Tehtävä 1

summat = Table[ Sum[k^2, {k, 1, n}], {n, 1, 10}]

tekijat = FactorInteger[summat]

Kunkin summan alkutekijät (tekijä ja montako kertaa se esiintyy):

ColumnForm[tekijat]

PrimeQ[summat]

Tehtävä 2

Lista lukuja välillä 0-90 astetta:

kulma  =  Range[ 0, 90 ]

Lasketaan vastaavat sinin arvot:

sini  =  Sin[ 
          kulma Degree] //N

Lasketaan vastaavat kosinin arvot:

kosini  =  Cos[kulma Degree]  // N

Taulukko:

Transpose[{kulma, sini, kosini}] // TableForm

Tehtävä 3

Table[k^j,  {j, 1, 10},  {k, 1, 10}]  // 
      TableForm

Tehtävä 4

Syötetään annetut vektorit

c  =  {7, 5};

a  =  {3, 4};

b  =  {5, -1};

rtk = 
      Solve[c == x a  +  y b ,  {x, y}]

komponentit = {x a, y b} /. First[rtk]

Näiden summa on todellakin c:

komponentit[[1]] + komponentit[[2]] == 
      c

Tehtävä 5

Syötetään annetut kolmion kärkipisteet:

a  =  {1, 2};

b  =  {-3, 5};

c  =  {-1, -6};

Keskijanojen leikkauspiste on probleeman tuntematon:

p = {x, y}

Ehdot, joissa r, s ja t ovat tuntemattomia skalaareja (piirrä kuvio):

yhtalot = {p == a + r ((b + c)/2 - a), 
        p == b + s ((c + a)/2 - b), 
        p == c + t ((a + b)/2 - c)}

Jos tällä yhtälöryhmällä on ratkaisu, vaikka siinä on kolme yhtälöä ja viisi tuntematonta,
keskijanat todellakin leikkaavat samassa pisteessä:

rtk = Solve[yhtalot, {x, y, r, s, t}]

Keskijanojen leikkauspiste:

p /. First[rtk]

Skalaarit r, s ja t ovat kaikki =2/3, mikä osoittaa jakosuhteen.

Tehtävä 6

Syötetään annetut avaruuden tason pisteet:

a  =  {7, 3, 1};

b  =  {1, 2, 3};

c  =  {3, 5, -5};

Lasketaan niiden väliset vektorit. Nimet viittaavat annettuihin pisteisiin.

ab  =  a  -  b

bc  =  b  -  c

Lasketaan pintaa vastaan oleva kohtisuora vektori ristitulolla:

e  =  Cross[ ab,  bc]

Tehdään vektorista yksikkövektori käyttäen apuna pistetulon kaavaa:

e =  e / Sqrt[ e . e ]

Tehtävä 7

Haetaan 20 ensimmäistä alkulukua:

a  =  Table[ Prime[i],  {i, 20} ]

Otetaan edellisen taulukon alkiot järjestysluvuiksi ja haetaan vastaavia järjestyslukuja olevat alkuluvut:

b  =  
      Table[ Prime[ a[[i]] ],  {i, Length[a]} ]

Tehtävä 8

Syötetään annetut pisteet:

a  =  {7, 3};

b  =  {1, 2};

c  =  {3, 5};

Muodostetaan vektorit

ab  =  a  -  b

cb  =  c  -  b

Lasketaan kulman puolittajan suuntavektori eo. vektoreiden suuntaisten yksikkövektoreiden summana. Toinen vaihtoehto saataisiin erotuksesta.

d  =  
      ab/Sqrt[ab . ab]  +  cb/
          Sqrt[cb . cb]

Vastaava yksikkövektori:

d0 = 
      d / Sqrt[d . d] // FullSimplify

Ehkä tämä on informatiivisempi numeerisena:

d0 // N

Tehtävä 9

Syötetään annettu suora:

r0  =  {1, 2, 3};

s0  =  {4, 5, 6};

suora =  {x, y, z} == r0 + t s0

Annettu taso:

taso = x  -  2 y  +  3 z  -  4 == 0

Leikkauspiste:

rtk = Solve[{suora, taso}, {x, y, z, t}]

{x, y, z} /. First[rtk]

Tehtävä 10

Vrt. tehtävään 5.

Syötetään annetut kolmion kärkipisteet:

a  =  {a1,  a2};

b  =  {b1,  b2};

c =  {c1, c2};

Keskijanojen leikkauspiste on probleeman tuntematon:

p = {x, y}

Ehdot, joissa r, s ja t ovat tuntemattomia skalaareja (piirrä kuvio):

yhtalot = {p == a + r ((b + c)/2 - a), 
        p == b + s ((c + a)/2 - b), 
        p == c + t ((a + b)/2 - c)}

Jos tällä yhtälöryhmällä on ratkaisu, vaikka siinä on kolme yhtälöä ja viisi tuntematonta,
keskijanat todellakin leikkaavat samassa pisteessä:

rtk = Solve[yhtalot, {x, y, r, s, t}]

Keskijanojen leikkauspiste:

p /. First[rtk]

Skalaarit r, s ja t ovat kaikki =2/3, mikä osoittaa jakosuhteen.