\documentclass[finnish,12pt,twocolumn]{article} \usepackage{/home/apiola/tex/v2harj} \include{/home/apiola/tex/defs} %\usepackage{v23harj} %\include{defs} \begin{document} %\vspace{0.2cm} %\begin{verbatim} %\end{verbatim} \harjoitus{1}{3--4}{22--26.1} Harjoitussysteemi: ke 10--12: AV: Perinteinen, enimmäkseen liitutauluharjoitus \\ to 10--12: KV: Yhdessä työskentelyä, muutakin kuin ohjelmiston syntaksia.\\ pe 8-10: LV: Oppilaat esittelevät omia ratkaisujaan, videotykki, liitutaulu, www-sivut, Maple-ws:t ym. 1. viikko (3) {\bf Vain torstaina}, silloin siis neuvontaharjoitus. (Jos halutaan erillistä Maple-opetustilaisuutta, voidaan järjestää.) \subsubsection*{Alkuviikko (AV), ke 1.2.} \begin{enumerate} \item Olkoon $z=x+i y$. Sievennä a) $\Im (\frac{1}{z})$ % lausuttuna $\Im z$:n ja $|z|$:n avulla. b) $\Im (z^4) $ c) $\Re(\frac{z}{\overline z})$ \item Todista kompleksilukujen tulon nollasääntö: $z_1 z_2 =0 \iff z_1 = 0 \or z_2 = 0$ \item Lausu {\em De Moivre'n kaavaa} hyödyntäen $\cos 3\Theta$ ,$\cos 4\Theta$ ja $\sin 5\Theta$ $\cos \Theta$:n ja $\sin \Theta$:n avulla. % * Tästä Maple-tehtävä myös \item Ykkösen n:nnet juuret olkoot $w_n^k, k=0 \ldots n-1$. (Tässä yläindeksi voidaan tulkita joko indeksiksi tai potenssiksi.) Olkoon $n \ge 1$ ja $1 \leq k \leq n-1$. Osoita, että $$\sum_{j=0}^{n-1} (w_n^k)^j = 0 .$$ Vihje: Geometrinen summa (ei tarvitse kaivaa MAOL:ia, osaathan johtaa). Tulkitse myös geometrisesti (kumpihan on ``geometrisempaa''). \item Kompleksiluvulla $e^{i\alpha}$ kertominen suorittaa kierron kulman $\alpha$ verran. Tämähän on vanha C1-tuttu olio, tason $\R^2$ lineaarikuvaus, jolla niin ollen on matriisiesitys. Johda kiertokuvauksen matriisiesitys muodostamalla tulo $w=e^{i\alpha} z$, $z=x+iy=re^{i\Theta}$ Pieni ("vapaaehtoinen") jatko-osa: Tästä on helppo yleistää mielivaltaisella kompleksiluvulla $R e^{i\alpha}$ kertomiseen. Miten kuvausta voi sanoin kuvailla ? \item a) Määritä $\sin i$ ja $\cos i$ . b) Määritä ne $z$:n arvot, joilla $e^z$ saa arvot $2, -1, i$, näin tulet laskeneeksi ko. lukujen (eräät tai kaikki) logaritmit. \end{enumerate} \subsubsection*{Loppuviikko (LV), pe 26.1.} \subsubsection*{Joitakin Maple-viitteitä} \begin{verbatim} http://www.indiana.edu/~statmath/math/maple/plotting/index.html http://www.math.hut.fi/teaching/k3/maple-pikaopas.html http://www.math.hut.fi/~virranko/mplopas/kansi1.htm http://solmu.math.helsinki.fi/1999/5/apiola/ [HAM] Apiola: Symb. ja num. mat. Maple-ohjelmalla Otatieto 588 \end{verbatim} Tässä harjoituksessa tarvitaan erityisesti näitä Maple-taitoja: \begin{verbatim} plot, seq, map, subs, with(plots), complexplot, plot3d kuva1:=xxxplot(...): # Kuvan tallettaminen muuttujaan, muista (:) kuva2:=xxxplot(...): # ... siis ei saa lopettaa (;):een (tai kärsit!) display([kuva1,kuva2]); # Näin yhdistetään grafiikkoja. f:=(x,y)-> 2*x+exp(x*y); # Esimerkki funktiomäärityksestä \end{verbatim} {\bf Funktion ja lausekkeen ero ja käyttö on sitten osattava ja ymmärrettävä vaikka unissaan}. \begin{enumerate} \item Ykkösen n:nsien juurien käsittelyä varten määrittele Maple-funktio \verb_ w:=(k,n)->exp(I*2*k*Pi/n); _ Piirrä yksikköympyrä ja kaikki $\root n \of 1$:t joillakin $n$:n arvoilla. Laadi sitten Maple-skripti, jolla voidaan laskea ja piirtää syötteenä annetun mielivaltaisen kompleksiluvun kaikki n:nnet juuret. \begin{verbatim} > z:=2+3*I : n:=10: % Muuteltava syöterivi > juuret:=seq(w(k,n),k=0..n-1); > ? complexplot \end{verbatim} Huomaa, että $e^{i\Theta}, \ \ \Theta\in [0,2\pi)$ "piirtää" yksikköympyrän. \verb_ complexplot_ on juuri reaalimuuttujan kompleksiplotti. Kts. tarkemmin {\tt ../L/kompluvut.html} (luentosivuissa). \item Sivuilla \verb_L/kompluvut.html_ ja \verb_L/komplfunkt.html_ on esimerkkejä, mm. funktiosta $w=f(z)=z^2$. Selvitä ja selosta, miten toimii. Täydennä kuvaa piirtämällä kullekin z-tason käyräparvien rajaamalle alueelle piste ja samanvärinen piste vastaavalle kuva-alueelle w-tasossa. (Alueen vaihtuessa vaihda väriä.) Voit keksiä muitakin tapoja havainnollistaa alueiden kuvautuvuusvastaavuuksia. Käsittele sitten samaan tapaan funktiota $w=f(z)=z^3$ \item Tutki eksponenttifunktiota. a) Piirrä koordinaattiristikko ja sen kuva. Selvitä, miten mitkäkin viivat (ja alueet) kuvautuvat. b) Piirrä 3D-kuva: $|e^z|$, missä värillä ilmaistaan funktion $e^z$ argumentti ({\em arg}). (Väri toimii 4:ntenä ulottuvuutena.) c) Piirrä $arg(e^z)$, missä värillä ilmaistaan itseisarvo. Katso taas mallia \verb_L/kompluv.html ja L/komplfunkt.html_ - sivuista. Selosta exp-funktion perusominaisuudet kuvien avulla. Muista, että kyseessä on matematiikan tärkein funktio, suhtaudu tehtävään riittävällä arvokkuudella. \item Lue KRE Exa 3, s. 677 (Joukowski airfoil), siinä tutkitaan kuvausta $f(z)=z+\frac{1}{z}$. \begin{itemize} \item Selvitä (kynä/liitu) origokeskisten ympyröiden kuvautuminen. \item Vaikka emme ole käsitelleet vielä kompleksifunktioiden derivointia, derivoi reaalifunktioista tuttujen sääntöjen mukaan ja totea nollakohdat ($-1,1$). Nämä ovat erikoispisteitä, joissa kuvaus ei ole "konforminen". \item Piirrä joitakin ympyröitä, joiden keskipiste on imaginaariakselilla ja jotka kulkevat pisteiden $-1$ ja $1$ kautta ja piirrä vastaavat kuvajoukot. \end{itemize} \end{enumerate} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% AV \item Olkoon $z=x+i y$. Sievennä a) $\textit{Im} (\frac{1}{z})$ % lausuttuna $Im z$:n ja $|z|$:n avulla. b) $\textit{Im} (z^4) $ c) $\textit{Re}(\frac{z}{\overline z}$ vaiko bar \item Todista kompleksilukujen tulon nollasääntö: $z_1 z_2 =0 \iff z_1 = 0 | z_2 = 0$ \item Lausu De Moivre'n kaavaa hyödyntäen $\cos 3\Theta$ ja $\sin 3\Theta$ $\cos \Theta$:n ja $\sin \Theta$:n potenssien avulla. * Tästä Maple-tehtävä myös \item Ykkösen n:nnet juuret olkoot $w_n^k, k=0 \ldots n-1$. (Tässä yläindeksi voidaan tulkita joko indeksiksi tai potenssiksi.) Olkoon $n \ge 1$ ja $1 \leq k \leq n-1$. Osoita, että $$\sum_{j=0}^{n-1} (w_n^k)^j = 0 .$$ Vihje: Geometrinen summa. Tulkitse myös geometrisesti (tulipa geometrista, vain jälkimmäinen oikeasti). \item Kompleksiluvulla $e^{i\alpha}$ kertominen suorittaa kierron kulman $\alpha$ verran. Tämähän on vanha C1-tuttu olio, tason $\R^2$ lineaarikuvaus, jolla niin ollen on matriisiesitys. Johda kiertokuvauksen matriisiesitys muodostamalla tulo $w=e^{i\alpha} z$, $z=x+iy=re^{i\Theta}$ Pieni ("vapaaehtoinen") jatko-osa: Tästä on helppo yleistää mielivaltaisella kompleksiluvulla $R e^{i\alpha}$ kertomiseen. Miten kuvausta voi sanoin kuvailla ? LV Tässä harjoituksessa tarvitaan erityisesti näitä Maple-taitoja: \begin{itemize} \item plot, seq, map, with(plots), complexplot, plot3d kuva1:=xxxplot(...): kuva2:=xxxplot(...): display([kuva1,kuva2]); \item \verb_f:=(x,y)-> lauseke, jossa esiintyy x ja y; # funktiomääritys_ \end{itemize} \item[n:nnet juuret] Ykkösen n:nsien juurien käsittelyä varten määrittele Maple-funktio \verb_ w:=(k,n)->exp(I*2*k*Pi/n); _ Piirrä yksikköympyrä ja kaikki $\root n of 1$:t joillakin $n$:n arvoilla. Laadi sitten Maple-skripti, jolla voidaan laskea ja piirtää syötteenä annetun mielivaltaisen kompleksiluvun kaikki n:nnet juuret. \begin{verbatim} > z:=2+3*I : n:=10: % Muuteltava syöterivi > juuret:=seq(w(k,n),k=0..n-1); > ? complexplot \end{verbatim} Huomaa, että $e^{i\Theta}, \ \ \Theta\in [0,2\pi)$ "piirtää" yksikköympyrän. \verb_ complexplot_ on juuri reaalimuuttujan kompleksiplotti. Kts. tarkemmin {\tt ../L/kompluvut.html} (luentosivuissa). \item Sivuilla \verb_L/kompluvut.html_ ja \verb_L/kompfunkt.html_ on esimerkkejä, mm. funktiosta $w=f(z)=z^2$. Selvitä ja selosta, miten toimii. Täydennä kuvaa piirtämällä kullekin z-tason käyräparvien rajaamalle alueelle piste ja samanvärinen piste vastaavalle kuva-alueelle w-tasossa. (Alueen vaihtuessa vaihda väriä.) Voit keksiä muitakin tapoja havainnolliostaa alueiden kuvautuvuusvastaavuuksia. Käsittele sitten samaan tapaan funktiota $w=f(z)=z^3$ \item Tutki eksponenttifunktiota. a) Piirrä koordinaattiristikko ja sen kuva. Selvitä, miten mitkäkin viivat (ja alueet) kuvautuvat. b) Piirrä 3D-kuva: $|e^z|$, missä värillä ilmaistaan funktion argumentti. (Väri toimii 4:ntenä ulottuvuutena.) c) Piirrä $arg(e^z)$, missä värillä ilmaistaan itseisarvo. Katso taas mallia \verb_L/kompluv.html ja L/komplfunkt.html_ - sivuista. \item Lue KRE Exa 3, s. 677 (Joukowski airfoil), siinä tutkitaan kuvausta $f(z)=z+\frac{1}{z}$. \begin{itemize} \item Selvitä (kynä/liitu) origokeskisten ympyröiden kuvautuminen. \item Vaikka emme ole käsitelleet vielä kompleksifunktioiden derivointia, derivoi reaalifunktioista tuttujen sääntöjen mukaan ja totea nollakohdat ($-1,1$). Nämä ovat erikoispisteitä, joissa kuvaus ei ole "konforminen". \item Piirrä joitakin ympyröitä, joiden keskipiste on imaginaariakselilla ja jotka kulkevat pisteiden $-1$ ja $1$ kautta ja piirrä vastaavat kuvajoukot. \end{itemize}