[Up]
http://www.math.hut.fi/teaching/v/2/L/sarjat.html    5.2.01

Sarjaoppia

Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan.

Kirjallisuutta

  1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, 8. painos Part D Complex Analysis, s. 651 - >
  2. Lahtinen-Pehkonen osa 2
  3. Salenius
  4. Adams, Grossman, Finney-Thomas, ...
  5. [RA] Kivelä: Reaalimuuttujan analyysi
  6. [Schei] Scheinerman: Invitation to dynamical systems

Kerrataan vielä lukujonot

Määr. Jono (z_{n}) suppenee kohti c:tä, jos: 
    \forall \epsilon \exists N s.e. |z_n - c| < \epsilon, kun n > N
Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.)

Raja-arvolauseita

Lause 1 Olk z_{n}=x_{n}+i y_{n}, c=a+i b. lim z_{n} = c JOSS lim x_n = a ja lim y_n = b

Lause 2 Summan, tulon ja osamäärän (jos nimittäjän raja-arvo # 0) pätevät.

Luennolla kerrataan/esitellään funktion raja-arvo ja jatkuvuus, määritelmät eivät muodollisesti taaskaan eroa lainkaan kompleksi- ja reaalitapauksessa.

Vastaavat algebralliset ominaisuudet (Lause 2) pätevät niin funktioden raja-arvoille kuin jatkuville funktioille.

Lause 3 Jos f on jatkuva pisteesä z ja z_n -> z, niin f(z_n) -> f(z).

Lause 4 (vain R) Jos x_n on kasvava ja ylhäältä rajoitettu reaalilukujono, niin on olemassa raja-arvo lim x_n ja se on sup x_n .
Todistettiin jo aiemmin luennolla. Periaate: merk s=sup x_n. Jos eps > 0, niin jonkun x_n:n on oltava suurempi kuin s-eps , muutenhan (s-eps) olisi pienintä ylärajaa pienempi yläraja. Koska jono on kasvava, jää koko loppuosa jonosta ympäristöön [s-eps, s] vangiksi (mikäänhän ei voi olla s:ää suurempi, kun s kerran on yläraja). Siinäpä se.

Lause 5 Suppeneva jono on rajoitettu.
Olkoon raja-arvo = c. Voidaan valita huoletta vaikka eps=1. On olemassa N siten, että kaikki jonon luvut z_n ovat 1-säteisessä, c-keskisessä kiekossa, kun n > N. Kaikki jonon pisteet sijaitsevat silloin O-keskisessä, R-säteisessä kiekossa, kun valitaan R=max(|c|+1, |z_1|, ... , |z_N|). Siispä jono on rajoitettu.
(Jos haluat pitää mielikuvanasi reaaliakselia, niin litistä kiekko yksiulotteiseksi väliksi.)

Lause 6 [Kuristuslause, squeezing lemma]

1. Vakiotermiset sarjat

Annettu jono (z_1, z_2, .... ) = (z_k). Muodostetaan osasummien jono : 
   s_1 = z_1
   s_2 = z_1 + z_2
   ...
   
   s_n = z1 + z_2 + ... + z_n
   ...
Kysymys sarjan suppenemisesta ja summasta tarkoittaa samoja kysymyksiä tämän osasummiin nähden.

Sarjan summaan johtavat askeleet

  1. Määrättävä s_n (differenssiyhtälö, usein vaikea tai mahdoton)
  2. Ratkaistava, suppeneeko s_n
  3. Määrättävä s=lim s_n
Sarjaoppi kesittyy suurimmaksi osaksi kysymykseen 2, yrittämättäkään vastata kysymyksiin 1 tai 3. Toisaaalta 1&3-linjalta saadaan 2-kohtaa olennaisesti edistävää faktaa pelkästään jo geometrisen sarjan avulla, joka toimii erinomaisena vertailusarjana.

Muut kuin geometrista sarjaa (tai "teleskooppisarjaa") koskevat 3.-tulokset ovat enimmäkseen syvällisiä, esim. Fourier-sarjojen suppenemislauseista seuraavia ihmeitä tai esim. Riemannin zeta-funktioon liittyviä vuosisatojensa suurien nerojen keksintöjä (Euler, Riemann, ...).

Teleskooppisarja syntyy tavallisesti osamurtohajoitelmalla:
Esim: 

    1/((2*n-1)*(2*n+1));
    convert(%,parfrac,n);
    Vain 1. ja viimeinen jäävät, "sisätermit" kumoutuvat pareittain.
    Summaksi saadaan 1/2 .

1.1 Yleisiä perusominaisuuksia

Jäännössarja, äärellisen osan poisjättäminen

Sarjan suppenemiseen ei vaikuta äärellinen määrä alkupään termejä. Sarjan summaan tietysti kylläkin.

Merk. R_n = sum(z_k, k=n+1..infinity); jäännössarja Jos sarja suppenee ja sen summa = s, niin R_n = s - s_n -> 0, kun n->infinity

Lause [Välttämätön ehto] Jos sarja sum(z_n,n=1..infinity) suppenee, niin z_n -> 0.

Tod: z_n = s_n - s_{n-1} -> 0 - 0 = 0.

Lause [Lineaarisuus] Ol. sum(z_n) = Z, sum(w_n) = W. Tällöin 

  sum(c*z_n) = c*sum(z_n);
  sum(z_n+w_n)=sum(z_n) + sum(w_n)
Lause [Re/Im] Olk z_n = x_n + i*y_n .
sum(z_n) supp <==> sum(x_n) supp ja sum(y_n) supp.

1.2. Positiivitermiset sarjat

Tässä puhutaan reaalilukusarjoista. Toisaalta valtaosa kompleksisarjateoriasta palautuu tähän, koska tärkeintä on lopulta itseinen suppeneminen.

Puhutaan tässä positiivisuudesta tarkoittaen ei-negatiivisuutta

Lause[PosPer] Positiiviterminen sarja sum(x_n) suppenee, JOSS {s_n | n = 1,2, ... } on ylhäältä rajoitettu.

Tod: Positiivisuudesta seuraa, että osasummat muodostavat kasvavan jonon. Siispä väite palautuu monotonisia lukujonoja koskevaan lauseeseen.

Lause [IT] Integraalitesti. Olk. x_n = f(n), missä f on jatkuva, pienenevä, posit. fkt. Tällöin 

  sum(x_n,n=1..infinity)  ja int(f(x),x=1..infinity)
suppenevat samanaikaisesti.

Tietysi riittää, että 1:n sijasta jostain N:stä alkaen.

p-harmoniset sarjat

Tiedämme, että harmoninen sarja hajaantuu. Selvitämme samantien integraalitestin avulla tapaukset sum(1/(n^p),n=1..infinity).

Lause [p-sarjat] sum(1/(n^p)) suppenee <==> p > 1.

Jatkoa yleisiin positiivitermisiin

Lause [Vertailutesti] x_n >= 0 . (a) Jos on olemassa suppeneva majorantti, sum(y_n), y_n >= x_n kaikilla n.

alaind: yläind: R^n Rn