Tentti 1

Tehtävä 1

Remove["Global`*"]

yht1 = 5 x^2 + 6 x y + 5 y^2 - 16 x - 16 y - 16 == 0

yht2 = x^2 + x y - 2 y^2 + x + 2  y == 0

<< Graphics`ImplicitPlot`

ImplicitPlot[{yht1, yht2}, {x, -5, 5}, {y, -5, 35}, 
      PlotPoints -> {200, 200}]

Solve[{yht1, yht2}, {x, y}] // N

Tehtävä 2

Remove["Global`*"]

a = {1, 2}; b = {7, -1}; c = {15, 7};

Sivujen keskipisteet:

ab2 = (a + b)/2

bc2 = (b + c)/2

ca2 = (c + a)/2

Keskinormaalien leikkauspiste:

p = {x, y}

Kohtisuoruusehdot:

yhtalot = {(p - ab2) . (b - a) == 
          0, (p - bc2) . (c - b) == 
          0, (p - ca2) . (a - c) == 0}

ratk = Solve[yhtalot, p]

Koska ratkaisu löytyi, keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä, joka on

p /. ratk[[1]]

Tehtävä 3

Remove["Global`*"]

p =  x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

q = x^3 - x^2  + x  - 1

om = PolynomialQuotient[p, q, x]

jj = PolynomialRemainder[p, q, x]

p == q*om + jj // Simplify

Tehtävä 4

Remove["Global`*"]

f = 1/(2 + Sin[x])

intf = Integrate[f, x]

Plot[intf, {x, -2 Pi, 4 Pi}]

Ei ole jatkuva, vaikka integraalifunktion pitäisi olla.

Integrate[f, {x, 0, 2 Pi}]

% // N

NIntegrate[f, {x, 0, 2 Pi}]

(intf /. x -> 2 Pi) - (intf /. x -> 0)

Integraalifunktioon sijoittaminen antaa väärän tuloksen, koska funktio f on kaikkialla positiivinen. Syynä on saadun integraalifunktion epäjatkuvuus. Muut kaksi tulosta ovat ilmeisesti oikein. Funktio f:

Plot[f, {x, -2 Pi, 4 Pi}, AxesOrigin -> {0, 0}]

Tehtävä 5

Remove["Global`*"]

g[x_, 1] := x^2 + c

g[x_, n_] := g[x^2 + c, n - 1]

g[0, 10]

Table[{c, N[g[0, 10]]}, {c, -5, 2, 0.25}] // TableForm

Table[{c, N[g[0, 20]]}, {c, -2.1, 0.5, 0.05}] // 
      TableForm

Siis väli [-2, 0.25].