\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/numsym04}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\huom {{\bf Huom!}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{1}{4}{20 -- 22.1.2004}

\verb_ http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/04/maple/perusteita.mws _

Tavoite: Tehd��n n�m� torstaiksi 22.1. K�ytet��n tiistain ajasta ainakin osa teht�vien 
yhdess� tekemiseen. (Jos osoittautuvat odottamattoman ty�l�iksi, tarkistetaan dead-linea.)

Yleisajatus: Harjoitukset to, "luennot" ti, ne ovat osittain yhdess� 
tekemist�. (Harjoituksen ja luennon raja sumea.)
Loppuvaiheessa sitten seminaareja voi olla kumpana vain.

%{\bf Viitteit�, linkkej�, aputiedostoja}


%\begin{verbatim}
% http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/fourier.html
% http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/fourier.mws
% http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/02/H/harj1ohje.mws
%\end{verbatim}


Viittaamme Cayley-Hamilton-teht�v�ss� alla olevaan [TE]-prujuun, [EN] on hyv� l�hde
diffyht�l�systeemeiss�, joita k�sittelemme seuraavaksi.

[TE] Timo Eirola: Lineaarialgebran perusteet (L3)\\ 
$\left[E-N\right]$ Eirola--Nevanlinna: Differentiaaliyht�l�systeemit (L3)\\ 
(Voidaan jakaa tarvittaessa vaikka prujutoimituksen kautta.)



Aloita k�ynnist�m�ll� Maple ja tekem�ll� ty�arkille otsikko "title", joksi vaikka
Numsym, harjoitus 1, tms. sopivaa ja sen alle nimesi yms. sopivaa (ei siis sopimatonta).
Tee kutakin teht�v�� kohti insert-valikon "section".

Muista: uusi kehote: CTR-J tai CTR-K, miss� J, niinkuin "j�lkeen".

%\end{document}
\begin{enumerate}

\item %1

(Teht�v� ty�arkilta "\texttt{perusteita.mws}" ) 
Tarkastellaan polynomia $p(x)=x^3-4 x^2 + 4 x -1.$ 
 M��rit� nollakohdat ja paikalliset minimit sek� maksimit. Piirr� funktio ja sen derivaatta.
 Tarkista laskemalla funktion arvot, ett� nollakohdat ovat nollakohtia.
K�sittele polynomia ensin lausekkeena ja sitten funktiona. Mitk� ovat kunkin tavan hyv�t/huonot puolet.
Derivaattalauseke :  {\tt diff } \\
Derivaattafunktio  : {\tt  D }    (K�yttele helppi�  )
 {\tt ?plot, ?solve,?fsolve ?diff, ?D}

\item  %2
Piirr� funktion $f(x)=2x\cos 2x -(x-2)^2$ v�lill� $[0,5]$ (tms. sopivaa) ja m��rit�
$f$:n nollakohdat (n. 6:n numeron tarkkuudella) v�leill� $[2,3]$ ja $[3,4]$ k�ytt�en
Newtonin menetelm��. (Ota alkuarvo senverran kaukaa, ett� voit nauttia iteroinnista.)
(Kts. ..maple/perusteita.mws )

T�ss� olisi hyv� tilaisuus kokeilla samaa Matlabilla. Piirr� kuva ja 
suorita iterointi. K�yt� hyv�ksesi Maplella laskettua iterointifunktion lauseketta.

Huonoa ei olisi kokeilla Maplella valmista \texttt{fsolve}:a ja Matlabilla 
\texttt{fzero}:a.
({\tt help fzero}.

\item %3
K�y l�pi huolellisesti \texttt{maple/gsg.pdf}-tiedostossa kuvattu 
$2.3$-esimerkki (jaetut ja kommentoidut sivut 10-20.
Tee t�st� huoliteltu dokumentti, kenties on hyv� tehd� aivan erillinen 
ty�arkki.

Lis�piirteen� voisit tehd� variaation, jossa $f$:�� k�sitell��n 
funktiona (eik� lausekkeena).

\item %4
Tutustu \texttt{maple/LA.mws}-ty�arkkiin.

Todista Maplen avulla {\em Cayley--Hamiltonin} lause: Neli�matriisi toteuttaa
oman karakteristisen yht�l�ns�.


\footnote{Yleinen todistus: [TE] Lause 4.10, s. 48, perustuu {\em Schurin hajotelmaan}, Lause 4.7 s. 45.}

Aloita $2\times 2-$ matriisista $A=\left[ \begin {array}{cc} a&b\\\noalign{\medskip}c&d\end {array} \right] 
$

Maple-ohjeita: {\tt with(LinearAlgebra): with(linalg);}
Kokeile matriisipalettia ({\tt view}-valikosta ``palettes'').
Muodosta karakteristinen polynomi: $p:= ...;$, sijoita muuttujan paikalle
matriisi $A$ {\tt subs}-komennolla, ja sievenn� tulos matriisievaluaattorilla
{\tt evalm}.

Kun p��set $3\times 3-$ matriisiin, saat jo aika mielenkiintoisen n�k�isi�
lausekkeita matriisin alkioiksi. Tarjoile kullekin alkiolle Maplen perussievent�j�� {\tt simplify}. Se onnistuu ``mappaamalla'' simplify-komento matriisin
alkioille tyyliin {\tt map(simplify,\%)}, miss� {\tt \%} viittaa edelliseen
tulokseen. 

Vetoamme t�h�n lauseeseen tuota pikaa $2\times 2$-systeemien tapauksessa.


%\item

\end{enumerate}

\end{document}



\item
Suorita jokunen Fourier-sarjaksi kehitt�minen. Alla pari esimerkkifunktiota,
voit valita yht� hyvin jotain muuta.

Piirr� $f$:n kuvaaja muutaman jakson alueella. Muodosta $f$:n Fourier-sarja.
Selvit�, miss� pisteiss� sarja suppenee ja miss� se ei suppene kohti kyseist�
funktion arvoa. Mit� arvoa kohti sarja n�iss� ``ei-pisteiss�'' suppenee?
Piirr� jaksollinen laajennus ja osasummafunktioiden kuvaajia.

Tutki kokeellisesti {\em Gibbsin ilmi�t�} 
(n. 9\%:n "yli/ali-ampuminen" ep�jatkuvuuskohdan ymp�rist�ss�).

(Luultavasti ei kannata piirt�� hirve�� m��r�� osasummia, vaan valittuja
muutamia harvakseen, isoilla n:n arvoilla.)

Esim:

(a)
$f(t)=t, \ \ t\in (-\pi,\pi],\ \ f(t+2\pi)=f(t) .$

(b)
$f(x)=\begin{cases}
         100, \ \ -4 < x < -2 \\
         0, \ \ -2 \le x \le 4 \end{cases}$,
$f(x+8)=f(x)$.

\item
Tarkastellaan vaimennettua v�r�htely� kuvaavaa yht�l��

$my''+cy'+ky=r(t)$.

Olkoon $m=1, c=0.02, k=25$ ja $$r(t)=
\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
             -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi  \end{cases},\ \ 
r(t+2\pi)=r(t)$$ .

M��rit� ``pitk�n aikav�lin'' (``steady state'') ratkaisu $y(t)$.
(T\"ast\"a on homogeeniosan (ja siten alkuehtojen) vaikutus vaimentunut
pois.)

Periaate: Kehitet\"a\"an $r(t)$ Fourier-sarjaksi. Etsit\"a\"an kutakin sarjan
termi\"a vastaten erityisratkaisua $y_n$ muodossa $y_n=A_n\cos nt+
B_n\sin nt$. Lineaarisuuden perusteella (jos sarjan termeitt\"ain 
derivoiminen
on sallittua) p\"a\"atell\"a\"an, ett\"a $\sum y_n$ on koko yht\"al\"on ratkaisu.

Laske ainakin 5 termi\"a ratkaisusarjasta ja piirr\"a niiden summa sek\"a 
termit erikseen. Jokin niist\"a on dominoiva, identifioi se. Piirr\"a
samaan kuvaan her\"ate $r(t)$ ja "steady state" ratkaisu v\"alill\"a 
$[0,4\pi]$.

Tutki, mit� tapahtuu, jos jousivakiolle annetaan arvo $k=9$ sek� toisaalta
j�yk�n jousen, vaikkapa $k=49$ tapauksessa. Ent�, jos vaimennusta lis�t��n?


\item 
Ratkaise AA-teht\"av\"a $x''+2x=r,\ \ x(0)=x'(0)=0$,miss\"a $r(t)$ on $2\pi$-
jaksoinen neli\"oaalto: $$r(t)=\begin{cases}-1,  0 < t < \pi \\
                                   1, \pi < t < 2\pi \end{cases}.$$
Suorita ratkaisu seuraavilla kahdella eri tavalla:
\kohta{a}{Muodosta her�tefunktio vaikkapa 3:n jakson alueella ja
ratkaise yht�l� Laplace-muunnoksella. Saat k�ytt�� \maple-funktiota
{\tt dsolve(...,method=laplace);}.

      }

\kohta{b}{
Kehit� $r(t)$ Fourier-sinisarjaksi ja k�yt� osasummaa $S_7$ 
(eli mukana ovat termit $\sin 7t$-termiin saakka.) oikean her�tteen
approksimointiin.
   }

\kohta{c}{
Vertaa molemmilla menetelmill� saamiasi tuloksia, esit� graafisesti
ja katso, miten tarkkuus paranee, kun otat korkeamman asteisia Fourier-
osasummia.
     }
\huom\/ Hy�dynn� tietysti ennen mainittua {\tt PeriodicExtender} (alias
 JJ) -funktiota.



\end{enumerate}


Referenssej�:

[Kof] Ch 25 pp. 351 -- 363  \\
[HAM] s. 177 ... (kts. HAM-sivun fourier-ty�arkki) Ota k�ytt��n
jaksollinen laajennus.\\
[KRE] `` Forced oscillations ``



\subsection*{Fourier-kaavoja}

\subsubsection*{T-jaksoisen funktion Fourier-sarja}

\paragraph*{Reaalimuoto}

Olkoon $f$ T-jaksoinen reaalifunktio, miss� $T=\frac{2\pi}{\omega}$. $f$:n
Fourier-sarjaesitys: \\
$f(t)=\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n\omega t+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin n\omega t$,
miss�

$$a_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\cos n\omega t dt, \ \ n= 0, 1, 2, \ldots $$
$$b_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\sin n\omega t dt , \ \ n= 1, 2, \ldots$$

\paragraph*{Kompleksimuoto}
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$, miss�

$$c_n=\frac{1}{T}\int_d^{d+T}f(t)e^{-i n \omega t}dt,\  \ 
n=0,\pm 1,\pm 2 \ldots$$


\end{document}
\subsection*{Fourier-kaavoja}

\subsubsection*{Yleinen tapaus, $f$ m��ritelty v�lill� $(-L,L)$}
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}$ \rv
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\ \
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx$

\subsubsection*{Puolen jakson laajennukset,$f$ m��ritelty v�lill� $(0,L)$}

\paragraph*{Sinisarja}

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
b_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HS_1, HS_2) $$

\paragraph*{Kosinisarja}

$$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
a_0={\frac{1}{L}}\int_0^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HC_1 - HC_3) $$


%\end{enumerate}


\end{document}





\item
Ratkaise edellinen teht�v� Laplace-muunnoksella katkaisemalla her�te
vaikkapa 3:n jakson alueelle (tai j�t� jaksojen lukum��r� muuteltavaksi
parametriksi).

Vertaa ratkaisua edelliseen.





\item
M��rit� tasapainotilaratkaisu ("steady state") v�r�htelysysteemille
 $m x'' + c x' + kx = r(t)$, miss� $m=1, c=0.02, k=25$,
 ja $r(t)=\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
                                      -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi 
\end{cases},\ \ r(t+2\pi)=r(t)$ .

Tutki lis�ksi, miten vasteen amplitudit k�ytt�ytyv�t, jos jousivakio pienenee
aina arvoon $k=9$ ja toisaalta, jos jousta j�ykistet��n arvoon $k=49$ saakka.
(Vrt. Kreyszig-ote).
