Tentti 2

Tehtävä 1

Remove["Global`*"]

f =  x^4 y^2/(x^4 + y^2)^2

Plot3D[f, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, 
      PlotPoints -> {200, 200}, Mesh -> False]

Tehtävä 2

Remove["Global`*"]

p = 
      a (x + 3) (x + 2) (x - 1) (x - 5) // Expand

kerroin = Solve[(p /. x -> 2) == 5, a]

p = p /. kerroin[[1]]

p1 = D[p, x]

derivNollakohdat = NSolve[p1 == 0, x]

maxJaMin = p /. derivNollakohdat

Plot[p, {x, -4, 5}]

Tehtävä 3

Remove["Global`*"]

{a, b, c, d} = {77520, 125970, 167960, 184756}

syt = GCD[a, b, c, d]

pyj = LCM[a, b, c, d]

FactorInteger[syt]

Tehtävä 4

Remove["Global`*"]

y = Sin[x Log[x]]

Plot[y, {x, 1, 5}, PlotRange -> All, 
      AxesOrigin -> {1, 0}]

x1 = x /. First[FindRoot[y == 0, {x, 3}]]

x2 = x /. First[FindRoot[y == 0, {x, 4}]]

y1 = D[y, x]

Tilavuus:

NIntegrate[Pi y^2, {x, 1, x1}]

NIntegrate[Pi y^2, {x, 1, x2}]

Pinta-ala:

NIntegrate[2 Pi y Sqrt[1 + y1^2], {x, 1, x1}]

Toisessa tapauksessa on otettava huomioon, että y:n merkki vaihtuu. Joko

NIntegrate[2 Pi Abs[y] Sqrt[1 + y1^2], {x, 1, x2}]

tai sitten

NIntegrate[2 Pi y Sqrt[1 + y1^2], {x, 1, x1}] - 
      NIntegrate[2 Pi y Sqrt[1 + y1^2], {x, x1, x2}]

Tehtävä 5

Remove["Global`*"]

lsk = Sin[51 x]

lsk1 = TrigExpand[lsk]

lsk2 =  lsk1 /. Cos[x] -> Sqrt[1 - Sin[x]^2] // Expand