Luento 7

7.10 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

Tässä A on neliömatriisi

(1) A x = s x , s in C.

(yleensä merkitään s:n sijasta lambda, mutta kun HTML ...)
Yhtälöllä on aina triviaaliratkaisiu x=0, olipa s mikä tahansa kompleksiluku.
Kysymys kuuluu:

• Määritä luku s siten, että yhtälöllä (1) on ei-triviaaleja ratkaisuvektoreita x.
• Määritä sitten kutakin ratkaisua s kohti ao. ratkaisuvektorit.

Käsitteitä

• Ominaisavaruus
• Spektri, spektraalisäde
• Karakteristinen polynomi : D(s)=det(A-s I)
• Ominaisarvon s_k algebrallinen kertaluku = p, missä p tarkoittaa potenssia, kun
  D(s)= ... (s-s_k)^p ...
  Alg. kertal. merk M_s
• Geometrinen kertaluku m_s tarkoittaa vastaavan ominaisavaruuden dimensiota
• Pätee: m_s <= M_s
• Matriisi A on defektiivinen , jos jollain ominaisarvolla s on aidosti m_s < M_s
• Maplen eigenvects - komennon tulostus antaa havainnollisen näytön algebrallisesta ja geometrisesta kertaluvusta.