Grundbegrepp och -beteckningar [-]

En mängd är ''en samling element'' och beteckningen \[x\in A\] (eller $A\ni x$) säger att \(x\) hör till mängden \(A\) dvs. \(x\) är ett element i mängden \(A\). På motsvarande sätt skriver vi \(x\notin A\) då \(x\) inte hör till mängden \(A\) dvs. då \(x\) inte är ett element i mängden \(A\).

Tex. $\{2,0,1,6\}$ är mängden till vilken hör talen $2$, $0$, $1$ och $6$ men ordningen har ingen betydelse eftersom mängderna $A$ och $B$ är desamma om de innehåller exakt samma element dvs. om för alla $x$ gäller $x\in A$ om och endast om $x\in B$. Det här betyder att $\{2,0,1,6\}=\{0,1,2,6\}$ men också att $\{2,0,1,6\}=\{0,0,1,1,1,2,6,6\}$ eftersom ett element antingen hör till en mängd eller inte hör till den men det kan inte höra två gånger till mängden.

Om många element hör till mängden kan vi skriva tex. \(A=\{1,2,3,\ldots, 2017\}\) eller \(B=\{2,4,6,\ldots\}\) om vi tror att det är klart vad ''\(\ldots\)'' betyder. Ett bättre sätt är ändå att skriva mängderna i formen \[ A=\{x\in B\mid P(x)\}\] där \(B\) är någon känd mängd och \(P(x)\) är något uttryck som antingen är sant eller falskt då \(x\in B\) så att mängden \(A\) alltså består av de element $x$ i \(B\) för vilka villkoret \(P(x)\) är uppfyllt. Tex. [+]

mängden $\set{x\in \R \mid x^2 <9}$ är samma mängd som $\set{x\in \R\mid -3< x< 3}$ dvs. det öppna intervallet $]-3,3[$.

Definitioner [-]

• Tomma mängden: $\emptyset=\{\}$ är mängden till vilken det inte hör ett enda element, dvs. $x\in \emptyset$ är alltid falskt.
• Union: $x\in A\cup B$ om och endast om $x\in A$ eller $x\in B$. [+]
  Exempel: $\{a,b,c\}\cup \{d,e,a\}= \{a,b,c,d,e\}$

  Mängden $A$ Mängden $B$ Mängden $A\cup B$

  
• Union mera allmänt: $x\in \cup_{j=1}^n A_j$ om och endast om $x\in A_j$ för något $j=1,2,\ldots, n$. [+] Ännu mera allmänt: $x\in \cup_{j\in J} A_j$ om och endast om $x\in A_j$ för något $j\in J$ och $x\in \cup_{j=1}^\infty A_j$ om och endast om $x\in A_j$ för något $j=1,2,3,\ldots$, men någon mängd $A_\infty$ förekommer inte i detta fall.
• Snitt: $x\in A\cap B$ om och endast om $x\in A$ och $x\in B$. [+]
  Exempel: $\{a,b,c\}\cap \{d,e,a\}= \{a\}$

  Mängden $A$ Mängden $B$ Mängden $A\cap B$

  
• Snitt mera allmänt: $x\in \cap_{j=1}^n A_j$ om och endast om $x\in A_j$ för alla $j=1,2,\ldots,n$. [+] Ännu mera allmänt: $x\in \cap_{j\in J} A_j$ om och endast om $x\in A_j$ för alla $j\in J$ och $x\in \cap_{j=1}^\infty A_j$ om och endast om $x\in A_j$ för alla $j=1,2,3,\ldots$, men någon mängd $A_\infty$ förekommer inte i detta fall.
• Differens: $x\in A\setminus B$ om och endast om $x\in A$ och $x\notin B$ [+]
  Exempel: $\{a,b,c\}\setminus \{d,e,a\}= \{b,c\}$

  Mängden $A$ Mängden $B$ Mängden $A\setminus B$

  
• Delmängd: $A \subseteq B$ om och endast om varje element i $A$ också är ett element i $B$. [+]
  Exempel: $\{b,c\}\subseteq \{a,b,c,d\}$

  Mängden $A$ Mängden $B$ I det här fallet gäller $A\subseteq B$

  
• $A=B$ om och endast om $A\subseteq B$ och $B\subseteq A$, dvs. samma element hör till båda mängderna.
• Potensmängd: $\mathcal P(A)$ är mängden som består av alla delmängder av mängden $A$.
• $\N_0=\{0,1,2,3,\ldots \}$ är mängden av naturliga tal (inklusive $0$).
• Med beteckningen $\N$ avses antingen mängden $\N_0$ eller mängden $\N_+=\{1,2,3,\ldots\} = \N_0\setminus \{0\}$.
• $\Z=\{ \ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ är mängden av alla heltal.
• $\Q= \set{\frac pq\mid p,q\in \Z,\, q\neq 0}$ är mängden av alla rationella tal.
• $\R$ är mängden av alla reella tal.

Obs! [+]

• I en union eller ett snitt har mängdernas ordning (naturligtvis) ingen betydelse men observera att tex.
  $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)$ och
  $A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap (A\cup C)$.
• $\{\emptyset\}$ är inte samma mängd som $\emptyset$ eftersom $\emptyset\in \{\emptyset\}$ men $\emptyset\notin \emptyset$ (och båda dessa påståenden följer direkt av definitionerna).
• Begreppet "delmängd" ($\subseteq$) är inte detsamma som begreppet "element" ($\in$) men det hindrar inte att tex. både $\emptyset \subseteq \{\emptyset\}$ och $\emptyset \in \{\emptyset\}$ gäller, (och det förra för att $\emptyset \subseteq A$ alltid gäller).
• Ofta används symbolen $\subset$ i stället för symbolen $\subseteq$:n och då kan man skriva $A\subsetneq B$ när $A\subseteq B$ men $A\neq B$ så analogin med symbolerna $\leq$ och $<$ är inte fullständig.
• Ofta skrivs mängden $\set {x\in B\mid P(x)}$ som beteckningen $\set{x\in B\,|\, P(x)}$ men den här beteckningen kan leda till förvirring då man i sannolikhetslära behandlar betingade sannolikheter.
• Definitionerna ovan är (förhoppningsvis) ganska klara och rediga men de säger ingenting om varför det kan vara värt att ta dem i bruk. Svaret på den här frågan får man först då man råkar ut för besvärliga frågor och problem även om det inte skadar att använda sig av de här beteckningarna också i enklare fall.

Russells paradox [+]

Exempel: De icke-negativa heltalen som mängder [+]