Ääriarvoja, kriittisiä pisteitä, Taylor ja Hesse

> f:=(x,y)->1/(2+x-2*y);

Palapalalta-tapa:

> d1:=diff(f(x,y),x):d2:=diff(f(x,y),y):

> d11:=diff(f(x,y),x,x):d12:=diff(f(x,y),x,y):d22:=diff(f(x,y),y,y):

> d111:=diff(f(x,y),x,x,x):d112:=diff(f(x,y),x,x,y):
d122:=diff(f(x,y),x,y,y):d222:=diff(f(x,y),y,y,y):

> h:=(u-2);k:=(v-1);

> D[2,1](f)(x,y);

Heikin idea !

> DD:=f->h*D[1](f)+k*D[2](f);

>

> h:='h':k:='k':

> DD(f)(x,y);

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Heikin vielä parempi idea!

> f:='f':F:=t->f(a+t*h,b+t*k);

> dF:=D(F):

> dF(0);

> d2F:=D(dF):

> d2F(0):

> d3F:=D(d2F):

> d3F(0):

> tp:=F(0)+dF(0)+1/2*d2F(0)+1/(3!)*d3F(0):

> subs(a=2,b=1,%);

----------------------------------------------------------------------------------------

Taylorin sarja "käsin":

>

> T(2,1):=subs(x=2,y=1,f(x,y)+d1*h+d2*k+1/2*(d11*h^2+2*d12*h*k+d22*k^2)+1/6*(d111*h^3+3*d112*h^2*k+3*d122*h*k^2+d222*k^3));

Taylorin kehitelmä Maplella:

> readlib(mtaylor):

> mtaylor(f(x,y),[x,y],4);

Katsotaan sentään miltä funktio näyttää "luonnossa".

> plot3d (f(x,y),x=1.9..2.1,y=.9..1.1):

Vielä yksi tapa on kehittää funktio jo heti sarjaksi seuraavaan tapaan...

1/(2+x-2y)=1/(2(1+(x-2y)/2) =1/2 1/(1+t) =1/2(1-t+t^2-t^3) + Rn

Entäs sitten kohta b)

> g:=(x,y)->cos(x+sin(y));

> mtaylor(g(x,y),[x,y],5);

> plot3d(g(x,y),x=-1..1,y=-1..1):

Tehtävä 3.
Määritellään ja luokitellaan funktion kriittiset pisteet.

Tässä on funktio:

> f:=(x,y)->x^2*y*exp(-(x^2+y^2));

Katsotaan miltä funktion kuvaaja näyttää x:n ja y.n kulkiessa välillä (-1,1) ja toisaalta (-5,5).

> with(plots):
pinta1:=plot3d(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1):display([pinta1],axes=frame);
pinta2:=plot3d(f(x,y),x=-5..5,y=-5..5):display([pinta2],axes=frame,orientation=[-10,60]);

Lasketaan funktion kriittiset pisteet, eli pisteet, joissa ensimmäiset osittaisderivaatat saavat arvon 0. Ratkaistaan 'solve':lla, evaluoidaan 'allvalues'illa ja sijoitetaan ratkaisut vektoriin krp.

> apu:= solve ({diff(f(x,y),x)=0,diff(f(x,y),y)=0},{x,y});

> krp:=seq(allvalues(apu[i]),i=1..3);

Nyt kun tiedetään kriittiset pisteet voidaan tutkia Hessen matriisia näissä pisteissä. (Tutkitaan neliömuodon tyyppiä sen esitysmatriisin determinantin (tehtävässä 5 ominaisarvojen) avulla.)

>

> with(linalg):

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

> hm:=hessian(f(x,y),[x,y]);

>

> hesset:=seq(subs(krp[i],op(hm)),i=1..5);

--------------Tämä pätkä kuuluu tehtävään 5, jossa lasketaan ominaisarvot ja vektorit--------------

>

> ooveet:=seq(eigenvectors(hesset[i]),i=2..5):

> ooaat:=seq(eigenvalues(hesset[i]),i=2..5):

--------------------------------------------------------------------------
Katsotaan sitten determinanttia .

> detit:=seq(det(hesset[i]),i=1..5);

Tämän tiedon mukaan pisteissä (0,y) on neliömuoto semidefiniitti. Pisteissä
(nyt-ei-toimi-Maple-Input) siis niissä muissa, jotka näkyvät edellä determinantit ovat >0.

> ekatermit:=seq(hesset[i][1,1],i=1..5);

Näistä Hessen matriisien vasemman ylänurkan alkioiden merkeistä voidaan katsoa ovatko definiitit neliömuodot negatiivisesti vai positiivisesti definiittejä.
Saadaan: negdef, posdef, negdef, posdef.

Globaaleista ääriarvoista vielä sen verran, että e^(-(x^2+y^2)) lähestyy nopeasti nollaa, kun loitonnutaan origosta.

> limit(exp(-(x^2+y^2))*x^2*y,{x=infinity,y=infinity});

>

Edellinen ei onnistunut, mutta plottaamallakin näkee (suoralla) monotonisten funktioiden suhteesta jotakin. (samaistetaan x ja y kun molemmat kasvavat).

> plot([exp(x^2+x^2),x^2*x],x=1..1.5,color=[red,green]);

Eksponenttifunktion kasvu on huima.

>

Tehtävä 4 , jossa toimitetaan samat asiat funktiolle f(x,y)=xy/(2+x^4+y^4)

>

> f:=(x,y)->x*y/(2+x^4+y^4);

> plot3d(f(x,y),x=-3..9,y=-3..9,orientation=[-15,45]);

> apu:=solve({diff(f(x,y),x)=0,diff(f(x,y),y)=0},{x,y}):

>

> krp:=seq(allvalues(apu[i]),i=1..10);

Imaginaarisia ei kelpuuteta.

> krp:=[krp[1],krp[2],krp[3],krp[6],krp[7]];

Lasketaan Hessen matriisit.

> hm:=hessian(f(x,y),[x,y]);

> hesset:=seq(subs(krp[i],op(hm)),i=1..5);

Kahtotaan determinantit.

> detit:=seq(det(hesset[i]),i=1..5);

Siis indefiniitti, negatiivisesti definiitti, positiivisesti definiitti, positiivisesti definiitti, negatiivisesti definiitti.
Eli satulapiste, oleellinen paikallinen maksimi, oleellinen paikallinen minimi, oleellinen paikallinen minimi, oleellinen paikallinen maksimi.

Piirretään kuvia tehtävään 5

>
with(plottools):v1:=line([0,0,0],[0,1,0],color=red,thickness=3):v2:=line([0,0,0],[1,0,0],color=blue,thickness=3):

> with(plots):

> f:=(x,y)->x^2*y*exp(-(x^2+y^2));

> pinta1:=plot3d(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1):

>

>

> display([pinta1,v1,v2],orientation=[-20,45]);

>

Tehtävä 6.

Olkoon pohjan sivut a ja b sekä korkeus h. Hinta per pinta-ala olkoon p ja tilavuus P. Kokonaishinnan ollessa H, saadaan
tovin yhtälöiden pyörittämisen jälkeen H=p*(3*1/h+2*1/a+2*1/b), missä V ja p ovat vakiot joten tarkastellaan kolmen muuttujan funktiota f(a,b,h). Käsin laskettava helpommin..

>

>

>