Tehtävä 1

trooppvuosi =  
      45 + 48*60 + 5*60*60 + 365*24*60*60

pyoraika = 4 + 56*60 + 23*60*60

pyorlukum = trooppvuosi/pyoraika

pyorlukum // N

kuten tietenkin pitääkin.

Tehtävä 2

Sqrt[7 - 4 Sqrt[3]] // Simplify

Sqrt[7 - 4 Sqrt[3]] // FullSimplify

Simplify ei siis tehoa, mutta FullSimplify tehoaa.

Tehtävä 3

poly =  
      x^5  +  2 x^4 y  -  x^3 y^2  -  2  x^2 y^3  -  
        x^3 y  -  2 x^2 y^2  +  x y^3  +  
        2 y^4

tekijat = poly // Factor

poly2 = tekijat // Expand

poly == poly2

Päädyttiin siis takaisin samaan lausekkeeseen, kuten tietenkin pitääkin.

Tehtävä 4

a = 5.27

b = 3.16

cc = 72 + 50/60

Kosinilause:

etaisyys = 
      Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[cc Degree]]

Tehtävä 5

Funktiot:

f1 =  x^n

f2 = x^x

f3 = Sin[x]^4 + Cos[x]^4

Derivaatat:

d1 = D[f1, x]

d2 = D[f2, x]

d3 = D[f3, x]

Integraalit:

i1 = Integrate[d1, x]

i2 = Integrate[d2, x]

Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa palataan samaan mistä lähdettiin, kolmannessa ei:

i3 = Integrate[d3, x]

f3 - i3 // Simplify

Ja saahan se toki nollasta eroava vakio ollakin.

Tehtävä 6

lsk = (x - 1)/(1 - 1/Sqrt[x])/(1 + 
            1/Sqrt[x])

lsk // Simplify

Tehtävä 7

a =  Random[Integer, {1, 100}]

b :=  Random[Integer, {1, 100}]

Table[a, {10}]

Table[b, {10}]

Edellisessä tapauksessa lauseke lasketaan heti. Jälkimmäisessä määritellään, mitä b on, ja tätä määritelmää käytetään aina, kun b halutaan laskea.

Tehtävä 8

Funktiot:

f1 = Sin[3 x]

f2 = Cos[7 x]

f3 = Sin[x]^6

f4 = Cos[x]^11

Eri sievennyskomennot sovellettuina kaikkiin:

{f1, f2, f3, f4} // TrigFactor

{f1, f2, f3, f4} // TrigExpand

{f1, f2, f3, f4} // TrigReduce

{f1, f2, f3, f4} // TrigToExp

% // ExpToTrig

TrigToExp ja ExpToTrig ovat toistensa käänteisfunktioita. Näiden avulla voidaan trigonometriset funktiot lausua komplksisen eksponenttifunktion avulla ja kääntäen.

Tehtävä 9

f1 = x/(x^2 + 5 x + 6)

f2 = (2 x  +  7)/(x^3  +  3 x^2  +  3 x  +  
            1)

os1 = Apart[f1]

os2 = Apart[f2]

os1 // Together // ExpandAll

os2 // Together // ExpandAll // Together

Tehtävä 10

f1 = (x + 1)/(x^2 - x + 1)^10

f2 = Log[1 + x^12]

i1 = Integrate[f1, x]

i2 = Integrate[f2, x]

D[i1, x] == f1 // Simplify

D[i2, x] == f2 // Simplify