\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/numsym04}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\huom {{\bf Huom!}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{5}{10--11}{9 -- 18.3 2004}

T�ss� korjatut (toivottavasti oikein):

{\tt http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/04/matlab/moler/odes.pdf} \\
{\tt http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/04/matlab/CV/CHAPTER.9} \\
{\tt http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/04/L/ODE.html} ODE-"portaali" \\

Jaossa: [Hig-Hig] ODE, erityiseti "events".

%Sek� [CvL]:ss� ett� Moler:ssa on laaja teht�v�valikoima.
%Erityisesti Molerista on mahdollisuus valita my�s laajempia oppilaskohtaisia teht�vi�, joissa
%p��see mukavasti k�ytt�m��n eri alueiden laskentav�lineit� yhteisty�ss�.

%Olkoot lyhyesti C ja M nuo viitteet alla olevien teht�v�numeroiden kohdalla.



%\begin{verbatim}
% http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/fourier.html
% http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/fourier.mws
% http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/02/H/harj1ohje.mws
%\end{verbatim}


%T�ss� kaikille tarkoitettuja teht�vi�. Kokoelmaa t�ydennet��n niin
%ODE- kuin muidenkin alueiden osalta.  Seminariesitysten t�ydennyksen�
%(silloin kun ylim��r�ist� aikaa j��) voidaan pit�� neuvontaharjoituksia,
%sovitaan my�hemmin, milloin harjoitusteht�vien suorituksia k�yd��n
%l�pi.

\subsubsection*{Aikataulu}


Ti 16.3: Neuvontaharjoitus harj. 4 ja harj5 teht�vien
edist�miseen. 
 
To 18.3: K�yd��n l�pi teht�v�t 4 ja 5. 
T�ydennet��n teht�vi� 5: ``stability, stiffness'', annetaan my�s teht�vi�
osdy-aiheista. Alla on jo osittain t�ydennetty, mutta torstaiksi riitt��
tehd� aiemman, puhtaasti Matlab-tekniikkaa opettavan tavan mukaan.



\begin{enumerate}

\item %1
T�ss� harjoitellaan aihetta "events". Hyvin selostettu [Hig-Hig]:ss�, samoin
Molerissa. (Matlabissa on demoja mm. orbitode, mutta sen pohjalta ei ole
aivan helppo opiskella.)

T�ss� er�s perusteht�v�: Pallo pudotetaan korkeudelta $h_0=4 m$, ilmanvastusta
ei oteta huomioon. Mallinnuksessa ei ole tuskaa, annetaan silti systeemi
valmiina: $y_1'=y_2, y_2'=-g, \ \ y(0)=h_0, y'(0)=0.$

(a)
Mill� ajanhetkell� pallo saavuttaa maanpinnan. Tarkoitus on ratkaista
numeerisesti ja k�ytt�� "events"-tekniikkaa. 
Toki kannattaa verrata analyyttiseen ratkaisuun t�ss� tapauksessa.

(b)
Kun pallo t�rm�� maanpintaan, se pomppaa yl�sp�in. Olkoon pompun 
alkunopeus itseisarvoltaan $k$ kertaa t�rm�yshetken nopeuden itseisarvo,
$0 < k < 1.$

M��rit� $10$:n ensimm�isen pompun aika ja korkeus, kun $k=0.7$.
Piirr� pomppivan pallon korkeus ajan funktiona.

Huom! T�ss� kannattaa samalla opetella k�ytt�m��n alifunktioita, eli
kirjoitetaan kaikki yhteen m-tiedostoon, joka alkaa "p��ohjelmalla".
Kutsuttavat funktiot kirjoitetaan "skriptiosan" per��n, skripti on
ainakin muodollisesti funktio, ja ihan k�yt�nn�ss�kin voi olla
hy�dyksi, jos sill� voidaan v�litt�� jokunen sy�teparametri. 
vrt. Moler ss. 24--25 \\
\verb_ function orbit(reltol) _ \\
\verb_  ... _ \\


\item %2

[Moler] 7.14 s. 39
Kommentteja, muutosehdotuksia.

a)-kohta on hiukan outo, mies/nainen pudotetaan lentokoneesta,
laskuvarjolla ei ole mit��n vaikutusta. Teht�v� on toisaalta raaka,
toisaalta naurettavan
helppo lukion fysiikan teht�v� (ja samanlainen kuin edell�).

b)-kohdassa on ehk� sopivampaa ottaa vakioiksi $K_1$ ja $K_2$ $10-$ kertaiset
arvot: $K_1=1/15, K2=4/15.$

\item %3 
[Moler] 7.4 s. 35 \\
Stabiilisuus ja kankeus, kts. alla.
T�ydennet��n Molerin teht�v�� hiukan, saadaksemme lis�valaistusta.
Tee Matlab-toteutuksen lis�ksi Maplella seuraavia:

Muodosta analyyttinen ratkaisu {\tt dsolve}:lla ja piirr� esim.
v�leill� $[0,0.02]$ ja $[0,0.5]$. Katso my�s yleist� ratkaisua.

Ratkaise yht�l� Euerin menetelm�ll� v�lill� $[0,0.5]$.
Tiedostossa {\tt .../maple/ns04.mpl} on {\tt Eulerh}, jonka
koodi on my�s alla.
Kokeile maksimaalista askelpituutta $h_{\textit{max}}$ ja sen puolikasta.

Havainnollista kuvin.

T�h�n yhteyteen sopii oikein hyvin implisiittinen Euler, mutta otetaan
siihen liittyv�� ensi viikoksi.







\end{enumerate}


Seuraavana asiakokonaisuutena k�sitell��n osittaisdiffyht�l�iden numeriikkaa.
Sopivana siirtym�vaiheena otetaan ``method of lines'', jossa ``laskentakoneena'' on ODE-ratkaisija (suuri tavallinen differentiaaliyht�l�ryhm�).

[Moler]-prujuissa on koko joukko kiintoisia sovellusteht�vi�, kuten t�st�
ODE-osasta huomataan. 
N�ihin liittyen on my�s mahdollista kehitell� loppuprojektiksi jokin sopiva
kokoelma teht�vi� mahd. t�ydennettyn� ja/modifioituina soveliaasti.

\subsubsection*{Stabiilisuus, kankeus (stiffness)}

Eulerin menetelm�n stabiilisuusehto stabiilille yht�l�lle 
($f_y <0$) on $h < 2/f_y.$



\begin{verbatim}
Eulerh:=proc(f,vali,ya,h)
local a,b,n,m,t,y;
a:=vali[1]; b:=vali[2];
t[0]:=evalf(a);y[0]:=evalf(ya);
m:=ceil((b-a)/h);
for n from 0 to m do
  y[n+1]:=y[n]+h*f(t[n],y[n]);
  t[n+1]:=t[n]+h;
end do;
[seq([t[n],y[n]],n=0..m)];
end:
\end{verbatim}


\end{document}


