\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{11}{16}{17--19.4.2002}



\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}


\item %1
Helsingin leveysaste on $60^\circ$ (pohjoista leveyttä) ja pituusaste 
$25^\circ$ itäistä pituutta. Vastaavat arvot Tokion kohdalla ovat 
$35^\circ$ ja $140^\circ$. Maapallon säde $R=6370$ km.

Mikä on kaupunkien välinen etäisyys. 
Vihje: Lyhin etäisyys saadaan kulkemalla pitkin isoympyrää. 
Laskussa tarvitaan vain palloordinaattiesitystä ja perusvektorilaskua
(ei integrointia tms.).

Vast. 7906 km

\item %2 LP s. 166
Kuinka suuri osa maapallon pinnasta sijaitsee leveyspiirin $60^\circ$ 
pohjoispuolella?
(Valmiin kaavan (MAOL?) käyttö ei kelpaa.)

\item % 3 LP s. 166
Laske funktion $f(x,y,z)=x^2 + 1$ integraali yli lieriöpinnan $x^2 + y^2 = 2,
\ \ 0 \leq z \leq 1$.

\item %4  KRE s. 503 teht. 3
Olkoon ${\V F}=(e^{2y},e^{-2z}, e^{2x})$ ja 
pinta S: $\V{r}=(3\cos u, 3\sin u, v)$, $0 \leq u \leq \frac{\pi}{2},
0 \leq v \leq 2$.

Hahmottele pinta ja laske vektorifunktion (kentän) $F$ vuo yli pinnan
S, eli
$$\int_S \V{F}\centerdot \V{n} dS$$

Vast. $2 \sinh 6$ (ellei jossain lyöntivirhettä).


%Laske toruksen tilavuus.

\item %6
Määritä puolipallon $x^2+y^2+z^2=4a^2$, $z > 0$ pinnan ala, 
joka jää lieriön $x^2+y^2=2ay$
sisäpuolelle. 

Vast: $4a^2(\pi-2)$ .


%\item %6
%Laske harj12av tehtävän 6 toruksen pinta-ala ja piirrä viimeistään nyt
%(sopivilla a:n ja b:n arvoilla).




\end{enumerate}

%\subsubsection*{Ohjeita}


\subsection*{Loppuviikko (LV)}


\begin{enumerate}


\item % 1

{\em Torus} (munkkirinkilä) syntyy, kun yz-tasossa oleva $(a,0)$-keskinen, 
$b$-säteinen (pikku)ympyrä ($b < a$) pyörähtää z-akselin ympäri (niin, että
ympyrän taso kulkee koko ajan $z$-akselin kautta.
(Vrt. [KRE] s. 502)

Muodosta toruksen parametriesitys (selitä, miten syntyy) ja 
laske pinta-ala sekä
piirrä 
sopivilla a:n ja b:n arvoilla.

Vast. $4\pi^2 ab .$

Saat kokeilla tubeplottia, vaikka plot3d onkin "must".

Tämä on hieman liian valmiina KRE-kirjassa, tarkoitus on, että
ymmärrät hyvin ja osaat
selostaa.




\item  %2
Piirrä tehtävän AV 4 pinta S ja vektorikenttä $\V{F}$ (samaan kuvaan)
(plot3d ja fieldplot, kts myös, L/pintaint.mws)

Laske tehtävä Maple-avusteisesti. Huomaa, että {\tt linalg}:ssa on {\tt crossprod,
dotprod (innerprod)}. Vektorifunktio(lausekkeen) derivointi käy kätevästi tyyliin
{\tt map(diff,lista,u)}.


\item %3  KRE s. 503 teht. 10
Laske ja piirrä toinen samantyyppinen tehtävä:
 ${\V F}=(x^2,y^2, z^{2})$ ja 
pinta S: $\V{r}=(u\cos v, u\sin u, 3v)$, $0 \leq u \leq 1,
0 \leq v \leq 2\pi$ .

Tarkoitus oli alunperin olla ``kierreporraspinta'', jonka hahmottaminen
suoraan parametriesitystä lukemalla on aika helppoa, eli:

pinta S: $\V{r}=(u\cos v, u\sin v, 3v)$, $0 \leq u \leq 1,
0 \leq v \leq 2\pi$ .

Mallivastauksissa on laskettu molemmilla.

\item %4
Piirrä pinta $\V{r}=(2+\cos v)(\cos u \V{i} + \sin u \V{j})+\sin v \V{k}$
$0 \leq u \leq 2\pi$, $0 \leq v \leq \pi$,
ja laske sen keskiö ("centroid").

Keskiö lasketaan muuten samoilla kaavoilla kuin harj9. tehtäväpaperin ohjeissa,
paitsi nyt kyseeessä ovat pintaintegraalit (ja massakeskipisteen tapauksessa
pintatiheys).

\end{enumerate}



\subsection*{Ohjeita}


\textbf{Torus}

Parametriesitys voidaan muuttaa {\tt plot3d}:llä grafiikaksi, kuten aina.

Kts. 
\begin{verbatim}
http://www.math.hut.fi/teaching/v/2/02/L/int23d.html ja .mws,
http://www.math.hut.fi/teaching/v/2/02/H/harj10ohjev21.html 
ja harj10ohje.mws , myös harj11ohje.mws.
\end{verbatim}

Toisaalta Maplessa on kiintoisa funktio {\tt tubeplot}, jonka avulla
piirto menisi tähän tapaan:

\begin{verbatim}
> with(plots):
> tubeplot([a*cos(t),a*sin(t),0],t=0..2*Pi,radius=b,scaling=constrained);
\end{verbatim}
Ideana on, että parametrimuodossa annetun käyrän, tässä xy-tason a-säteisen ympyrän, pisteisiin sijoitetaan käyrän normaalitasossa oleva ympyrä, jonka
säde annetaan valitsimella {\tt radius=...}. Tässä siis {\tt radius=b}, mutta
yleisesti säde saa myös olla käyräparameterin mukaan muuttuva.
Kokeile vaikka:

\verb_> tubeplot([a*cos(t),a*sin(t),0],t=0..4*Pi,radius=1/sqrt(t)); _

Niin hauskaa kuin tubeplotilla leikkiminen onkin, {\bf vaatimuksena} on, että
teet kuvan joka tapauksessa {\bf plot3d}:llä, koska se on aivan yleinen 
parametriesitystyökalu.
Siinä on hyvä kokeilla myös, miten saat vain osan torusta joko 
``pituus''-
tai ``leveyssuunnassa''.



 

\end{document}


\begin{itemize}
\item

\item


\end{itemize}




