrack$ .





\end{enumerate}


\subsubsection*{Ohjeita}

\textbf{Integraalin derivointi}

Olkoon $f:\R^2 \to \R$ jatkuva ja olkoon osittaisderivaatta $f_t(t,x)$
olemassa ja jatkuva, kun $x\in \lbrack a,b \rbrack$ ja $t\in B$, missä $B$
on jokin $\R$:n väli.
Olkoon $$F(t)=\int_{a(t)}^{b(t)}f(t,x) dx,$$

missä $a(t)$ ja $b(t)$ ovat derovoituvia.
Tällöin
$$ F'(t)= f(t,b(t))b'(t) - f(t,a(t))a'(t) + \int_{a(t)}^{b(t)}f_t(t,x) dx .$$

\subsection*{Loppuviikko (LV)}


\begin{enumerate}


\item % 1
Eka

\end{enumerate}



\subsection*{Ohjeita}


Tämä täydentyy viikonlopun aikana...


\end{document}



