Tehtävä 1

f[x_] := x (Sqrt[ 1 + (4/(x^2))])

f[-1]

f[0]

f[1]

Plot[f[x], {x, -3, 3}]

Funktiolla ei ole raja-arvoa origossa. Funktio ei ole määritelty origossa eikä sitä voida siinä määritelläkään siten, että siitä tulisi jatkuva.

Remove[f]

Tehtävä 2

f[x_, n_] =  Expand[x^n]

g[x_, n_] := Expand[x^2]

f[a + b,  5]

g[a + b,  5]

?f

?g

Funktion f tapauksessa x^n pyritään kehittämään (Expand) heti. Tässä ei kuitenkaan onnistuta, koska lauseketta x^n ei voida yksinkertaisemmin kirjoittaa. Funktion g tapauksessa se kehitetään vasta funktiota käytettäessä (siis myöhemmin, delayed).

Remove[f, g]

Tehtävä 3

f[x_] := (E^(-(x^2)))

Table[f[x], {x, 0, 5, 0.1}]

f1[x_] = D[f[x], x]

Plot[f1[x], {x, 0, 5}]

ff[x_] = Integrate[f[x], x]

Plot[ff[x], {x,  0,  5}, PlotRange -> All]

?ff

Remove[f, f1, ff]

Tehtävä 4

f[x_ /; 
          x ≥ 0  &&  
            x ≤ 
              (1/2)] := 4  x

f[x_ /;  
          x ≥ (1/2)  &&  x ≤ 1 ] := -4 
          x + 4

f[x_ /;  x > 1] := 0

f[x_ /;  x < 0] := 0

Plot[f[x], {x, -1, 2}]

Remove[f]

Tehtävä 5

p[x_] := (x^2) + x

q[x_] := (x^2) + 1

yht = ((x^2) - 2  x - 1) *y''[x] - 
          2*(x - 1)*y'[x] + 2*y[x] ==  0

yht /. y -> p // Simplify

yht /. y -> q // Simplify

Remove[p, q]

Tehtävä 6

f[n_ /; n > 10] := n - 5

f[n_ /; 1 ≤ n  &&  n ≤ 10] := 
      f[f[n + 6]]

Table[f[n], {n, 1, 100}]

Remove[f]

Tehtävä 7

f =  
      Function[x, FactorInteger[x][[1, 1]]]

Table[f[n], {n, 2, 20}]

Tulostuu luvun pienin tekijä. Vrt. seuraavaan, ks. dokumentaatiota:

Table[FactorInteger[n], {n, 2, 20}]

Remove[f]

Tehtävä 8

f[x_] := Integrate[Abs[x - t], {t, 0, 1}]

Plot[f[x], {x, -2, 3}]

g[x_] := f'[x]

Plot[g[x], {x, -2, 3}]

Ei siis onnistu.

?f

?g

Remove[f, g]

Toisin:

f[x_ /; x ≥ 1] := 
      Integrate[x - t, {t, 0, 1}]

f[x_ /; x ≤ 0] := 
      Integrate[t - x, {t, 0, 1}]

f[x_ /; 0 < x  &&  x < 1] := 
      Integrate[x - t, {t, 0, x}] + 
        Integrate[t - x, {t, x, 1}]

Plot[f[x], {x, -2, 3}]

g[x_] := f'[x]

Plot[g[x], {x, -2, 3}]

Remove[f, g]

Tehtävä 9

f[x_] := Sin[x]/x

f[(π/2)]

f[1]

f[1. ]

f[0]

f[0] = 1

Plot[f[x],  {x, -10, 10}]

f'[x]

f'[0]

Mutta kuitenkin on f' (0) = 0.

?f

Remove[f]

Tehtävä 10

y[x_] := 
      (Subscript[C, 1])*Sin[x] +  (Subscript[C, 2])*Cos[x] + 
        Cos[x]*Log[Tan[(π/4) - (x/2)]]

y[x] + y''[x] == Tan[x] // FullSimplify

FullSimplify[ComplexExpand[Log[x]], x < 0]