V2, harj. 7 ratk. viikko 14

HA 4.4..2000

>

> with(linalg):with(plottools);with(plots):

>

>

1.

> ka:=implicitplot(x*y^3+x^4*y=2,x=-3..3,y=-4..4):

> implicitplot(3*y^2+x^3,x=-5..1,y=-5..5);kiellettya:=plot([-3^(1/3)*y^(2/3),y,y=0..5],color=blue),plot([-3^(1/3)*y^(2/3),-y,y=0..5],color=blue):display([ka,kiellettya]);

"Eksplisiittisellä plot:lla" saatiin tarkempi kuva kärkipisteen lähellä.

b)

> kielletty:=plot([3*(-x)^(3/2),-3*(-x)^(3/2)],x=-3..0,color=[blue,blue]):

> sys:=x*y^3+x^4*y=2,3*y^2+x^3=0;fsolve({sys},{x,y});

Siis y määräytyy lokaalisti x:n funktiona y=y(x) kaikissa muissa punaisen käyrän pisteissä paitsi punaisen ja sinisen leikkauksessa eli yllä ratkaistussa.

Huom: Vastaus ei siis ole sinisen komplementti, vaan toki pisteen (x,y) pitää sijaita myös punaisella käyrällä.

Kiintoisaa, että Adamsissakin on vastaus ilmoitettu tässä suhteessa väärin.

b)

> kiellettyb:=plot([2*(-x)^(3/2),-2*(-x)^(3/2)],x=-3..0,color=[blue,blue]): display([ka,kiellettyb]);

> sys:=x*y^3+x^4*y=2,y^2+4*x^3=0;fsolve({sys},{x,y});

Siis x=x(y) lokaalisti kaikissa muissa punaisen käyrän pisteissä paitsi yllä saadussa punaisen ja sinisen leikkauksessa. Tässä pisteessä tangentti on vaakasuora.

Tässä nyt ovat oikeat vastaukset, käsinkirjoitetussa homma jäi puolitiehen.

2.

> yht1:=F(x,y,z(x,y),w(x,y))=0;yht2:=G(x,y,z(x,y),w(x,y))=0;

> dyht1:=diff(yht1,y);dyht2:=diff(yht2,y);

Tästä näkyy systeemin matriisi, joka siis on jakobiaani kahden viimeisen (z,w) suhteen, eli

> with(linalg):

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

> jacobian([F(x,y,z,w),G(x,y,z,w)],[z,w]);

3.

5.

a)

> f:=x^2+2*y^2-4*x+4*y;g:=grad(f,[x,y]);

>

>

>

> plot3d(f,x=2-1..2+1,y=-1-1..-1+1);

b)

> f:=x^3+y^3-3*x*y;g:=grad(f,[x,y]);

> solve({g[1]=0,g[2]=0},{x,y});allvalues(%[3]);

> plot(subs(y=x,f),x=-1..1);plot(subs(y=-x,f),x=-1..1);

Näistä kuvista näkyy "satulakäytös" O:ssa.

> plot3d(f,x=-1..1,y=-1..1);

> plot3d(f,x=1-0.3..1+0.3,y=1-0.3..1+0.3);

Tässäpä on selvä minimi (toisin kuin taululla laskiessa päättelin).

> hessian(f,[x,y]);det(%);subs(x=1,y=1,%);

Selvä tapaus. Tauluvirhe oli siinä, että jotenkin sähläsin sivulävistäjän nollaksi, vaikka selvästi

> diff(f,x);diff(f,x,y);

6.

> f:=cos(x)+cos(y);

> plot3d(f,x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi);

> hessian(f,[x,y]);

> grad(f,[x,y]);

No, eipä tämä tästä mene käsinlaskua paremmin enää.

Torstain harjoitukset:

1.

>

2.

> f:='f':F:=t->f(a+t*h,b+t*k);

> P3:=taylor(F(t),t=0,4);

> P3:=convert(P3,polynom):P3:=subs(t=1,P3);

> f:=(x,y)->1/(2+x-2*y);

> a:=2:b:=1:

> P3;

> subs(h=x-2,k=y-1,P3);expand(%);

> readlib(mtaylor):

> mtaylor(f(x,y),[x=2,y=1],4);

b)

> a:='a':b:='b':f:='f':F:=t->f(a+t*h,b+t*k);P4:=taylor(F(t),t=0,5);P4:=convert(P4,polynom):P4:=subs(t=1,P4);

> f:=(x,y)->cos(x+sin(y));a:=0:b:=0:

> P4;

> P4:=subs(h=x,k=y,P4);

> mtaylor(f(x,y),[x=0,y=0],5);

>