\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{10}{15}{10--12.4.2002}



\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}

\item %1
Laske kappaleen tilavuus, jota rajoittavat yl�puolelta pinta $z=xy^2+y^3$
ja alapuolelta xy-tason neli�                                                         
$R=\lbrace(x,y) | 0 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 3 \rbrace$

\item %2
Laske integraali
$$  \int_A (xy+y^2) da, $$

miss� $A$ on kolmio, jonka k�rjet ovat pisteiss� $(1,0), (0,1), 
(-1,0)$.
                                             
\item %3
Laske $\int\int_A \ln x da, $ miss� $A$ on suoran $2x+2y=5$ ja hyperbelin
$xy=1$ rajoittama alue.
  
\item %4
Laske integraali $$\int_0^4 dy \int_{y/2}^{\sqrt y} e^{y/x} dx.$$

Vihje: Integrointi tyss�� heti alkuunsa, vai mit�!
Ainoaksi toivon kipin�ksi j�� kokeilla integrointij�rjestyksen
vaihtamista. No kokeile, niin huomaat oikein laskien p��tyv�si
tulokseen $e^2 -1$ .

\item %5 % LP s. 159
M��rit� napakoordinaateissa annetun lemniskaatan $r^2=4\cos 2\Theta$ sis��n j��v�n alueen pinta-ala.

Vihje: Kun asiaa tutkailet, huomaat, ett� kyseess� on 
{\LARGE $\infty$}:n n�k�inen silmukka, jonka alan saat kertomalla $2$:lla alueen, joka piirtyy, kun 
$\Theta \in \lbrace -\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4} \rbrace $
%%(ja r \in \ldots ) . $

\item %6
M��rit� paraboloidien $z=x^2+y^2$ ja $3 z= 4-x^2-y^2$ rajoittaman kappaleen
tilavuus. Piirr� my�s kuva. Kannattaa k�ytt�� napakoordinaatteja.

%\item %2 % LP s. 159 %Harkitse!  $-Pi/4 .. Pi/4$ 2 kertaa.
%Laske $$\int_A (2x+1) da,$$
%kun $A=\lbrace (x,y) | x^2 -x +y^2 \leq 0\rbrace$ .


\end{enumerate}

\subsubsection*{Ohjeita}

{\bf Pinta-alkioiden muuntosuhde} siirrytt�ess� napakoordinaatistoon:

$dxdy = r dr d \Theta$.


\subsection*{Loppuviikko (LV)}

LV-teht�viss� kannattaa periaate mietti� etuk�teen, integrointitekniikan
voi p��s��nt�isesti j�tt�� Maplen huoleksi.

Piirto-ym. ohjeita: {\tt H/harj10ohje.mws}

\begin{enumerate}


\item %1
Laske sopivan muuttujanvaihdon avulla integraali
$$\int_D (2x+3y)^2(x-5y)^2 dxdy, $$miss� 
$D=\lbrace (x,y)\in \R^2 : |2x + 3y| \leq 4, |x-5y|\leq 3  \rbrace .$


\item %2
Laske $\int x dV$ yli tetraedrin, jota rajoittavat koordinaattitasot ja
taso $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 .$


\item %3
Osoita laskemalla muunnoksen Jakobin determinantti, ett� pallokoordinaateissa lausuttu tilavuusalkio on

$$dV = \rho^2 \sin \phi d\Theta d\phi d\rho .$$

\item %4
M��rit� kartion $z=\sqrt{x^2+y^2}$ ja pallon $x^2+y^2+z^2=a^2$ sis��n
j��v�n, xy-tason yl�puolella olevan "j�tskit�tter�n" tilavuus.

Laske sek� (a) sylinteri- ett� (b) pallokoordinaateissa.

Piirr� kuva Maplella. ({\tt H/harj10ohje.mws})

\item %5

(a)
M��rit� kuution $[0,a]\times [0,a]\times [0,a]  $ massakeskipiste,
kun tiheys $\rho(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$.

(b)
M��rit� Pallon $x^2+y^2+z^2=a^2$ 1. oktantin 
$x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ geometrinen keskipiste ("centroid").

\item %6
Laske ja havainnollista luentoteht�v�(�) pallon $x^2+y^2+z^2=4a^2$ja lieri�n $x^2+y^2=2ay$ sis��n j��v�n alueen tilavuudesta.

K�yt� integrointiin Maplea ja tietysti piirtoon. Yksityiskohtaisia ohjeita tiedostossa {\tt H/harj10ohje.mws}.


\end{enumerate}



\subsection*{Ohjeita}

{\bf Pallokoordinaatit}

$$
\begin{cases}
x=\rho \sin\phi \cos \Theta \\
y=\rho \sin \phi \sin \Theta \\
z=\rho \cos \phi
\end{cases}
$$

\subsubsection*{Momentteja, massakeskipisteit�}

Olkoon kappaleen $D$ tiheys paikasta riippuva: $\rho(x,y,z)$.
{\em Momentti} tason $x=x_0$ suhteen:
$$M_{x=x_0}= \int_D (x-x_0)\rho(x,y,z)dV = M_{x=0} - x_0 m,$$

miss� m on kappaleen $D$ massa (m:n integraalikaavan osaat kirjoittaa itse).

Vastaavasti m��ritell��n momentit $M_{y=y_0}$ ja $M_{z=z_0}$.

{\em Massakeskipiste} on sellainen piste $p_0=(x_0,y_0,z_0)$, jonka suhteen
lasketut momentit $M_{x=x_0}$, $M_{y=y_0}$ ja $M_{z=z_0}$ ovat nollia.
Ts. 
$x_0=\frac{M_{x=0}}{m},y_0=\frac{M_{y=0}}{m},z_0=\frac{M_{z=0}}{m} $.

{\em Keski�, eli geometrinen keskipiste} on homogeenisen kappaleen
(tiheys=vakio) massakeskipiste. Se siis saadaan asettamalla vaikka  $\rho=1$
yll�.


\end{document}


\begin{itemize}
\item

\item


\end{itemize}




