Esim. 1 (KRE s. 163)

>	restart: with(LinearAlgebra): with(linalg): with(plots):

Warning, the previous binding of the name GramSchmidt has been removed and it now has an assigned value

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the name changecoords has been redefined

>	A:=<<-3,1>|<1,-3>>;

>	(lambda,ov):=Eigenvectors(A);

>	x1:=ov[1..-1,1]; x2:=ov[1..-1,2];

>	Y:=C1*exp(lambda[1]*t)*x1+C2*exp(lambda[2]*t)*x2;

>	C1:=1: C2:=.5: plot([Y[1],Y[2]],t=0..2,title="Ratkaisufunktiot y1(t)ja y2(t) aikakuvassa",color=[red,blue]);

Faasikuvan piirtämistä ajatellen kannattaa katsoa taas ominaisvektorikantaa, Sekä käsin, että Maplella on helpompaa, jos otetaan käyräparametriksi

>	s=exp(-2*t);

>	C1:='C1': C2:='C2':

>	Ys:=C1*s^2*x1+C2*s*x2;

>	YY:=evalm(Ys);

>	C1:=arvo1: C2:=arvo2: 'plot'([YY[1],YY[2],s=a..b]); # Huomaa param. piirron syntaksi!

>	C1:=-2: C2:=1: plot([YY[1],YY[2],s=0..1]);kuva1:=%:

>

>	C1:=2: C2:=-1: kuva2:=plot([YY[1],YY[2],s=0..1]):

>	display(kuva1,kuva2);

>	C1:='C1': C2:='C2':

>	parvi:=seq(seq([YY[1],YY[2],s=0..1],C2=-2..2),C1=-2..2);

>	plot([parvi]);

>	display(%,arrow([x1,x2]));

>

kuva:=%:

>	with(DEtools):

Warning, the name adjoint has been redefined

>	DEplot([D(y1)(t)=-3*y1(t)+y2(t),D(y2)(t)=y1(t)-3*y2(t)], [y1(t),y2(t)],t=-5..2,y1=-4..4,y2=-4..4,color=grey);

>	display(kuva,%,title="Trajektoreita ja suuntakenttä");

1.1 Esim. 2.2 Lähde, ominaisarvot > 0

>	restart: with(LinearAlgebra): with(linalg): with(plots):

Warning, the previous binding of the name GramSchmidt has been removed and it now has an assigned value

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the name changecoords has been redefined

>	A:=<<1,0>|<1,2>>;

>	(lambda,ov):=Eigenvectors(A);

>	v1:=ov[1..-1,1]; v2:=ov[1..-1,2];

>	C:='C1': C:='C2':

>	y:=t->C1*exp(lambda[1]*t)*v1+C2*exp(lambda[2]*t)*v2;

>	Y:=y(t); # Vektorilauseke.

>	C1:=1: C2:=.5: plot([Y[1],Y[2]],t=0..2,title="Ratkaisufunktiot y1(t)ja y2(t) aikakuvassa",color=[red,blue]);

>	C1:='C1': C2:='C2':

>	Ys:=map(eval,subs(t=log(s),y(t)));

>	YY:=evalm(Ys);

>	parvi:=seq(seq([YY[1],YY[2],s=0..4],C2=-2..2),C1=-2..2):

>	parvi:  # Vaihda puolipiste, niin näet "parven".

>	plot([parvi]);

>	display(%,arrow([v1,v2]),view=[-5..5,-5..5]);

>

kuva:=%:

>	with(DEtools):

Warning, the name adjoint has been redefined

>	DEplot([diff(y1(t),t)=y1(t)+y2(t),diff(y2(t),t)=2*y2(t)], [y1(t),y2(t)],t=-5..2,y1=-5..5,y2=-5..5,color=grey);

>	display(kuva,%,title="Lähde,lambda[1] > 0, lambda[2] > 0");

1.2 Esim. 2.3, Nielu, ominaisarvot < 0

Periaatteessa samanlainen kuin lähde edellä, mutta nyt ominaisarvot negatiiviset. Trajektirit virtaavat origoon.

>	A:=<<-2,-1>|<-1,-2>>;

>	(lambda,ov):=Eigenvectors(A);

>	v1:=ov[1..-1,1]; v2:=ov[1..-1,2];

>	C1:='C1': C2:='C2':

>	y:=t->C1*exp(lambda[1]*t)*v1+C2*exp(lambda[2]*t)*v2;

>	subs(t=log(s),y(t)): Ys:=eval(%); # Siirrytään logaritmiseen parametriin. Tämä ei ole välttämätöntä, mutta helpottaa erit. käsin piirtoa, myös Maple-piirrossa skaala pysyy paremmin hanskassa.

>	# 0 < s < 1, kun t > 0.

Lasketaan koordinaattimuodossa:

>	YY:=evalm(Ys);

>	parvi:=seq(seq([YY[1],YY[2],s=0..4],C2=-2..2),C1=-2..2):

>	plot([parvi]);

>	display(%,arrow([v1,v2]),view=[-5..5,-5..5]);

>

kuva:=%:

>	with(DEtools):

>	display(kuva,DEplot([D(y1)(t)=-2*y1(t)-y2(t),D(y2)(t)=-y1(t)-2*y2(t)], [y1(t),y2(t)],t=-5..2,y1=-5..5,y2=-5..5,color=grey),title="Nielu");

Nielu on vahvasti stabiili. Kaikki trajektorit lähestyvät O:a, kun t ->  .

1.3 Esim 2.4 Satula, reaaliset, erimerkk.

>	A:=<<2,-4>|<-1,-1>>;

>	(lambda,ov):=Eigenvectors(A);

>	v1:=ov[1..-1,1]; v2:=ov[1..-1,2];

>	C1:='C1': C2:='C2':

>	Y:=C1*exp(lambda[1]*t)*v1+C2*exp(lambda[2]*t)*v2;

>	subs(t=log(s),Y);Ys:=eval(%);

>	# 0 < s < 1, kun t > 0

>	YY:=evalm(Ys);

>	parvi:=seq(seq([YY[1],YY[2],s=0..4],C2=-2..2),C1=-2..2):

>	plot([parvi]);

>	display(%,arrow([v1,v2]),view=[-5..5,-5..5]);

>

kuva:=%:

>	with(DEtools):

>	display(kuva,DEplot([D(y1)(t)=2*y1(t)-y2(t),D(y2)(t)=-4*y1(t)-y2(t)], [y1(t),y2(t)],t=-5..2,y1=-5..5,y2=-5..5,color=grey),title="Satula");

Epästabiili.  Osa trajektoreista --> , lähdettiinpä miten läheltä O:a tahansa (erit. posit. ominaisarvoa vastaavan

ominaisvektorin pisteistä).

1.4 Esim. 2.5, epästabiili fokus , kompleksiset, Re( ) > 0

>	A:=<<9,16>|<-8,-7>>;

>	(lambda,ov):=Eigenvectors(A);

>	v1:=ov[1..-1,1]; v2:=ov[1..-1,2];

>	C1:='C1': C2:='C2':

>	Y:=C1*exp(lambda[1]*t)*v1+C2*exp(lambda[2]*t)*v2;

>	alpha:=Re(lambda[1]);

>	beta:=Im(lambda[1]);

>	u:=map(Re,v1); v:=map(Im,v1);

>	uv:=<u|v>;

>	C:=<<cos(beta*t),-sin(beta*t)>|<sin(beta*t),cos(beta*t)>>;

>	Y:=exp(alpha*t)*(uv.C.<C1,C2>); # Sulut laitettava näin, Maple ei täysin hallitse kertolaskujen liitännäisyyttä.

>	YY:=evalm(Y);

>

>	parvi:=seq(seq([YY[1],YY[2],t=0..2],C2=-2..2),C1=-2..2):

>	plot([parvi]);

>	display(%,arrow([u,v]),view=[-5..5,-5..5]);

>

kuva:=%:

>	with(DEtools):

>	display(kuva,DEplot([D(y1)(t)=9*y1(t)-8*y2(t),D(y2)(t)=16*y1(t)-7*y2(t)], [y1(t),y2(t)],t=-5..2,y1=-5..5,y2=-5..5,color=grey),title="Epästabiili fokus");

1.5 Esim. 3.0 Degeneroitununut lähde (KRE s. 168)

>	A:=<<4,-1>|<1,2>>;

>	Eigenvectors(A);

>	expA:=t->exp(3*t)*<<1+t,-t>|<t,1-t>>;

>

expA(t);

>	exponential(A,t); # Tarkistus.

>	Y:=exp(3*t)*((expA(t)/exp(3*t)).<C1,C2>);

Jälleen piti temppuilla, koska kertolaskun liitännäisyys ei ole ihan hallinnassa.

>	YY:=evalm(Y);

>

>	parvi:=seq(seq([YY[1],YY[2],t=-2..2],C2=-2..2),C1=-2..2):

>

>	display(plot([parvi]),arrow(<-1,1>),view=[-5..5,-5..5],title="Degeneroitunut lähde");

EHY-esim, degeneroitunut

>	A:=<<1,-1>|<4,-3>>;

>

g:=<t,1>;

>	y:=<a*t+b,c*t+d>;

>	dy:=map(diff,y,t);

>

A.y+g;

>

>

>

>

2.1 Analyyttinen ratkaisu (dsolve)

Esimerkki:

>

restart:

>	AAteht:={diff(x(t),t)=x(t)+2*y(t),diff(y(t),t)=-x(t),x(0)=a,y(0)=0};

>	aaratk:=dsolve(AAteht,{x(t),y(t)});

>	aaratkf:=unapply(subs(aaratk,[x(t),y(t),t=trange]),a,trange);

>	aaratkf(2,a..b);

>	plot(aaratkf(1,0..10)):

>	seq(aaratkf(a,0..10),a=-1..1);

>	plot([seq(aaratkf(a,-4..3),a=-4..4)]);

Tehdään käyttäjälle vielä helpommaksi uudella kertakäyttöfunktiolla

>	faasi:=trange->plot([seq(aaratkf(a,trange),a=-4..4)]);

>	faasi(-4..3);faasi(-10..1);

Vaihdetaan parametriväliä, lisätään samalla funktioon mahdollisuus antaa plot-optioita.

>	faasi:=(trange,opt1,opt2)->plot([seq(aaratkf(a,trange),a=-20..20)],opt1,opt2);

>	faasi(-10..10,view=[-10..10,-10..10],numpoints=200);

• Käyttöohje:
•    Aina, kun haluat vaihtaa parametriväliä, suorita määrittelyrivi faasi:=(..)->.. uudestaan.
•    Kun piirrät eri t: n arvoilla, suorita komento faasi(..) ;
•    Kun vaihdat diffyhtsysteemiä, suorita ensin rivit: AAteht:=..  ja aaratk:= ..  .

Error, `..` unexpected

2.2. Numeerinen ratkaisu (dsolve(..,numeric))

s. 170-..

Teknisesti asia voitaisiin ajatella hoidettavaksi aivan samoin kuin yllä, lisäämällä dsolve-komentoon valitsin " numeric ".

Tämä ei kuitenkaan toimi yllä olevalla tavalla tehtynä, koska dsolve(...,numeric) tarvitsee  numeeriset alkuarvot, ennenkuin se voi laskea mitään. Nyt täytyy olla senverran ovela, että estetään Maple evaluoimasta mitään ennen numeeristen alkuarvojen  antamista.

Nämä ovat hiukan sofistikoituneita symbolilaskenta-asioita. Jos haluat pitäytyä vain ylimalkaisessa evalointiärjestysasioiden ymmärryksessä, voit toki ottaa tämän työarkin kaikelle tämänsuunaiselle toiminnalle pohjaksi.

>	restart: with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

>	dys:=diff(x(t),t)=x(t)+2*y(t),diff(y(t),t)=-x(t);

>	numratk:=(a,b)->dsolve({dys,x(0)=a,y(0)=b},{x(t),y(t)},numeric,maxfun=1000);

>	numratk(0,1);

>	numratk(0,1)(1);  # Numeerisen ratkaisun arvo annetussa pisteessä.

>

Nyt käytetään ->  määrittelyä, jolloin evaluointi tapahtuu vasta suoritusaikana. Voit kokeilla, mitä tapahtuu unapply -tyylillä, jos haluat nähdä, mikä on virheilmoitus.

Error, `->` unexpected

>	kayra:=(a,b,trange)->odeplot(numratk(a,b),[x(t),y(t)],trange);

Tämä on yhtä looginen kuin odeplot:n  syntaksi. Siinä noudatetaan funktioplot:n syntaksia (x(t) ja y(t) nyt eivät ihan näytä funktioilta, mutta tämän lähemmäksi rautaista logiikkaa ei näköjään odeplot: ssa ole päästy.)

Error, missing operator or `;`

>	kayra(1,0,-3..3);

>	numfaasi:=trange->display([seq(seq(kayra(a,b,trange),a=-2..2),b=-2..2)],view=[-20..20,-15..15]);

>	numfaasi(-3..3);

Hienosti nämä toimivat, kun ne näin rakennetaan!

Tästä on sopivaa jatkaa aluksi vaikka muodostamalla lineaaristen faasitasot.

Nyt voi kuvaan lisätä trajektoreita yksi kerrallaan paljon tarkemmin kuin DEplot:lla, jolla kannattaa tehdä vain suuntakenttä. (Alla on esitetty kätevä tapa DEplot-käyttöön, mutta kuvat eivät ole kauniita paksuine viivoineen.

Alla on esietty konkreettisesti, miten homma käy.

Tietysti kannattaa verrata Matlab -tyyliin. Se voidaan rakentaa eri tavalla vuorovaikutteiseksi.

2.3 Graafinen, DEplot ja dsolve(..,numeric) yhdessä

>

restart:

>	with(DEtools):with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

>	dys:=diff(x(t),t)=x(t)+2*y(t),diff(y(t),t)=-x(t);

>	AA:=[seq(seq([0,a,b],a=-2..2),b=-2..2)];

>	faasitaso:=trange->DEplot([dys],[x(t),y(t)],t=trange,AA,stepsize=0.1);

>	faasitaso(-3..3);

>

?DEplot

>

>	DEplot([dys],[x(t),y(t)],t=-3..3,x=-3..3,y=-3..3,stepsize=0.1);

>	proc (trange) options operator, arrow; DEplot(dys,[x(t), y(t)],t = trange,AA,stepsize = .1) end proc

>

>

Warning, premature end of input

>	DEplot([diff(y1(t),t)=y1(t)+y2(t),diff(y2(t),t)=2*y2(t)], [y1(t),y2(t)],t=-5..2,y1=-5..5,y2=-5..5,color=grey);

>

>	numratk:=(a,b)->dsolve({dys,x(0)=a,y(0)=b},{x(t),y(t)},numeric,maxfun=1000);

>	kayra:=(a,b,trange)->odeplot(numratk(a,b),[x(t),y(t)],trange);

>	numfaasi:=trange->display([seq(seq(kayra(a,b,trange),a=-2..2),b=-2..2)]);

>	suuntak:=DEplot([dys],[x(t),y(t)],t=-3..3,x=-3..3,y=-3..3,stepsize=0.1,color=grey):

>	display([numfaasi(-3..3),suuntak]);

>

kuva:=%:

>	display(suuntak,kayra(0,1.8,-3..3));

Tällä tavalla on aika kätevää rakentaa faasikuvaa:

-  Klikkaa hiirellä kuvaan ja lue koordinaatit vasemmasta ylänurkasta.

-  Jatka kuvan rakentelua yllä olevalla display -tyylillä.

>

Warning, premature end of input

>	display(%,kayra(-0.7,1.1,-3..3));

>

>	kay:=numfaasi(-3..3):

>

kay;

>

>	aasi:=(trange,opt1,opt2)->plot([seq(aaratkf(a,trange),a=-20..20)],opt1,opt2);

>	print(aasi);

>	proc (trange, opt1, opt2) options operator, arrow; plot([seq(aaratkf(a,trange),a = -20 .. 20)],opt1,opt2) end proc;

>

>